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Ich sol die Koordinaten des Vektors [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -5i} [/mm] bzgl. der Basis [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1-i},\vektor{2+i \\ -1 \\ -1}, \vektor{0 \\ 1+i \\ 2-i} \in \IC^3
[/mm]
bestimmen.
Dazu hab ich folgendes Gleichungssystem aufgestellt:
I) [mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] (2+i) =1
II) [mm] -\lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3(1+i) [/mm] = 0
III) [mm] \lambda_1 [/mm] ( 1-i) - [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] ( 2-i) = -5i
Nun weiß ich irgendwie nicht so recht wie ich die erte Unbekannte rausfinden kann. mich irritiert dieses i. Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Fr 14.12.2012 | | Autor: | chrisno |
Du siehst schnell, dass Du mit reellen [mm] $\lambda_i$ [/mm] nicht zum Ziel kommst.
Sonst folgt aus Gleichung II, dass [mm] $\lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0$ und dann aus I: [mm] $\lambda_1 [/mm] = 1$. Damit stimmt III dann nicht.
Also müssen die [mm] $\lambda_i$ [/mm] komplex sein. Damit hast Du letztlich ein Glichungssystem mit 6 Gleichgungen und 6 Variablen.
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Tut mir Leid aber ich stehe dabei irgendwie auf dem Schlauch. Könnte mir jemand das anhand der Aufgabe erklären wie ich denn jetzt die 3 Lambdas rausbekomme ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Fr 14.12.2012 | | Autor: | chrisno |
Ich habe Dir geschrieben, dass die [mm] $\lambda_i$ [/mm] komplex sind. Sie haben also Real- und Imaginärteil. Schreib Dein Gleichungssystem hin. Dabei werden aus jedem [mm] $\lambda_i$ [/mm] zwei neue.
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Muss ich dann i = [mm] \wurzel{-1} [/mm] einsetzen? Ich weiß gar nicht wie ich da vorgehen soll. Habe so eine Aufgabe noch nie berechnet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Fr 14.12.2012 | | Autor: | hippias |
Z.B. schreibst Du [mm] $\lambda_{2}= [/mm] a+ib$, [mm] $a,b\in \IR$. [/mm] Dann waere [mm] $\lambda_{2}(2+i)= [/mm] (a+ib)(2+i)= 2a+2ib+ ia+ [mm] i^{2}b= [/mm] 2a+2ib+ ia -b= 2a-b+i(2b+a)$. Verfahre so mit allen [mm] $\lambda_{k}$ [/mm] und vergleiche Realteile und Imaginaerteile. Daraus ergeben sich zwei neue reelle LGS, die Du wie gewohnt loest.
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[mm] \lambda_1 [/mm] = a+ ib
[mm] \lambda_1(1-i) [/mm] = (a+ib)(1-i) = a+b - i(a-b)
Stimmt das?
Und wie funktioniert das bei [mm] \lambda_3? [/mm] Da stehen ja 2 komplexe Zahlen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Fr 14.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
zunächst mal zu der Aufgabenstellung: Der Aufgabensteller sollte
dazuschreiben, über welchen Körper ihr den Vektorraum [mm] $\IC^3$
[/mm]
betrachtet.
> [mm]\lambda_1[/mm] = a+ ib
Es wurde vorgeschlagen, dass Du [mm] $\lambda_k \in \IC$ [/mm] in Real-
und Imaginärteil zerlegst:
BESSER wäre es also, zu schreiben
Wir schreiben
[mm] $$\lambda_k \in \IC$$
[/mm]
als
[mm] $$\lambda_k=a_k+i*b_k$$
[/mm]
mit [mm] $a_\textbf{\red{k}}:=\text{Re}(\lambda_k),\;b_\textbf{\red{k}}:=\text{Re}(\lambda_k) \in \IR$ [/mm] für [mm] $k=1,2,3\,.$
[/mm]
> [mm]\lambda_1(1-i)[/mm] = (a+ib)(1-i) = a+b - i(a-b)
>
> Stimmt das?
Ja (Wenngleich man sicher minimal besser [mm] $\ldots=a+b+i*(b-a)$
[/mm]
schreiben würde!)
> Und wie funktioniert das bei [mm]\lambda_3?[/mm] Da stehen ja 2
> komplexe Zahlen
Ich demonstriere das ganze mal beispielhaft an einem anderen
Gleichungssystem:
Nehmen wir an, Du hättest (in komplexen Variablen [mm] $\lambda_{1,2}$)
[/mm]
[mm] $$\lambda_1*(1+i)=2i$$
[/mm]
[mm] $$\lambda_2*(2+i)=3+4i$$
[/mm]
zu lösen.
Dann schreibst Du das System mit [mm] $\lambda_k=a_k+i*b_k$ [/mm] zu
[mm] $$(a_1+i*b_1)*(1+i)=2i$$
[/mm]
[mm] $$(a_2+i*b_2)*(2+i)=3+4i$$
[/mm]
Das sieht nun erstmal aus, als hätten wir nur zwei Gleichungen in den 4
reellen Variablen [mm] $a_1,a_2,b_1,b_2\,,$ [/mm] aber dem ist nicht so:
Die erste Gleichung ist äquivalent zu
[mm] $$(I)\;\;a_1-b_1+i*(a_1+b_1-2)=0\,,$$
[/mm]
die zweite zu
[mm] $$(II)\;\;2a_2-b_2-3+i*(a_2+2b_2-4)=0\,.$$
[/mm]
Nun ist eine komplexe Zahl [mm] $z=\text{Re}(z)+i*\text{Im}(z)$ [/mm] genau dann
[mm] $=0=0_{\IC}=0_{\IR}+i*0_{\IR}\,,$ [/mm] wenn der Realteil und der
Imaginärteil (die reelle) Null ist.
[mm] $(I)\;$ [/mm] ist also äquivalent zu DEN BEIDEN Gleichungen
[mm] $$(Ia)\;\;a_1-b_1=0$$
[/mm]
[mm] $$(Ib)\;\;a_1+b_1-2=0$$
[/mm]
und [mm] $(II)\;$ [/mm] ist also äquivalent zu DEN BEIDEN Gleichungen
[mm] $$(IIa)\;\;2a_2-b_2-3=0$$
[/mm]
[mm] $$(IIb)\;\;a_2+2b_2-4=0\,.$$
[/mm]
Also haben wir nun mit [mm] $(Ia),(Ib),(IIa)\,$ [/mm] und [mm] $(IIb)\,$ [/mm] vier Gleichungen (in
[mm] $\IR$) [/mm] in den vier reellen Variablen [mm] $a_1,a_2,b_1,b_2$ [/mm] zu lösen.
Bei diesem Beispiel, was ich mir natürlich recht simpel zusammengebastelt
habe, käme man - auch ohne den Gaußalgorithmus - relativ schnell auf
[mm] $$2b_1-2=0 \Rightarrow b_1=1 \Rightarrow a_1=1\,,$$
[/mm]
sowie
[mm] $$5a_2-10=0 \Rightarrow a_2=2 \Rightarrow b_2=1\,,$$
[/mm]
und so würde man sehen, dass das von mir (relativ künstlich) erstellte
Gleichungssystem genau die Lösungen
[mm] $$\lambda_1=1+i*1$$
[/mm]
und
[mm] $$\lambda_2=2+i*1$$
[/mm]
hätte.
Genau solche Überlegungen sollst Du nun natürlich auf Dein GLS
übertragen!
Gruß,
Marcel
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