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Forum "Operations Research" - Konvexes Optimierungsproblem
Konvexes Optimierungsproblem < Operations Research < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvexes Optimierungsproblem: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:16 Do 27.11.2014
Autor: ttl

Aufgabe
Sei [mm] Q\in\IR^{n \times n}, Q^{T} [/mm] = Q, Q ist symetrisch und positiv definit, [mm] b\in\IR^{m} [/mm] und [mm] c\in\IR^{n}. [/mm] Dann heißt das Problem P: [mm] \underset{x\in\IR^{n}}{\mathrm{min}}\frac{1}{2}x^{T}Qx [/mm] + [mm] c^{T}x [/mm] s.t. [mm] Ax+b\leq [/mm] 0 ein konvexes-quadratisches Optimierungsproblem.

1) Man soll zeigen, dass P konvex ist. (Geschehen!)
2) Nun soll das Wolfe-Dual Problem zu P aufgestellt werden. Außerdem muss noch eine dual zulässigen Punkt [mm] (\bar{x},\bar{\lambda}). [/mm] Den zweiten Teil dieser Aufgabe muss ich noch machen. Wie geht hier am besten vor?

Wolfe-Dual: [mm] L(x,\lambda) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}x^{T}Qx [/mm] + [mm] c^{T}x [/mm] + [mm] \lambda^{T}\cdot [/mm] (Ax+b)

Der Gradient ist: [mm] \nabla L(x,\lambda) [/mm] = Qx + c + [mm] A^{T}\lambda [/mm] = 0 => c = [mm] -A^{T}\lambda [/mm] - Q

3) Im letzten Teil solle man die Variable x aus dem Wolfe Dual Problem eliminieren. Jedoch habe ich ein Problem.

Wenn ich c (aus 2) ) in L(x,\lambda) einsetze, verschwindet die Variable nicht vollständig. Folgendes kommt raus:

[mm] L(x,\lambda) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}x^{T}Qx [/mm] + [mm] (-A^{T}\lambda [/mm] - [mm] Qx)^{T}x +\lambda^{T}\cdot [/mm] (Ax+b) = [mm] \frac{1}{2}x^{T}Qx -\lambda^{T}Ax [/mm] - [mm] x^{T}Qx [/mm] + [mm] \lambda^{T}\cdot [/mm] (Ax+b) = [mm] -\frac{1}{2}x^{T}Qx [/mm] + [mm] \lambda^{T}\cdot [/mm] b

Aber im Idealfall sollte nur noch [mm] \lambda^{T}\cdot{b} [/mm] übrig bleiben. Tut es aber nicht.

Wo also mache ich den Fehler?

Gruß
ttl

        
Bezug
Konvexes Optimierungsproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 Do 27.11.2014
Autor: ttl

Das mit dem Variable x elminieren hat sich erledigt. Nun muss nur noch ein dualer zulässiger Punkt [mm] (\bar{x},\bar{\lambda}) [/mm] bestimmt werden.
Könnte mir jemand dafür ein paar Tipps geben?

Gruß ttl

Bezug
        
Bezug
Konvexes Optimierungsproblem: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Fr 05.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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