Koordinatenform -> Param.form? < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Kobe_89 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Parameterform zu der folgenden Koordinatenform:
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = 4 |
wie genau geht das ? kann mir das jemand in einzelnen Schritten zeigen ?
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Hallo Kobe_89!
> Bestimmen Sie die Parameterform zu der folgenden
> Koordinatenform:
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> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = 4
> wie genau geht das ? kann mir das jemand in einzelnen
> Schritten zeigen ?
Ich denke, da gibt es mehrere Möglichkeiten. Du könntest es über die Normalenform machen, den Normalenvektor kannst du ablesen (einfach die Vorfaktoren der Variablen). (Aus der Normalengleichung dann eine Parametergleichung machen.) Du kannst es auch über zwei bzw. drei Punkte machen. Dafür kannst du beliebige [mm] x_i [/mm] suchen, die die Gleichung erfüllen, also z. B. [mm] x_1=2, x_2=x_3=0, [/mm] denn dies gibt dir genau einen Punkt der Ebene an. Wenn du drei solcher Punkte hast, kannst du einen als Stützvektor nehmen und die beiden anderen zur Berechnung der Richtungsvektoren benutzen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Kobe_89 |
Könntest du mir vielleicht die 2 Möglichkeiten mal im Detail erläutern bitte ? Ich blick da momentan irgendwie nicht durch, was man da machen soll bei deiner Erklärung :(
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> Könntest du mir vielleicht die 2 Möglichkeiten mal im
> Detail erläutern bitte ? Ich blick da momentan irgendwie
> nicht durch, was man da machen soll bei deiner Erklärung :(
Hallo,
Bastianes zweiter Vorschlag war folgender:
bestimme anhand der Koordinatengleichung drei Punkte der Ebene.
Aus diesen kannst Du dann wie gewohnt die Parametergleichung aufstellen.
Du solltest das jetzt mal im Detail ausführen. Wenn Du nicht weiterkommst frage nach, vergiß aber nicht, Deine bisherigen Rechnungen mit vorzustellen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Di 22.04.2008 | | Autor: | Kobe_89 |
Also jetzt habe ich [mm] x_{1}=2; x_{2}=\bruch{4}{3}; x_{3}=-4
[/mm]
das könnte ich ja als Ortsvektor nehmen in Form von
[mm] \vec{x}: \pmat{ 2 \\ \bruch{4}{3} \\ -4}
[/mm]
und wie krieg ich dann den Richtungsvektor dazu ?
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> Also jetzt habe ich [mm]x_{1}=2; x_{2}=\bruch{4}{3}; x_{3}=-4[/mm]
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> das könnte ich ja als Ortsvektor nehmen in Form von
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> [mm]\vec{x}: \pmat{ 2 \\ \bruch{4}{3} \\ -4}[/mm]
>
> und wie krieg ich dann den Richtungsvektor dazu ?
Hallo,
die Ebenengleichung war ja
$ [mm] 2x_{1} [/mm] $ + $ [mm] 3x_{2} [/mm] $ - $ [mm] x_{3} [/mm] $ = 4,
und Dein Punkt löst die gar nicht:
$ 2*2 $ + $ [mm] 3*\bruch{4}{3} [/mm] $ - $ (-4) $ [mm] \not= [/mm] 4.
Aber [mm] x_{1}=2; x_{2}=\bruch{4}{3}; x_{3}=4 [/mm] tut's, also ist [mm] \vec{x}:=\pmat{ 2 \\ \bruch{4}{3} \\ 4} [/mm] der Ortsvektor eines Punktes in der Ebene.
Einen weiteren Ebenenpunkt hatte Bastiane für Dich ausgerechnet, zum Aufstellen der Parametergleichung brauchst Du noch einen dritten.
Einen dieser Punkte kannst Du dann als Stützvektor nehmen, die Differenz zwischen jeweils dem anderen und dem Stützvektor ergibt dann die beiden Richtungsvektoren.
Wie von Bastiane bereits angesprochen, ist der geschilderte Weg eine der Möglichkeiten zur Gleichung zu kommen.
Die andere würde über einen Ebenenpunkt und zwei zum Normalenvektor senkrechte Vektoren laufen - kommt halt drauf an, was Du kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Di 22.04.2008 | | Autor: | Kobe_89 |
Sorry aber mit den Antworten kann ich nicht viel anfangen, ich weiß einfach nicht wie ich da weiter rechnen soll, damit ich mehr punkte bestimmen kann und steh total auf dem Schlauch. Wäre es zu viel verlangt die Rechnung fertig zu stellen, damit ich die einzelnen Schritte anschauen und nachvollziehen kann ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Di 22.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kobe!
Um diverse Punkte der Ebene zu ermitteln, kannst Du jeweils 2 der 3 Koordinaten [mm] $x_1$ [/mm] , [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] frei wählen und daraus die 3. Koordinaten berechnen.
Beispiel: gewählt: [mm] $\red{x_1 \ = \ 1}$ [/mm] und [mm] $\blue{x_2 \ = \ -2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $2*\red{x_1} [/mm] + [mm] 3*\blue{x_2} [/mm] - [mm] x_3 [/mm] \ = \ [mm] 2*\red{1} [/mm] + [mm] 3*(\blue{-2}) [/mm] - [mm] x_3 [/mm] \ = \ 4$
[mm] $\gdw$ $\green{x_3 \ = \ -8}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $P \ [mm] \left( \ \red{1} \ | \ \blue{-2} \ | \ \green{-8} \ \right) [/mm] \ [mm] \in [/mm] \ E$
Gruß
Loddar
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