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| Aufgabe | Die Funktion [mm] $f_{\alpha\beta}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ [/mm] sei gegeben durch
[mm] $$f_{\alpha\beta}(x,y)=(x^2+y^2)+\alpha(x^2+y^2)+\beta [/mm] x.$$
(i) Für welche Parameterwerte [mm] $\alpha [/mm] , [mm] \beta \in \mathbb{R}$ [/mm] ist die Funktion [mm] $f_{\alpha,\beta}$ [/mm] konvex?
(ii) Bestimmen Sie für alle Parameterwerte [mm] $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ [/mm] die jeweiligen lokalen Minima von [mm] $f_{\alpha,\beta}$. [/mm] |
Hallo und guten Abend,
ich sitz hier schon länger an einem Problem.
Und zwar muss ich doch zeigen, dass die 2. Ableitung der Funktion (streng) monoton ist, oder?
D.h. ich mach die Hesse Matrix von f und bestimme dann den Eigenwert mit dem [mm] $\lambda$.
[/mm]
Bei mir schaut das schon mal so aus:
[mm] §Hess_{f_{\alpha , \beta}}(x,y)=\pmat{12x^2+4y^2+2\alpha & 8xy \\ 8xy & 4x^2+12y^2 + 2\alpha}$
[/mm]
Dann bild ich den Eigenwert, mit [mm] $Hess_f_{\alpha , \beta}(x,y,\lambda)=\pmat{12x^2+4y^2+2\alpha - \lambda & 8xy \\ 8xy & 4x^2+12y^2 + 2\alpha - \lambda}$
[/mm]
So und dann die Determinante von [mm] $Hess_f_{\alpha , \beta}$:
[/mm]
[mm] $det(Hess_f_{\alpha , \beta}= (12x^2+4y^2+2\alpha -\lambda)*(4x^2+12y^2+2\alpha [/mm] - [mm] \lambda)-(8xy)^2$.
[/mm]
Ja und jetzt muss ich ja zeigen dass [mm] $\lambda [/mm] > 0$
Aber wie?
[mm] \lambda [/mm] hängt ja von [mm] $\alpha [/mm] und [mm] \beta$ [/mm] ab, aber ich weiß echt nicht wie ich [mm] $\alpha$ [/mm] bestimmen soll...
Danke schon mal für euer bemühen :)
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Hallo,
> Die Funktion [mm]f_{\alpha\beta}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}[/mm] sei
> gegeben durch
> [mm]f_{\alpha\beta}(x,y)=(x^2+y^2)+\alpha(x^2+y^2)+\beta x.[/mm]
>
> (i) Für welche Parameterwerte [mm]\alpha , \beta \in \mathbb{R}[/mm]
> ist die Funktion [mm]f_{\alpha,\beta}[/mm] konvex?
> (ii) Bestimmen Sie für alle Parameterwerte [mm]\alpha ,\beta \in \mathbb{R}[/mm]
> die jeweiligen lokalen Minima von [mm]f_{\alpha,\beta}[/mm].
> Hallo und guten Abend,
>
> ich sitz hier schon länger an einem Problem.
> Und zwar muss ich doch zeigen, dass die 2. Ableitung der
> Funktion (streng) monoton ist, oder?
> D.h. ich mach die Hesse Matrix von f und bestimme dann den
> Eigenwert mit dem [mm]\lambda[/mm].
> Bei mir schaut das schon mal so aus:
> [mm]§Hess_{f_{\alpha , \beta}}(x,y)=\pmat{12x^2+4y^2+2\alpha & 8xy \\ 8xy & 4x^2+12y^2 + 2\alpha}$[/mm]
Wie kommst du denn auf diese Matrix?
Es ist doch z.B. [mm] f_{xx}=2+2\alpha
[/mm]
Kann es sein, dass du eventll. die Funktion falsch angegeben hast?
>
> Dann bild ich den Eigenwert, mit [mm]Hess_f_{\alpha , \beta}(x,y,\lambda)=\pmat{12x^2+4y^2+2\alpha - \lambda & 8xy \\ 8xy & 4x^2+12y^2 + 2\alpha - \lambda}[/mm]
>
> So und dann die Determinante von [mm]Hess_f_{\alpha , \beta}[/mm]:
>
> [mm]det(Hess_f_{\alpha , \beta}= (12x^2+4y^2+2\alpha -\lambda)*(4x^2+12y^2+2\alpha - \lambda)-(8xy)^2[/mm].
>
> Ja und jetzt muss ich ja zeigen dass [mm]\lambda > 0[/mm]
> Aber
> wie?
> [mm]\lambda[/mm] hängt ja von [mm]\alpha und \beta[/mm] ab, aber ich weiß
> echt nicht wie ich [mm]\alpha[/mm] bestimmen soll...
>
> Danke schon mal für euer bemühen :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:42 Di 09.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Funktion [mm]f_{\alpha\beta}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}[/mm] sei
> gegeben durch
> [mm]f_{\alpha\beta}(x,y)=(x^2+y^2)+\alpha(x^2+y^2)+\beta x.[/mm]
>
> (i) Für welche Parameterwerte [mm]\alpha , \beta \in \mathbb{R}[/mm]
> ist die Funktion [mm]f_{\alpha,\beta}[/mm] konvex?
> (ii) Bestimmen Sie für alle Parameterwerte [mm]\alpha ,\beta \in \mathbb{R}[/mm]
> die jeweiligen lokalen Minima von [mm]f_{\alpha,\beta}[/mm].
> Hallo und guten Abend,
>
> ich sitz hier schon länger an einem Problem.
> Und zwar muss ich doch zeigen, dass die 2. Ableitung der
> Funktion (streng) monoton ist, oder?
diese Vermutung ist ziemlich sinnfrei:
$f [mm] \colon \IR^2 \to \IR$ [/mm] diff'bar
liefert
[mm] $f\;'(x_0,y_0)\colon \IR^2 \to \IR,$ [/mm] $(x,y) [mm] \mapsto J_f(x_0,y_0)*\vektor{x\\y}$ [/mm] mit [mm] $J_f(x_0,y_0) \in \IR^{1 \times 2}$
[/mm]
und damit mit der Hessematrix
$(x,y) [mm] \mapsto H_f(x_0,y_0)*\vektor{x\\y}$ [/mm] mit [mm] $H_f(x_0,y_0) \in \IR^{2 \times 2}$
[/mm]
Jetzt erzähl mir mal, was das bedeuten soll, dass $(x,y) [mm] \mapsto H_f(x_0,y_0)*\vektor{x\\y}$ [/mm]
(streng) wachsend ist?
Gruß,
Marcel
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