Konvex/Konkav < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen [mm] $f_n\,:\;\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.
[/mm]
Bestimmten Sie für die Funktionen, welche konvex, konkav oder keines von beiden sind.
[mm] $f_1(x)\, [/mm] := [mm] x^2 [/mm] - 1 [mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$ [/mm] ist
[mm] $f_2(x)\, [/mm] := [mm] x^3 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ [/mm] ist
[mm] $f_3(x)\, [/mm] := [mm] \sqrt{x} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ [/mm] ist
[mm] $f_4(x)\, [/mm] := [mm] \sin(x) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ [/mm] ist
[mm] $f_5(x)\, [/mm] := [mm] e^x \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ [/mm] ist
[mm] $f_6(x)\, [/mm] := [mm] -x^2 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ [/mm] ist
[mm] $f_7(x)\, [/mm] := [mm] \frac{x^3 + 3x^2}{x}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$ [/mm] ist
[mm] $f_8(x)\, [/mm] := [mm] -3(x+2)^2 [/mm] + [mm] 5\qquad$ [/mm] ist |
Hallo.
Ich soll die o.g Aufgabe berechnen.
Ein spezielles Verfahren haben wir dafür nicht gelernt.
In der Vorlesung haben wir aufgeschrieben, dass eine Funktion f(x) konvex ist, sobald sie zwei mal differenzierbar ist und es gilt [mm] f''(x)\ge{0} [/mm] und konkav wenn [mm] f''(x)\le{0}.
[/mm]
a)f''(x)=2 -> konvex
b)f''(x)=6x -> für [mm] x\ge0 [/mm] konvex für [mm] x\le0 [/mm] konkav
Durch das tolle E-Learning Program unserer Uni kann ich nur konkav oder nur konvex oder keins von beiden ankreuzen....Definiert ist die Funktion jedoch in ganz [mm] \IR. [/mm] Was würdet ihr machen?
[mm] c)f(x)=\wurzel{x} [/mm] Wie kann diese Funktion denn in [mm] \IR^{-} [/mm] definiert sein?
In [mm] \IR^{+} [/mm] ist sie konvex, da alle Tangenten über dem Ursprungsgraphen liegen, oder indem man sich einfach [mm] f''(x)=\bruch{1}{2}x^{\bruch{-3}{2}} [/mm] anschaut.
Was soll ich hier denn ankreuzen...
d)sin(x)=f(x) f''(x)=-sin(x) [mm] [0,\pi] [/mm] konkav und [mm] [\pi,2\pi] [/mm] konvex
Auch hier die Frage. Was wähle ich....
[mm] e)f''(x)=e^x [/mm] Ich würde mal sagen konvex. [mm] e^x [/mm] kann nicht negativ werden, oder? Bei negativen x-Werten läuft es ja gegen die x-Achse bzw gegen 0.
f)f''(x)=-2 -> konkav
[mm] g)f'(x)=\bruch{(x^3+3x^2)'*x-x'*(x^3+3x^2)}{x}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{(3x^2+6x)*x-x^3-3x^2}{x^2}=\bruch{3x^3+6x^2-x^3-3x^2}{x^2}=\bruch{2x^3-3x^2}{x^2}=\bruch{x^2*(2x-3)}{x^2}=2x-3
[/mm]
f''(x)=2 Die Funktion ist konvex
h)f'(x)=1*-6*(2+x)=-12-6x (Kettenregel)
f''(x)=-6
Die Funktion ist konkav.
Ich würde mich freuen, wenn ihr mal drüberschauen könntet, bzw. mir Hinweise geben könnt, was ich bei den unklaren Sachen ankreuzen soll.
Ich denke, bei solchen Sachen wie [mm] \wurzel{x} [/mm] in ganz [mm] \IR [/mm] ist es nichts von beidem, da diese Funktion bspw. nicht in ganz /IR existiert.
Ich hoffe, dass ich keine Leichtsinnsfehler gemacht habe, aber meine Konzentration ist gerade sehr im Eimer, könnte also sein.
Danke im Voraus und liebe Grüße
Ps:Ihr könnt die Teilaufgaben einzeln durchgehen. Das würde mich auch erfreuen.
|
|
| |
|
Hallo Masseltof,
> Gegeben sind die Funktionen [mm]f_n\,:\;\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/mm].
>
> Bestimmten Sie für die Funktionen, welche konvex, konkav
> oder keines von beiden sind.
>
>
>
> [mm]f_1(x)\, := x^2 - 1 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad[/mm]
> ist
>
> [mm]f_2(x)\, := x^3 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad[/mm]
> ist
>
> [mm]f_3(x)\, := \sqrt{x} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad[/mm]
> ist
>
> [mm]f_4(x)\, := \sin(x) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad[/mm]
> ist
>
> [mm]f_5(x)\, := e^x \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad[/mm]
> ist
>
> [mm]f_6(x)\, := -x^2 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad[/mm]
> ist
>
> [mm]f_7(x)\, := \frac{x^3 + 3x^2}{x}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad[/mm]
> ist
>
> [mm]f_8(x)\, := -3(x+2)^2 + 5\qquad[/mm] ist
> Hallo.
>
> Ich soll die o.g Aufgabe berechnen.
>
> Ein spezielles Verfahren haben wir dafür nicht gelernt.
> In der Vorlesung haben wir aufgeschrieben, dass eine
> Funktion f(x) konvex ist, sobald sie zwei mal
> differenzierbar ist und es gilt [mm]f''(x)\ge{0}[/mm] und konkav
> wenn [mm]f''(x)\le{0}.[/mm]
>
> a)f''(x)=2 -> konvex ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b)f''(x)=6x -> für [mm]x\ge0[/mm] konvex für [mm]x\le0[/mm] konkav
> Durch das tolle E-Learning Program unserer Uni kann ich
> nur konkav oder nur konvex oder keins von beiden
> ankreuzen....Definiert ist die Funktion jedoch in ganz [mm]\IR.[/mm]
> Was würdet ihr machen?
[mm]f_2[/mm] ist auf [mm]\IR[/mm] weder konvex noch konkav!
>
> [mm]c)f(x)=\wurzel{x}[/mm] Wie kann diese Funktion denn in [mm]\IR^{-}[/mm]
> definiert sein?
Gar nicht
> In [mm]\IR^{+}[/mm] ist sie konvex, da alle Tangenten über dem
> Ursprungsgraphen liegen, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
das ist doch konkav!
> oder indem man sich einfach
> [mm]f''(x)=\bruch{1}{2}x^{\bruch{-3}{2}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") anschaut.
Sagen wir besser [mm]f_3''(x)=-\frac{1}{\red{4}}x^{-\frac{3}{2}}<0 \ \ \forall x\in\IR^+[/mm]
> Was soll ich hier denn ankreuzen...
ich würde konkav ankreuzen, weil [mm]f_3[/mm] in ihrem gesamten Def.bereich (außer in $x=0$, dort ist's nicht diffbar) die oben errechnete Eigenschaft hat. (und [mm] $f_3(0)=0$)
[/mm]
Vllt. nutzt du hier aber besser die Definition "konkav"
>
> d)sin(x)=f(x) f''(x)=-sin(x) [mm][0,\pi][/mm] konkav und [mm][\pi,2\pi][/mm]
> konvex
> Auch hier die Frage. Was wähle ich....
Nix
>
> [mm]e)f''(x)=e^x[/mm] Ich würde mal sagen konvex. [mm]e^x[/mm] kann nicht
> negativ werden, oder? Bei negativen x-Werten läuft es ja
> gegen die x-Achse bzw gegen 0.
[mm]f_5''(x)=e^x>0\forall x\in\IR[/mm], also ...
>
> f)f''(x)=-2 -> konkav
>
> [mm]g)f'(x)=\bruch{(x^3+3x^2)'*x-x'*(x^3+3x^2)}{x}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{(3x^2+6x)*x-x^3-3x^2}{x^2}=\bruch{3x^3+6x^2-x^3-3x^2}{x^2}=\bruch{2x^3-3x^2}{x^2}=\bruch{x^2*(2x-3)}{x^2}=2x-3[/mm]
> f''(x)=2 Die Funktion ist konvex
Hmmm, wie gehst du mit der Definitionslücke in [mm]x=0[/mm] um?
>
> h)f'(x)=1*-6*(2+x)=-12-6x (Kettenregel)
> f''(x)=-6
> Die Funktion ist konkav.
>
> Ich würde mich freuen, wenn ihr mal drüberschauen
> könntet, bzw. mir Hinweise geben könnt, was ich bei den
> unklaren Sachen ankreuzen soll.
> Ich denke, bei solchen Sachen wie [mm]\wurzel{x}[/mm] in ganz [mm]\IR[/mm]
> ist es nichts von beidem, da diese Funktion bspw. nicht in
> ganz /IR existiert.
>
> Ich hoffe, dass ich keine Leichtsinnsfehler gemacht habe,
> aber meine Konzentration ist gerade sehr im Eimer, könnte
> also sein.
>
>
> Danke im Voraus und liebe Grüße
>
> Ps:Ihr könnt die Teilaufgaben einzeln durchgehen. Das
> würde mich auch erfreuen.
Gruß
schachuzipus
>
|
|
|
| |
|
Hallo und danke für die Antwort.
Ja ich meinte konkav bei [mm] \wurzel{x}. [/mm]
Auch wenn man die die Eigenschat errechnet, dass $ [mm] f_3''(x)=-\frac{1}{\red{4}}x^{-\frac{3}{2}}<0 [/mm] \ \ [mm] \forall x\in\IR^+ [/mm] $, muss das doch nicht automatisch heißen, dass sie auch für negative x gilt.
Betrachtet man nämlich die Funktion, so sieht man, dass sie nicht in [mm] \IR^{-} [/mm] definiert sein kann. Demnach können x<0 nicht angenommen werden.
In [mm] f_{3}''(x) [/mm] hingegen können diese Werte angenommen werden.
Damit würden wir ja die Steigung der Tangente im Negativen berechnen, die wiederum die Steigung der Ursprungsfunktion im Negativen wiedergeben würde.
Diese Ursprungsfunktion ist jedoch nicht im Negativen definiert.
Deswegen weiß ich nicht wirklich wie ich hier vorgehen soll :/
Zu:
[mm] f_{5}''(x)=e^x [/mm] -> konvex
Darauf wolltest du hinaus, oder?
Zu:
$ [mm] g)f'(x)=\bruch{(x^3+3x^2)'\cdot{}x-x'\cdot{}(x^3+3x^2)}{x} [/mm] $
$ [mm] f'(x)=\bruch{(3x^2+6x)\cdot{}x-x^3-3x^2}{x^2}=\bruch{3x^3+6x^2-x^3-3x^2}{x^2}=\bruch{2x^3-3x^2}{x^2}=\bruch{x^2\cdot{}(2x-3)}{x^2}=2x-3 [/mm] $
Hier bin ich mir nicht sicher.
Die Ableitung hat ja vor der Umformung eine Definitionslücke in x=0, nach der Umformung hingegen keine mehr.
Bezeichnet man das dann nicht als hebare Polstelle?
Die Ursprungsfunktion ist in 0 definiert und 2x-3 ebenso.
Unter dieser Voraussetzung wäre f(x) in allen Stellen differentierbar und die 2. Ableitung wäre f''(x)=2>0 Damit wäre die Funktion konvex.
Über einen weitere Kontrolle, würde ich mich natürlich sehr freuen :)
Viele Grüße und danke im Voraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 19.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Wenn man bei einer Aufgabenstellung, die unklar bzw. teilweise
falsch ist, nur Antwortkästchen ankreuzen darf, ist dies ein zu
beanstandender Mangel. Zwei der Beispielfunktionen [mm] (f_3 [/mm] und [mm] f_7)
[/mm]
sind nicht von der im Aufgabentext angegebenen Form $ [mm] f_n\,:\;\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/mm] $
Jeweils in ihren Definitionsbereichen [mm] \IR_0^+ [/mm] bzw. [mm] $\IR\,\backslash\,\{0\}$ [/mm] zeigen diese
Funktionen jedoch ein eindeutiges Verhalten. Ich würde die Kreuze
dem entsprechend setzen, aber den nötigen Kommentar, dass nämlich
die Aufgabenstellung nicht ganz in Ordnung ist, ebenfalls abgeben
(z.B. mündlich oder per Mail).
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke.
Ich werde euren Ratschlag befolgen und das auch rückmelden.
Viele Grüße und danke :)
|
|
|
|
