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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 20.04.2009 | | Autor: | NixPeil |
| Aufgabe | Seien A [mm] \subseteq \IR^d [/mm] und B [mm] \subseteq \IR^d [/mm] konvexe Mengen und [mm] \alpha \in \IR. [/mm] Wir setzen:
A + B := {v + w | v [mm] \in [/mm] A, w [mm] \in [/mm] B} und [mm] \alpha [/mm] * A := { [mm] \alpha [/mm] v | v [mm] \in [/mm] A } Zeigen Sie:
(i) Sind A und B konvex, so auch A + B
(ii) Ist A konvex, so auch [mm] \alpha [/mm] * A
(iii) Ist A konvex und [mm] \alpha, \beta [/mm] > 0, dann gilt [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] * A = [mm] \alpha [/mm] * A + [mm] \beta [/mm] * A
(iv) Zeigen Sie: (iii) ist falsch, falls A nicht als konvex vorausgesetzt wird. |
Hi Leute,
folgendes Problem: Muss am Mittwoch meine Lösungen zu dieser Aufgabe abgeben, habe aber keinen Schimmer. (i) und (ii) ist klar. Bei (iii) blicke ich noch halbwegs durch; bei der (iv) jedoch weiß ich nicht mal wie ich anfangen soll.
Hat jemand von euch einen Tipp parat oder vielleicht sogar eine Lösung für die (iv). Bin voll am verzweifeln...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:18 Di 21.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien A [mm]\subseteq \IR^d[/mm] und B [mm]\subseteq \IR^d[/mm] konvexe
> Mengen und [mm]\alpha \in \IR.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wir setzen:
> A + B := $\{$v + w | v [mm]\in[/mm] A, w [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B$\}$ und [mm]\alpha[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
* A := $\{$
> [mm]\alpha[/mm] v | v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A $\}$ Zeigen Sie:
>
> (i) Sind A und B konvex, so auch A + B
> (ii) Ist A konvex, so auch [mm]\alpha[/mm] * A
> (iii) Ist A konvex und [mm]\alpha, \beta[/mm] > 0, dann gilt
> [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta)[/mm] * A = [mm]\alpha[/mm] * A + [mm]\beta[/mm] * A
> (iv) Zeigen Sie: (iii) ist falsch, falls A nicht als
> konvex vorausgesetzt wird.
> Hi Leute,
>
> folgendes Problem: Muss am Mittwoch meine Lösungen zu
> dieser Aufgabe abgeben, habe aber keinen Schimmer. (i) und
> (ii) ist klar. Bei (iii) blicke ich noch halbwegs durch;
> bei der (iv) jedoch weiß ich nicht mal wie ich anfangen
> soll.
>
> Hat jemand von euch einen Tipp parat oder vielleicht sogar
> eine Lösung für die (iv). Bin voll am verzweifeln...
dann ist ja nur noch (iv) unklar. Nimm' doch mal [mm] $A\,$ [/mm] als zweielementige Teilmenge des [mm] $\IR^d$ [/mm] und [mm] $\alpha=1$ [/mm] und [mm] $\beta=2\,.$
[/mm]
Also mal ein banales Beispiel für [mm] $d=1\,$ [/mm] (im [mm] $\IR^d$ [/mm] für $d [mm] \ge 2\,$ [/mm] kannst Du ansonsten einfach [mm] $A\,$ [/mm] so angeben, dass [mm] $A\,$ [/mm] aus zwei Vektoren der kanonischen Basis besteht):
[mm] $$A=\{e,\,\pi\}\,,$$ [/mm]
dann gilt
[mm] $$(1+2)*A=3*A=\{3e,\,3\pi\}\,,$$
[/mm]
aber
[mm] $$1*A+2*A=\{e,\,\pi\}+\{2e,\,2\pi\}=\{3e,\,e+2\pi,\,\pi+2e,\,3\pi\} \not=\{3e,\,3\pi\}\,.$$
[/mm]
Also im [mm] $\IR^2$ [/mm] kannst Du bspw. wieder [mm] $\alpha=1\,,$ $\beta=2\,,$ [/mm] und dann [mm] $A=\{(1,0)^T,\,(0,1)^T\}$ [/mm] nehmen.
Im [mm] $\IR^3$ [/mm] wieder [mm] $\alpha=1$ [/mm] und [mm] $\beta=2\,,$ [/mm] und dann [mm] $A=\{(1,0,0)^T,\,(0,1,0)^T\}$ [/mm] etc.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Di 21.04.2009 | | Autor: | NixPeil |
Ok ... bin erleuchtet  Vielen Dank für deine Hilfe!
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