Koordinaten bzgl. B < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Guten Abend
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Berchne die Koordinaten von w = (1,1,1) [mm] \in [/mm] W bezüglich der Basis! Wobei die Basis: [mm] v_{1} [/mm] = (1,4,3) [mm] v_{2} [/mm] = (1,1,1).
Meine Lösung:
Da w = [mm] v_{2} [/mm] ist: 0 * [mm] v_{1} [/mm] + 1 * [mm] v_{2} [/mm] --> Die Koordinaten von w bzgl. B ist: (0,1) Stimmt das?
Liebe Grüsse
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Do 29.10.2009 | | Autor: | pelzig |
> Berchne die Koordinaten von w = (1,1,1) [mm]\in[/mm] W bezüglich
> der Basis! Wobei die Basis: [mm]v_{1}[/mm] = (1,4,3) [mm]v_{2}[/mm] =
> (1,1,1).
>
> Meine Lösung:
> Da w = [mm]v_{2}[/mm] ist: 0 * [mm]v_{1}[/mm] + 1 * [mm]v_{2}[/mm] --> Die
> Koordinaten von w bzgl. B ist: (0,1) Stimmt das?
Ja.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
Hallo
Nochmal eine andere Aufgabe:
Bestimme eine Basis und die Dimension der folgenden Vektorräume:
a) die lineare Hülle von (1,3,4,0,1),(2,5,6,-2,1) und (1,5,8,4,3)
Lösung:
1 2 1 0
3 5 5 0
4 6 8 0
0 -2 4 0
1 1 3 0
1 2 1 0
0 1 -2 0
0 1 -4 0
0 -2 4 0
0 1 -2 0
1 2 1 0
0 1 -2 0
0 2 -4 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 2 1 0
0 1 -2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
--> Dim(span) = 2
--> [mm] Basis{v_{1} , v_{2}}, [/mm] wobei [mm] v_{1}=(1,2,1) v_{2}=(0,1,-2)
[/mm]
Stimmt das? Bei der Basis bin ich mir überhaupts nicht sicher!
Liebe Grüsse
|
|
|
| |
|
> Hallo
>
> Nochmal eine andere Aufgabe:
>
> Bestimme eine Basis und die Dimension der folgenden
> Vektorräume:
> a) die lineare Hülle von [mm] b_1:= [/mm] (1,3,4,0,1), [mm] b_2:=(2,5,6,-2,1) [/mm] und
> [mm] b_3:=(1,5,8,4,3)
[/mm]
>
> Lösung:
> 1 2 1 0
> 3 5 5 0
> 4 6 8 0
> 0 -2 4 0
> 1 1 3 0
>
> 1 2 1 0
> 0 1 -2 0
> 0 1 -4 0
> 0 -2 4 0
> 0 1 -2 0
>
> 1 2 1 0
> 0 1 -2 0
> 0 2 -4 0
> 0 0 0 0
> 0 0 0 0
>
> [mm] \red{1} [/mm] 2 1 0
> 0 [mm] \red{1} [/mm] -2 0
> 0 0 0 0
> 0 0 0 0
> 0 0 0 0
>
> --> Dim(span) = 2
Die Zahlen nachgerechnet hab' ich nicht, die Vorgehensweise ist richtig.
Richtig ist auch, daß die Dimension des von den drei Vektoren aufgespannten Raumes =2 ist.
> --> [mm]Basis{v_{1} , v_{2}},[/mm] wobei [mm]v_{1}=(1,2,1) v_{2}=(0,1,-2)[/mm]
>
> Stimmt das? Bei der Basis bin ich mir überhaupts nicht
> sicher!
Mit Recht bist Du Dir unsicher. Das stimmt nicht. Ein deutliches Indiz: der Raum wird aufgespannt von Vektoren des [mm] \IR^5, [/mm] und nun soll derselbe Raum aufgespannt werden von Vektoren des [mm] \IR^3?
[/mm]
Das kann nicht sein.
So geht's: ich habe in Deiner ZSF die führenden Zeilenelemente markiert. Sie stehen hier in der 1. und 2. Spalte. Daraus weiß man, daß der [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] eine bais des aufgespannten Raumes bilden.
Andere Vorgehensweise:
Du legst die vektoren in eine Matrix:
[mm] \pmat{1&3&4&0&1\\ ...\\...}, [/mm] bringst dies auf ZSF und iest nun an den verbleibenden Zeilen die Basis ab.
Aber keine Mischform aus beidem anwenden!
Gruß v. Angela
>
> Liebe Grüsse
|
|
|
| |
|
Aufabe: Bestimme Dimension und Basis folgender Vektorräume:
a) die lineare Hülle von (1,3,4,0,1),(2,5,6,-2,1) und (1,5,8,4,3)
b) Die Lösungsmenge in [mm] \IR^3 [/mm] von
x + y - z = 0
3x + y + 2z = 0
2x + 3z = 0
Lösung:
a) Dimension = 2
Basis: {(1,3,4,0,1),(0,1,2,2,1)}
b) Dimension = 2
Basis: {(1,1,-1),(0,2,-5)}
Habe ich das richtig gemacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Fr 30.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
> Aufabe: Bestimme Dimension und Basis folgender
> Vektorräume:
>
> a) die lineare Hülle von (1,3,4,0,1),(2,5,6,-2,1) und
> (1,5,8,4,3)
>
> b) Die Lösungsmenge in [mm]\IR^3[/mm] von
> x + y - z = 0
> 3x + y + 2z = 0
> 2x + 3z = 0
>
> Lösung:
>
> a) Dimension = 2
> Basis: {(1,3,4,0,1),(0,1,2,2,1)}
Hallo,
das ist jetzt richtig so.
>
> b) Dimension = 2
> Basis: {(1,1,-1),(0,2,-5)}
das stimmt nicht.
In dieser Aufgabe sollst Du nicht eine Basis des von [mm] \vektor{1\\1\\-1}, \vektor{3\\1\\2}, \vektor{2\\0\\3} [/mm] aufgespannten Raumes bestimmen - das hast Du nämlich getan und zwar richtig.
Du sollst Basis und Dimension des Lösungsraumes des homogenen linearen Gleichungssystems bestimmen, also anders ausgedrückt den Kern von [mm] \pmat{1&1&-1\\3&1&2\\2&0&3}.
[/mm]
(Du hingegen hast das Bild von [mm] \pmat{1&3&2\\1&1&0\\-1&2&3} [/mm] bestimmt.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Ich habe folgendes gemacht bei b:
1 1 -1
3 1 2
2 0 3
1 1 -1
0 2 -5
0 2 -5
1 1 -1
0 2 -5
0 0 0
also habe ich nun als Basis: { (1,1,-1),(0,2,-5) }
Was habe ich falsch gemacht?
|
|
|
| |
|
> Ich habe folgendes gemacht bei b:
>
> 1 1 -1
> 3 1 2
> 2 0 3
>
>
> 1 1 -1
> 0 2 -5
> 0 2 -5
>
>
> 1 1 -1
> 0 2 -5
> 0 0 0
>
> also habe ich nun als Basis: { (1,1,-1),(0,2,-5) }
>
> Was habe ich falsch gemacht?
Hallo,
ich schrieb es doch schon:
Du hast eine Basis des von $ [mm] \vektor{1\\1\\-1}, \vektor{3\\1\\2}, \vektor{2\\0\\3} [/mm] $ aufgespannten Raumes bestimmt. Das hast Du richtig gemacht.
Die Aufgabenstellung allerdings war: bestimme Basis und Dimension des angegebenen linearen homogenen Gleichungssystems.
Es ist also der Lösungsraum zu bestimmen, dh. der Kern der Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems.
Du mußt also erstmal herausfinden, wie die [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] gemacht sind, die das System lösen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
also:
Z = 2/3x
y = 4 1/3 x
x
und jetzt?
|
|
|
| |
|
> also:
>
> Z = 2/3x
> y = 4 1/3 x
> x
>
> und jetzt?
Hallo,
Du hast Dich verrechnet. Rechne nochmal.
Für das, was ich Dir zeigen will, nehmen wir jetzt einfach an, daß Dein Ergebnis oben richtig ist.
Du hast herausgefunden:
Die Lösungsvektoren haben die Gestalt
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{x\\\bruch{13}{3}x\\\bruch{2}{3}x}=x*\vektor{1\\\bruch{13}{3}\\\bruch{2}{3}}.
[/mm]
Damit ist der Vektor [mm] \vektor{1\\\bruch{13}{3}\\\bruch{2}{3}} [/mm] eine Basis des Lösungsraumes. (Er ist (natürlich) linear unabhängig, und jeder Lösungsvektor kann als Linearkombination von ihm geschrieben werden.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela
Also ich glaube jetzt habe ich richtig gerechnet:
v = [mm] \pmat{ 1 \\ - \bruch{5}{3} \\ - \bruch{2}{3}}
[/mm]
Aber gibt es nur eine Basis? Also hat die Lösungsmenge die Dimension 1 (Wie berechne ich die Dimension)? Oder gehört der folgende Vektor auch noch zur Basis?
v = [mm] \pmat{ -\bruch{3}{2} \\ \bruch{5}{2} \\ 1 }
[/mm]
Liebe Grüsse
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela
>
> Also ich glaube jetzt habe ich richtig gerechnet:
>
> v = [mm]\pmat{ 1 \\ - \bruch{5}{3} \\ - \bruch{2}{3}}[/mm]
Hallo,
ja, das ist jetzt richtig.
Und damit ist dieser Vektor v eine basis des Lösungsraumes des Gleichungssystems.
Da diese Basis nur aus einem vektor besteht, ist die Dimension des Lösungsraumes =1.
>
> Aber gibt es nur eine Basis?
Nein.
Bei Vektorräumen gibt es üblicherweise sehr viele verschiedene Basen, welche aber die Eigenschaft haben, daß die Anzahl ihrer Elemente stets gleich ist.
Jedes von 0 verschiedene Vielfache Deines Vektors würde ebenfalls eine Basis bilden.
> Also hat die Lösungsmenge die
> Dimension 1 (Wie berechne ich die Dimension)?
Dimension=Anzahl der Basiselemente.
Oder gehört
> der folgende Vektor auch noch zur Basis?
>
> v = [mm]\pmat{ -\bruch{3}{2} \\ \bruch{5}{2} \\ 1 }[/mm]
Dieser Vektor wäre ebenfalls eine Basis des Raumes. (s.o.)
Auf jeden Fall ist auch er ein Element des Lösungsraumes. Im Lösungsraum sind alle Vielfachen von [mm] \pmat{ 1 \\ - \bruch{5}{3} \\ - \bruch{2}{3}}, [/mm] so auch dieser hier.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
