Koordinatendarstellung des Vek < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Di 13.05.2008 | | Autor: | pedestal |
Hallo,
ich habe ein kleines Problem mit dem Vektorprodukt:
Das Vektorprodukt ist bestimmt durch z.B. 2 Vektoren a und b.
Vektor a: [mm] \pmat{ a1 & a2 & a3 } [/mm]
Vektor b: [mm] \pmat{b1 & b2 & b3 }
[/mm]
(a1, a2, a3) x (b1, b2, b3) = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
Aber wie kommt man genau auf das Ergebnis des Vektorproduktes ?
Was mit was multipliziert und subtrahiert werden muss, ist mir klar, aber wieso muss a2 * b3 gerechnet werden und davon dann a3*b2 abgezogen werden usw. ?
Welchen Rechenregeln geht dieses Ergebnis voraus ?
Mir ist nicht ganz einleuchtend, WIESO man auf so ein Ergebnis kommt.
Wäre echt super, wenn mir das einer erklären könnte 
Gruß, Basti
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Di 13.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich habe ein kleines Problem mit dem Vektorprodukt:
> Das Vektorprodukt ist bestimmt durch z.B. 2 Vektoren a und
> b.
>
> Vektor a: [mm]\pmat{ a1 & a2 & a3 }[/mm]
>
> Vektor b: [mm]\pmat{b1 & b2 & b3 }[/mm]
>
> (a1, a2, a3) x (b1, b2, b3) = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3,
> a1b2 - a2b1)
>
> Aber wie kommt man genau auf das Ergebnis des
> Vektorproduktes ?
> Was mit was multipliziert und subtrahiert werden muss, ist
> mir klar, aber wieso muss a2 * b3 gerechnet werden und
> davon dann a3*b2 abgezogen werden usw. ?
> Welchen Rechenregeln geht dieses Ergebnis voraus ?
> Mir ist nicht ganz einleuchtend, WIESO man auf so ein
> Ergebnis kommt.
>
> Wäre echt super, wenn mir das einer erklären könnte
Ich versuchs mal.
Wenn man es ohne Koordinaten macht, dann muss man doch das Produkt der Beträge bilden und dieses noch mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels multiplizieren. Ist dieser Winkel 90°, dann ist der Betrag des Vektorprodukts maximal (und besoders einfach zu berechnen).
Das nutzt man beim Rechnen mit Koordinaten.
Die Aufgabe (a1, a2, a3) x (b1, b2, b3) löst man, indem man beide Vektoren als Summe von Vielfachen der Einheitsvektoren schreibt:
(a1, a2, a3)=(a1,0,0)+(0,a2,0)+(0,0,a3) und (b1, b2, b3)=(b1,0,0)+(0,b2,0)+(0,0,b3)
Dann gilt
(a1, a2, a3) x (b1, b2, b3)=[(a1,0,0)+(0,a2,0)+(0,0,a3)] x [(b1,0,0)+(0,b2,0)+(0,0,b3)].
Das wird nach dem (meines Wissens auch für Vektoren geltenden) Distributivgesetzt ausmultipliziert.
Von den 9 entstehenden Produkten entsteht dreimal Null, z.B. weil (a1,0,0) und (b1,0,0) in die gleiche Richtung zeigen.
Die übrigen 6 Produkte werden zwischen Vektoren gebildet, die aufeinander senkrecht stehen und bei denen deshalb einfach eine Multiplikation der Beträge erfolgt.
Dass dabei die Hälfte ein Minuszeichen erhält, liegt an der Reihenfolge der jeweils multiplizierten Vektoren. Du weißt ja sicher, dass
[mm] \vec{a} [/mm] x [mm] \vec{b}=-\vec{b} [/mm] x [mm] \vec{a} [/mm] gilt. Deswegen haben z.B. die Vektorprodukte (a1,0,0)x(0,b2,0) und (0,a2,0)x(b1,0,0) entgegengesetzte Orientierungen und müssen deshalb voneinander subtrahiert werden.
Viele Grüße
Abakus
>
> Gruß, Basti
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 13.05.2008 | | Autor: | pedestal |
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort, Abakus.
Du schreibst:
>>(a1, a2, a3) x (b1, b2, b3)=[(a1,0,0)+(0,a2,0)+(0,0,a3)] x [(b1,0,0)+(0,b2,0)+(0,0,b3)].
Das wird nach dem (meines Wissens auch für Vektoren geltenden) Distributivgesetzt ausmultipliziert.
Wie wird denn das genau ausmultipliziert ?
Dass (a1,0,0) und (b1,0,0) = 0 ergibt, leuchtet mir ein, da sie genau aufeinander liegen.
Aber was gibt z.B. (a1,0,0) * (0,b2,0) ?
Wenn ich da a1 * 0 mache, 0 * b2 und 0 * 0 kommt hier auch 0 raus. Da schein ich irgendwo einen Denkfehler zu haben.
EDIT:
Ist das Ergebnis a1b1, a1b3, a2b1, a2b3, a3b1 und a3b2 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Di 13.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du [mm] (a1,0,0)\times(0,b2,0) [/mm] miteinander das Kreuzprodukt bildest weisst du 1. dass sie senkrecht aufeinander stehen, also sin90°=1 und der flächeninhalt dazwischen ist einfach a1*b1 du hast also als Beitrag von den beiden erstmal einen Vektor, der in die 3 Richtung zeigt, (senkrecht auf 1 und 2 Richtung.
einen weiteren Beitrag zur z Richtung bekommst du von [mm] (0,a2,0)\times(b1,0,0), [/mm] da hier ne linksschraube vorliegt, zeigt erin entgegengesetzter Richtung, also in -z Richtung. Entsprechend mit den anderen.
also hast du [mm] (a1,0,0)\times(0,b2,0)+ (0,a2,0)\times(b1,0,0)=(0,0,a1*b2-a2*b1)
[/mm]
in deiner Frage hast du nicht das Kreuzprodukt, sondern das Skalarprodukt benutzt.
Kreuzprodukt definiert [mm] \vec{a}\times \vec{b} [/mm] 1. steht senkrecht auf [mm] \vec{a}und [/mm] auf [mm] \vec{b} [/mm] und 2. ergibt die Fäche des parallelogramms, das von [mm] \vec{a}und \vec{b} [/mm] erzeugt wird.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Mi 14.05.2008 | | Autor: | pedestal |
Danke!!
Also ich versuche das jetzt nochmal zusammenzufassen:
1. Man wandelt den Vektor a und b in Einzelvektoren um
-->
(a1, a2, a3)=(a1,0,0)+(0,a2,0)+(0,0,a3)
und
(b1, b2, b3)=(b1,0,0)+(0,b2,0)+(0,0,b3)
2. Die Summen der Einzelvektoren werden gekreuzt:
[(a1,0,0)+(0,a2,0)+(0,0,a3)] x [(b1,0,0)+(0,b2,0)+(0,0,b3)]
Das wird gemacht, indem man mit Hilfe des Distributivgesetztes wieder kreuzt.
Das heißt:
(a1,0,0) x (b1,0,0) = 0, da beides auf der x1 Achse liegt aufeinander
(a1,0,0) x (0,b2,0) = a1*b2, weil sie senkrecht aufeinander liegen, also der Einzelvektor auf x1 und x2 und deswegen kann man sie einfach multiplizieren (?)
-> eine Rechtsschraube
Jetzt brauche ich noch was in die z Richtung (habe ich nicht ganz verstanden, es ist doch eigentlich alles nur in x1 bzw. x2 Richtung ?)
Also:
(b1,0,0) x (0,a2,0) = a2*b1, weil sie wieder senkrecht aufeinander liegen
--> Linksschraube, weil man von a nach b links rum wandern muss
--> negatives Vorzeichen
Das alles zusammengefasst ist nun:
(a1,0,0) x (0,b2,0) + (b1,0,0) x (0,a2,0) = a1*b2 - a2*b1
Die anderen (jetzt nicht so ausführlich, wie oben, da ja das selbe Prinzip):
(a1,0,0) x (0,0,b3) + (b1,0,0) x (0,0,a3) = a1*b3 - a3*b1
(0,a2,0) x (0,b2,0) = 0
(0,a2,0) x (0,0,b3) + (0,b2,0) x (0,0,a3) = a2*b3 - a3*b2
(0,0,a3) x (0,0,b3) = 0
---> Kreuzprodkt Vektor a x b
(a1, a2, a3) = (a1*b2 - a2*b1, a1*b3 - a3*b1, a2*b3 - a3*b2)
Allerdings ist die Lösung ja:
(a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
Wieso genau umgekehrt ?
So, ich hoffe, das stimmt im Großen und Ganzen.
Gruß, Basti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Mi 14.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fast alles richtig, nur die Komponenten falsch eingeordnet.
z-Richtung ist die dritte. deshalb:
(a1,0,0) x (0,b2,0) = a1*b2 so falsch, das ist nur der Betrag, also die Fläche die die beiden Vektoren beschreiben. Da das Kreuzprodukt senkrecht auf beiden steht, zeigt es in z-Richtung
richtig ist also:
(a1,0,0) x (0,b2,0) =(0,0, a1*b2)
entsprechend
(b1,0,0) x (0,a2,0) = (0,0,-a2*b1)
die anderen kriegst du jetzt sicher selbst hin.
Vektor in x- Richtung kreuz Vektor in z Richtung gibt Vektor in y- Richtung.
Damit kommt dann auch die richtige Reihenfolge raus.(in Worten hattest du das auch richtig!)
Wichtig beim Kreuzprodukt ist, dass man sich immer klar macht, dass es senkrecht auf den beiden Vektoren steht. Dazu benutzt man es auch häufig, 2 Vektoren liegen immer in einer Ebene, Das kreuzprodukt steht dann senkrecht auf der Ebene!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Mi 14.05.2008 | | Autor: | pedestal |
Hi leduart,
jetzt ist der Groschen gefallen. Und nun stimmt auch, wie du schon sagtest, die Reihenfolge.
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Do 15.05.2008 | | Autor: | pedestal |
Hi, muss nochmal nerven ;)
Hab hier die 2 Vektoren (b1|0|0) x (0|a2|0)
Dabei kommt ja (-a2*b1|0|0) als Ergebnis raus.
Hier mal ein Bild:
http://img381.imageshack.us/img381/5980/schrauberv3.jpg
Wenn ich aber den Vektor a (rot) auf den Vektor b (blau) lege, ist das doch eine Rechtsschraube ?
Dann noch eine kurze Frage:
Das Kreuzprodukt von (a1|0|0) x (0|b2|0) = (0|0|a1*b2) [sprich, ich bekomme den Vektor in z Richtung raus]
Wieso muss man nun die beiden Vektoren einfach umdrehen, also (b1|0|0) x (0|a2|0) und dieses von (a1|0|0) x (0|b2|0) abziehen (wobei das subtrahieren dann klar ist, wegen der Linksschraube, die ich aber noch nicht ganz erkennen kann, siehe erste Frage) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Do 15.05.2008 | | Autor: | chrisno |
Du hast richtig herausgefunden, dass das Bild falsch ist.
Der Pfeil der die Drehung beschreibt gibt an, dass a auf kürzestem Weg zu b hingedreht wird. Es wird also a x b berechnet und nicht wie dort steht b x a. Das Ergebnis, das da steht ist auch das für a x b.
Für b x a muss der bogenförmige Pfeil seine Spitze an das andere Ende gesetzt bekommen. Das Minuszeichen im Ergebnis fällt dann weg und der grüne Pfeil zeigt nach oben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:11 Fr 16.05.2008 | | Autor: | pedestal |
Danke!
Also müsste es richtig lauten: (0|a2|0) x (b1|0|0) = (0|0|-a2*b1)
Aber wieso das Minusvorzeichen ? Es ist doch eine Rechtsschraube, wenn ich Vektor a auf Vektor b drehe ?
Und wenn der rote und blaue Pfeil vertauscht wären, also wenn ich habe
(a1|0|0) x (0|b2|0) = (0|0|a1*b2)
Für mich ist das dann eine Linksschraube, wenn ich Vektor a auf dem x1 Pfeil auf kürzestem Wege zum Vektor b drehe auf dem x2 Pfeil.
EDIT: Ich habe das mal etwas bearbeitet:
Folgendes Bild zeigt (a1|0|0) x (0|b2|0) = (0|0|a1*b2):
http://img233.imageshack.us/img233/7367/00a1b2fu3.jpg
Ich hoffe, das stimmt so jetzt.
Das nächste Bild:
http://img228.imageshack.us/img228/7712/00b1a2zb3.jpg
(b1|0|0) x (0|a2|0) = (0|0|-b1*a2)
Ich merke, ich stehe im Moment ziemlich auf dem Schlauch, aber mit beiden Füßen :D
Denn wie erkenne ich hier die Schrauben bzw. Rechts- oder Linkssystem ?
So, nun eine letzte Frage:
Wieso muss ich genau die beiden oben genannten Kreuzprodukte addieren (bzw. wegen dem Minuszeichen dann subtrahieren) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Fr 16.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht ist das mit rechts und linksschraube ne schlechte Beschreibung.
Nimm immer Rechtsschrauben, (das sind die bei uns üblichen) jetzt "schraub so, dass a nach b geht, die Schraube bewegt sich nach unten. schraub b nach a die Schraube bewegt sich nach oben.
Ich selbst denk mir immer ne normale Schraube, und leg dann den Vektor [mm] a\times [/mm] b in der Richtung, in der sich die Schraube beim drehen von a nach b bewegt.
Andere Leut nehmen lieber dir "rechte Hand Regel" 1. Vektor =Daumen, 2. Vektor = Zeigefinger, Mittelfinger gibt dann die Richtung des Kreuzproduktes.
( ausserdem ist das "normale! x,y,z bzw x1,x2,x3 System so gelegt, dass die Schraube von x nach y die z- Richtung gibt.
In deiner Zeichnug ist die pos. z- richtung also nach oben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Sa 17.05.2008 | | Autor: | pedestal |
Ok, danke.
Also die Bilder stimmen so ?
Und wieso muss ich genau die beiden oben genannten (wie man sie auch auf den Bildern sieht) Kreuzprodukte addieren (bzw. durch das Minuszeichen subtrahieren) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 17.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab nur ein Bild, da zeigt er Pfeil von a nach b, die rechnung ist [mm] b\times [/mm] a. das ist falsch. der Vektor [mm] (0,a2,0)\times [/mm] (b1,0,0) =(0,0,-a2b1) ist richtig. das wurde dir aber schon gesagt.
der Vektor [mm] (a1,0,0)\times [/mm] (0,b2,0)=(0,0,+a1b2) weisst in die Gegenrichtung, die beiden addiert ergeben dann:(0,0,a1b2-b1a2)
in deinem Bild weist die x2-Achse so, wie man üblicherweise die x1- Achse zeichnet, deshalb ist es verwirrend!
Dass man die alle addiert hatten wir doch zu Anfang besprochen, weil wir doch (a1,a2,a3) in ne Summe aufgeteilt hatten und b genauso.
(wenn du (1+3+4)mit (5+6+7) einzeln mult. musst du doch auch die ergebnisse addieren. Aber vielleicht hab ich deine Frage nicht verstanden. Geh nochmal zu dem ersten post zurück und schreib die multiplikation auf nem papier aus.
das sind 3 Vektoren* 3 Vektoren, das gibt insgesamt 6 Multiplikationen. am Ende werden die entstandenen 6 Vektoren wieder zu einem zusammengefasst (addiert)
Mal dir zum Multipl. ein Koordinatensystem auf, und denk an die Rechtsschrauben für das Vorzeichen.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:52 So 18.05.2008 | | Autor: | pedestal |
Hi leduart,
ich meine die 2 Bilder (habe ich noch bei EDIT in meinem letzten Post dazugefügt):
http://img233.imageshack.us/img233/7367/00a1b2fu3.jpg
und
http://img228.imageshack.us/img228/7712/00b1a2zb3.jpg
Das mit den Achsen steht so in meinem Schulbuch und so haben wir es auch gelernt, dass es mit x1 anfängt.
Aber wenn man x1 und x2 Achse vertauscht, dürfte das mit der Rechts und Linksschraube ja auch wieder hinhauen.
Mit dem Addieren, da habe ich mich wohl etwas ungeschickt ausgedrückt.
Man hat ja (a1,0,0) x (0,b2,0)=(0,0,+a1b2)
wieso addiert man dieses jetzt mit (0,a2,0) x (b1,0,0) =(0,0,-a2b1) und nicht z.B. mit (0,a2,0) x (0,0,b3) = (a2*b3|0|0).
Also wieso immer mit der Gegenrichtung ?
Ich hoffe, dass bei mir bald der "Aha" Effekt eintritt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 So 18.05.2008 | | Autor: | pedestal |
Hallo Leute,
sorry, die letzten Posts von mir und die Fragen sind etwas verwirrend, wie ich gerade merke und zum Teil die Zeichnungen falsch.
Ich fasse nochmal meine Schwierigkeiten kurz zusammen:
1. Frage
(a1|0|0) x (0|b2|0) = (0|0|a1*b2)
Dieses Kreuzprodukt habe ich so gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wegen der Antisymetrie a x b = -b x a gilt:
(-b1|0|0) x (0|a2|0) = (0|0|-b1*a2)
Und das habe ich so gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Stimmen die Zeichnungen (auch wenn die Achsen vertauscht sind, aber so haben wir es in der Schule gelernt. x1 nach unten. x2 nach rechts und x3 nach oben) ?
2. Frage:
Vermutlich habt ihr sie schon beantwortet, aber ich habs wohl immer noch nicht ganz gerafft :-(
Wieso addiert man GENAU die beiden oben genannten Vektorprodukte, also wieso a1*b3 addieren mit -b1*a3 und nicht mit zum Beispiel a2*b3 ?
Danke jedenfalls schonmall für eure Geduld...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 So 18.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die beiden haben die ersten 2 komponenten 0
und wenn man die zwei Vektoren (0,0,a)+(0,0,b) addiert ergibt sich eben (0,0,a+b)
Für dein gesamtes Vektorprodukt musst du ja auch noch (0,a2,0) und (0,0,b3) und (0,0,a3)*(0,b2,0) addieren. die ergeben beide was in der erstn Komponente , und du bekommst zusammen (a2b3-a3b2,0,0) und dann noch die nächsten für die mittlere Komponente.
D.H. du addierst nicht nur die sondern insgesamt 6 Vektorprodukte von "einfachen" Vektoren, um dann schliesslich durch Addition [mm] (a1,a2,a3)\times [/mm] (b1,b2,b3) zu kriegen!
Ich hatte dir schon gestern geraten, zum ersten post zurückzugehen und das jetz- mit dem was du gelernt hast mal an einem Stück aufzuschreiben.
Und dass man beim Addieren von Vektoren die Komponenten addiert ist dir ja klar, hier waren es eben die x3 bzw z Komponenten.
Gruss leduart
Deine Zeichnungen sind klar, die Rechnungen sind richtig, aber wenn man das ursprüngliche Ziel [mm] (a1,a2,a3)\times [/mm] (b1,b2,b3) zu erklären aus den Augen verloren hat, macht es natürlich keinen Sinn die 2 zu addieren. die Addition war Teil der Erklärung!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Mi 21.05.2008 | | Autor: | pedestal |
Hallo,
danke für eure Hilfe. Hab's nun endlich geschnallt 
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Hallo pedestal und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo,
> ich habe ein kleines Problem mit dem Vektorprodukt:
> Das Vektorprodukt ist bestimmt durch z.B. 2 Vektoren a und
> b.
>
> Vektor a: [mm]\pmat{ a1 & a2 & a3 }[/mm]
>
> Vektor b: [mm]\pmat{b1 & b2 & b3 }[/mm]
>
> (a1, a2, a3) x (b1, b2, b3) = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3,
> a1b2 - a2b1)
>
> Aber wie kommt man genau auf das Ergebnis des
> Vektorproduktes ?
> Was mit was multipliziert und subtrahiert werden muss, ist
> mir klar, aber wieso muss a2 * b3 gerechnet werden und
> davon dann a3*b2 abgezogen werden usw. ?
> Welchen Rechenregeln geht dieses Ergebnis voraus ?
> Mir ist nicht ganz einleuchtend, WIESO man auf so ein
> Ergebnis kommt.
>
> Wäre echt super, wenn mir das einer erklären könnte
>
> Gruß, Basti
>
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  Vektorprodukt oder ![[]](/images/popup.gif) in der Wikipedia
Gruß informix
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