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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Di 05.05.2009 | | Autor: | ecko |
Hallo, gegeben Sei F [mm] \subset \IR^{n} [/mm] eine nichtleere konvexe Menge.
Ich will nun zeigen, dass [mm] F_I [/mm] (Innere von F) und [mm] F_A [/mm] (Abschluss von F) konvex sind.
Ich denke mir: [mm] F_A [/mm] = Konvexe Hülle von F, da F selbst konvex.
Konvexe Hülle ist selbst konvex, und somit ist [mm] F_A [/mm] auch
konvex.
Kann ich so rann gehen?
Wie muss ich für das Innere vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Mi 06.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, gegeben Sei F [mm]\subset \IR^{n}[/mm] eine nichtleere
> konvexe Menge.
>
> Ich will nun zeigen, dass [mm]F_I[/mm] (Innere von F) und [mm]F_A[/mm]
> (Abschluss von F) konvex sind.
>
> Ich denke mir: [mm]F_A[/mm] = Konvexe Hülle von F, da F selbst
> konvex.
Das ist falsch ! Ist z.b. F eine offene Kugel, so ist F konvex und die konvexe Hülle von F = F, [mm] F_A [/mm] ist aber die abgeschlossene Kugel
> Konvexe Hülle ist selbst konvex,
> und somit ist [mm]F_A[/mm] auch
> konvex.
>
> Kann ich so rann gehen?
Nein. Siehe oben.
Nimm x,y [mm] \in F_A. [/mm] Dann gibt es Folgen [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] in F mit: [mm] x_n \to [/mm] x und [mm] y_n \to [/mm] y.
Für t [mm] \in [/mm] [0,1] gilt, da F konvex: [mm] x_n+t(y_n-x_n) \in [/mm] F. Mit n [mm] \to \infty [/mm] erhälst Du:
$x+t(y-x) [mm] \in F_A$
[/mm]
Damit ist [mm] F_A [/mm] konvex.
FRED
> Wie muss ich für das Innere vorgehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Do 07.05.2009 | | Autor: | ecko |
Wie sehen die Folgen [mm] x_n y_n [/mm] aus? oder ist das unwichtig?
Ich hab da ein Verständnisproblem: Ich dachte, eine Menge ist genau dann konvex wenn die Verbindungslinien zwischen allen Punkten wieder in der Menge liegt, nur kann ich mir das irgendwie nicht vorstellen.
Wenn ich zB den Rand einer Kugel als extra Menge habe, warum ist die dann konvex? Die Verbindungen liegen zwar alle in der Kugel, aber doch nicht in der Menge, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Do 07.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wie sehen die Folgen [mm]x_n y_n[/mm] aus? oder ist das unwichtig?
Ja, wichtig ist nur, dass es solche Folgen gibt
>
> Ich hab da ein Verständnisproblem: Ich dachte, eine Menge
> ist genau dann konvex wenn die Verbindungslinien zwischen
> allen Punkten wieder in der Menge liegt, nur kann ich mir
> das irgendwie nicht vorstellen.
Genauer. für je zwei Punkt der Menge, liegt auch deren Verbindungstrecke in der Menge. Das ist doch sehr anschaulich !!
>
> Wenn ich zB den Rand einer Kugel als extra Menge habe,
> warum ist die dann konvex?
Das ist sie i.a. nicht !
FRED
> Die Verbindungen liegen zwar
> alle in der Kugel, aber doch nicht in der Menge, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Do 07.05.2009 | | Autor: | ecko |
Naja aber genau das soll ich doch eigentlich beweisen oder? Oder muss ich als Abschluss was anderes Verstehen als Rand?
Soll ich da jetzt hinschreiben das man diesen beweis nicht führen kann und einfach ein Beispiel bringen, die Kugel oder so...
hm wenn ich aber zB [mm] \wurzel[]{x_1^{2} + x_2^{2}} \le [/mm] 1 als Menge habe, muss ich ja meine [mm] x_n, y_n [/mm] berechnen, von dem du oben gesprochen hast, weiß nicht so recht wie ich da rann gehen kann, danke für deine Hilfe bis hier her!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Do 07.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Naja aber genau das soll ich doch eigentlich beweisen oder?
> Oder muss ich als Abschluss was anderes Verstehen als
> Rand?
Natürlich, Mann oh Mann.
Im allgemeinen ist der Abschluß einer Menge [mm] \not= [/mm] Rand der Menge !!
Z.B:
M = { (x,y) [mm] \in \IR^2: x^2+y^2<1 [/mm] }
Dann ist der Abschluß von M = { (x,y) [mm] \in \IR^2: x^2+y^2\le1 [/mm] }
und der Rand von M = { (x,y) [mm] \in \IR^2: x^2+y^2=1 [/mm] }
FRED
>
> Soll ich da jetzt hinschreiben das man diesen beweis nicht
> führen kann und einfach ein Beispiel bringen, die Kugel
> oder so...
>
> hm wenn ich aber zB [mm]\wurzel[]{x_1^{2} + x_2^{2}} \le[/mm] 1 als
> Menge habe, muss ich ja meine [mm]x_n, y_n[/mm] berechnen, von dem
> du oben gesprochen hast, weiß nicht so recht wie ich da
> rann gehen kann, danke für deine Hilfe bis hier her!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Do 07.05.2009 | | Autor: | ecko |
Naja ok danke das wusste ich nicht, brauchst ja nicht aggro zu werden, wenn ich alles wissen würde, würde ich keine Frage stellen!
Wie mach ich das nun mit meinen [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] in dem Beispiel mit der Wurzel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Do 07.05.2009 | | Autor: | ecko |
Und kennt jemand evtl auch ein Beispiel für eine Menge, wo der Abschluss und das Innere konvexe sind, die menge an sich aber nicht?
Können auch 2 Beispiele seine in dem jeweils nur 1 vorkommt :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:53 Fr 08.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Und kennt jemand evtl auch ein Beispiel für eine Menge, wo
> der Abschluss und das Innere konvexe sind, die menge an
> sich aber nicht?
F = { (x,y) [mm] \in \IR^2: 0
FRED
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> Können auch 2 Beispiele seine in dem jeweils nur 1 vorkommt
> :)
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