Konvexivität < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Sa 26.01.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hi.
Wollt nachfragen ob jemand drüber schauen könnte ob ich folgende Aufgaeb korrekt gelöst habe.
Aufagabe:
Beweisen Sie die Konvexitat der Funktion:
[mm] f(n)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \mbox{ <0} \\ x, & \mbox{für } \mbox{x>=0} \end{cases}
[/mm]
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Nach konvexivitätskriterium ergeben sich drei Fälle:
1. x und y <0
2.x<0 und y>=0
3.x und y>0
Konvexkriterium lautet
a. f(x) ist konvex <=> f´´(x)>=0
b.f(x) ist streng konvex <=> f´´(x)=0
Fall 1 :
1. [mm] f(x))x^{2}=> [/mm] f´´(x)=2 >0 => ist streng konvex für alle x
Fall 3:
3. f(x)=x => f´´(x)=0 => ist konvex für alle x
Fall 2:
2.ich hab die Funktion skizziert und Konvexivität.Kann ich das auch irgendwie anders mit der Def. zeigen so wie in 1. und 3?
Danke vorweg
matheja
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> Hi.
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> Wollt nachfragen ob jemand drüber schauen könnte ob ich
> folgende Aufgaeb korrekt gelöst habe.
>
> Aufagabe:
>
> Beweisen Sie die Konvexitat der Funktion:
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \mbox{ <0} \\ x, & \mbox{für } \mbox{x>=0} \end{cases}[/mm]
>
>
> Nach konvexivitätskriterium ergeben sich drei Fälle:
>
> 1. x und y <0
> 2.x<0 und y>=0
> 3.x und y>0
Diese Wahl der Namen $x,y$ ist, für allem für die Zwecke einer Detailargumentation im problematischen Fall 2, etwas unglücklich. Besser wäre [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] anstelle von $x$ und $y$.
Für den Nachweis der Konvexität von $f(x)$ haben wir zu zeigen, dass für alle [mm] $x_1,x_2\in \IR$ [/mm] mit [mm] $x_1
Deine Fallunterscheidung ist in Ordnung und es ist sicher richtig, dass man in den Fällen [mm] $x_2\leq [/mm] 0$ und [mm] $0\leq x_1$ [/mm] das Konvexitätskriterium [mm] $f''(x)\geq [/mm] 0$ anwenden kann:
>
> Konvexkriterium lautet
>
> a. f(x) ist konvex <=> f´´(x)>=0
> b.f(x) ist streng konvex <=> f´´(x)=0
>
> Fall 1 :
> 1. [mm]f(x))x^{2}=>[/mm] f´´(x)=2 >0 => ist streng konvex für alle
> x
>
> Fall 3:
> 3. f(x)=x => f´´(x)=0 => ist konvex für alle x
>
> Fall 2:
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> 2.ich hab die Funktion skizziert und Konvexivität.Kann ich
> das auch irgendwie anders mit der Def. zeigen so wie in 1.
> und 3?
Im problematischen Fall [mm] $x_1<0
Um auch im Fall 2 formal zu zeigen, dass die Verbindungsstrecke von [mm] $(x_1|f(x_1))$ [/mm] und [mm] $(x_2|f(x_2))$ [/mm] oberhalb des Graph von $f$ liegt, müsste man also noch nachweisen, dass (wie ich oben behauptet habe), die Verbindungsstrecke von [mm] $(x_1|f(x_1))$ [/mm] und [mm] $(x_2|f(x_2)$ [/mm] oberhalb den Verbindungsstrecken von [mm] $(x_1|f(x_1))$ [/mm] und $(0|f(0))$ sowie von $(0|f(0))$ und [mm] $(x_2|f(x_2))$ [/mm] liegt.
Zu diesem Zweck könntest Du z.B. die drei Strecken je mittels einer Geradengleichung ausdrücken: $s: [mm] y=\frac{x_2-x_1^2}{x_2-x_1}(x-x_1)+x_1^2$, $s_1: y=(-x_1)x$ [/mm] und [mm] $s_2: [/mm] y=x$.
Mit diesem Ansatz müsstest Du zeigen können, dass für [mm] $x\in [x_1;0]$ [/mm] gilt, dass [mm] $s_1(x)\leq [/mm] s(x)$, und dass für [mm] $x\in [0;x_2]$ [/mm] gilt, dass [mm] $s_2(x)\leq [/mm] s(x)$.
Hat man dies gezeigt, dann folgt sogleich, dass für alle [mm] $x\in [x_1;x_2]$ [/mm] gilt [mm] $f(x)\leq [/mm] s(x)$, d.h. die Strecke $s(x)$ verläuft oberhalb des Graphen von $x$ (denn ist [mm] $x\in [x_1;0]$, [/mm] so schliesst man [mm] $f(x)\leq s_1(x)\leq [/mm] s(x)$, also [mm] $f(x)\leq [/mm] s(x)$; ist aber [mm] $x\in ]0;x_2]$, [/mm] so schliesst man [mm] $f(x)\leq s_2(x)\leq [/mm] s(x)$, also [mm] $f(x)\leq [/mm] s(x)$).
Aber dieses Vorgehen ist natürlich schon ein wenig mühsam (um es eimmal höflich auszudrücken).
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:12 Sa 26.01.2008 | | Autor: | matheja |
Ich kann deine Gednaken zum 2. Fall verstehen, frag mich aber auch gleichzeitig ob es nicht noch einen kurzeren weg gibt.In einer Klausur (1.30 h) kann man sich ja mit so einer aufgabe nicht ewig herumschlagen.
Danke vorweg
matheja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 So 27.01.2008 | | Autor: | matheja |
Danke hat sich erledigt
lg
matheja
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