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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Karlchen |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(2/0/-1), B(1/-2/1) und die Gerade
[mm] h:\vec{x}=\vektor{3 \\ 2 \\ -1} [/mm] + [mm] t*\vektor{2\\ 4 \\ -4}
[/mm]
Bestimmen sie die Gleichung der Geraden g durch die Punkte A und B und zeigen sie, dass die Geraden g und h parallel sind.
Geben sie die Gleichung einer Ebene E ind Koordinatenform an, die durch g und h festgelegt ist. |
Nabend zusammen!
also an sich ist die aufgabe eigentlich kein problem.
g: [mm] \vektor{2\\ 0 \\ -1}+s*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
dann sieht man ja schon an den Richtungsvektoren, dass die parallel sind.
die Ebenengleichung ist
[mm] E:\vec{x}= \vektor{2\\ 0 \\ -1}+u*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}+ v*\vektor{2\\ 4 \\ -4}
[/mm]
[mm] x_{1}=2-u+2v
[/mm]
[mm] x_{2}=-2u+4v
[/mm]
[mm] x_{3}=-1+2u-4v
[/mm]
wenn ich das umforme und ausrechne erhalte ich
E: [mm] -2x_{1}+2x_{2}+x_{3}=-5
[/mm]
meine Frage ist, ob das so richtig ist. irgendwie hab ich das gefühl, was falsch gemacht zu haben. wäre sehr lieb, wenn das mal jemand kontrollieren könnte.
Gruß Kalrchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Andi |
Hi Karlchen,
> g: [mm]\vektor{2\\ 0 \\ -1}+s*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}[/mm]
>
> dann sieht man ja schon an den Richtungsvektoren, dass die
> parallel sind.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") du hast recht das sieht man sehr schön .... vielleicht
schreibst du trotzdem noch die entsprechende Rechnung hin
Stichwort: lineare Abhängigkeit
> die Ebenengleichung ist
>
> [mm]E:\vec{x}= \vektor{2\\ 0 \\ -1}+u*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}+ v*\vektor{2\\ 4 \\ -4}[/mm]
Die Ebenengleichung ist leider falsch.
Eigentlich ist es auch gar keine Ebene sondern nur eine Gerade,
das liegt daran, dass deine zwei Richtungsvektoren wie du selber ja schon gesagt hast parallel sind. Das heißt sie liegen beide auf einer Geraden.
Für eine Ebene brauchst du aber zwei Richtungsvektoren welche man nicht auf eine Gerade legen kann.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Karlchen,
während du hoffentlich gerade nachdenkst wie du noch einen Richtungsvektor für deine Ebene findest schreibe ich dir noch ein paar Anmerkungen zu deiner Lösung:
1. Wie einer "Ebene" zu einer Geraden wird:
[mm]e:\vec{x}= \vektor{2\\ 0 \\ -1}+u*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}+ v*\vektor{2\\ 4 \\ -4}=\vektor{2\\ 0 \\ -1}+u*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}+ v*(-2)*\vektor{-1\\ -2 \\ 2}[/mm]
[mm]e:\vec{x}= \vektor{2\\ 0 \\ -1}+(u-2v)*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}=\vektor{2\\ 0 \\ -1}+w*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}[/mm]
mit w=u-2v
Nun zu deinem Gleichungssystem:
> [mm]x_{1}=2-u+2v[/mm]
> [mm]x_{2}=-2u+4v[/mm]
> [mm]x_{3}=-1+2u-4v[/mm]
Wenn ich das umforme erhalte ich:
aus I wird I': [mm]u=2-x_1+2v[/mm]
I' in II: [mm]x_2=-2(2-x_1+2v)+4v \Rightarrow x_2=-4+2x_1[/mm]
I' in III: [mm]x_3=-1+2(2-x_1+2v)-4v \Rightarrow x_3=3-2x_1[/mm]
Das heißt ich erhalte nicht eine Gleichung sondern zwei Gleichungen.
Du bekommst also zwei Ebenen nicht eine.
Aber beide Gleichungen sind nur in der Schnittmenge der beiden Ebenen erfüllt. Und diese Schnittmenge ist genau deine Gerade, welche du für eine Ebene gehalten hast.
Also die Lösungsmenge diesen Gleichungssystems:
1: [mm] x_2=-4+2x_1
[/mm]
2: [mm] x_3=3-2x_1
[/mm]
Ist [mm] \IL=\{ \vec{x} \in \IR^3 :\vec{x}=\vektor{2\\ 0 \\ -1}+w*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2} \}
[/mm]
So das war jetzt vielleicht ein wenig kompliziert, aber falls du den Ausführungen folgen konntest hast du bestimmt eine Menge gelernt.
Vielleicht noch mal ein Vergleich zum 2Dimensionalen Raum.
Dort beschreibt eine Gleichung der Form [mm]ax_1+bx_2+c=0[/mm] eine Gerade (welche du mit der Gleichung y=mx+t kennst)
Der Schnitt zweier nicht paralleler und nicht identischer Geraden ist ein Punkt.
Im 3Dimensionalen Raum beschreibt eine Gleichung der Form [mm]ax_1+bx_2+cx_3+d=0[/mm] eine Ebene.
Der Schnitt zweier nicht paralleler und nicht identischer Ebenen ist eine Gerade.
So .... bitte frag nach, wenn dich dazu noch etwas interessiert.
Jetzt will ich mal sehen was unser eigentliches Problem macht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Do 28.02.2008 | | Autor: | Karlchen |
Hallo und danke Andi für deine mühe^^
war noch unterwergs, konnt nich eher antworten...
> während du hoffentlich gerade nachdenkst wie du noch einen
> Richtungsvektor für deine Ebene findest schreibe ich dir
> noch ein paar Anmerkungen zu deiner Lösung:
ja hab ich drüber nachgedacht, aber zu einer wirklichen Lösung bin ich nich gekommen. Also zuerst habe ich versucht, dass mit einem beliebigen Punkt [mm] (x_{1}/x_{2}/x_{3} [/mm] zu rechnen. is aba nix bei rausgekommen.
Also, da ich aba einen Punkt brauche, der nicht auf der Geraden liegt, kann ich mir da nich einfach einen suchen. Zum Beispiel P(0/0/-1)? oder, was mir am logischten erscheint: kann ich den stützvektor von h einfach als ein punkt C bestimmen und dann durch C-A meinen zweiten Richtungsvektor?
> 1. Wie einer "Ebene" zu einer Geraden wird:
>
> [mm]e:\vec{x}= \vektor{2\\ 0 \\ -1}+u*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}+ v*\vektor{2\\ 4 \\ -4}=\vektor{2\\ 0 \\ -1}+u*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}+ v*(-2)*\vektor{-1\\ -2 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]e:\vec{x}= \vektor{2\\ 0 \\ -1}+(u-2v)*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}=\vektor{2\\ 0 \\ -1}+w*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}[/mm]
>
> mit w=u-2v
geht das bei jeder beliebigen Ebene?
> Nun zu deinem Gleichungssystem:
>
> > [mm]x_{1}=2-u+2v[/mm]
> > [mm]x_{2}=-2u+4v[/mm]
> > [mm]x_{3}=-1+2u-4v[/mm]
>
> Wenn ich das umforme erhalte ich:
>
> aus I wird I': [mm]u=2-x_1+2v[/mm]
> I' in II: [mm]x_2=-2(2-x_1+2v)+4v \Rightarrow x_2=-4+2x_1[/mm]
> I' in III: [mm]x_3=-1+2(2-x_1+2v)-4v \Rightarrow x_3=3-2x_1[/mm]
> Das heißt ich erhalte nicht eine Gleichung sondern zwei
> Gleichungen.
> Du bekommst also zwei Ebenen nicht eine.
> Aber beide Gleichungen sind nur in der Schnittmenge der
> beiden Ebenen erfüllt. Und diese Schnittmenge ist genau
> deine Gerade, welche du für eine Ebene gehalten hast.
ich hatte auch zwei gleichungen,aba weil ich das nich wahr haben wolle :D, hab ich die einfach auch noch addiert um so nur eine Gleichung zu erhalten
> So das war jetzt vielleicht ein wenig kompliziert, aber
> falls du den Ausführungen folgen konntest hast du bestimmt
> eine Menge gelernt.
na ja, folgen konnte ich dem ganze schon, aba verstehen? umsetzen??? ich weiß nich irgendwie is mir das noch nich ganz klar. aba ich glaube, hoffe, wenn ich ers ma weiß, wie ich meinen 2. Richtungsvektor bekomme, könnte ich da evtl hinterkommen^^
echt lieben Dank nochmal, dass du dir so viel mühe gemacht hast
Gruß Karlchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:41 Do 28.02.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Karlchen,
> Also, da ich aba einen Punkt brauche, der nicht auf der
> Geraden liegt, kann ich mir da nich einfach einen suchen.
naja einen beliebigen Punkt kannst du dir nicht suchen,
denn du willst ja auch keine beliebige Ebene haben.
Du willst eine Ebene bekommen, in welcher beide Geraden liegen.
> erscheint: kann ich den stützvektor von h einfach als ein
> punkt C bestimmen und dann durch C-A meinen zweiten
> Richtungsvektor?
Genau, das ist der richtige Weg.
Zuerst müssen wir uns vergewissern, dass der Punkt A nicht auf der Geraden h liegt.
Mit
[mm]\vektor{2\\ 0 \\ -1}= \vektor{3\\ 2 \\ -1}+u*\vektor{2 \\ 4 \\ -4}[/mm]
bekommen wir folgendes Gleichungssystem:
2=3+2u
0=2-4u
-1=-1-4u
Die letzte Gleichung ist nur für u=0 erfüllt, was aber dann zu den Widersprüchen 0=2 und 2=3 führt. Das bedeutet, dass der Punkt A nicht auf der Geraden h liegen kann.
Nun kann ich [mm] C-A=\vektor{3\\ 2 \\ -1}-\vektor{2\\ 0 \\ -1}=\vektor{1\\ 2 \\0}[/mm] als meinen zweiten Richtungsvektor benutzen.
> > 1. Wie einer "Ebene" zu einer Geraden wird:
> >
> > [mm]e:\vec{x}= \vektor{2\\ 0 \\ -1}+u*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}+ v*\vektor{2\\ 4 \\ -4}=\vektor{2\\ 0 \\ -1}+u*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}+ v*(-2)*\vektor{-1\\ -2 \\ 2}[/mm]
>
> >
> > [mm]e:\vec{x}= \vektor{2\\ 0 \\ -1}+(u-2v)*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}=\vektor{2\\ 0 \\ -1}+w*\vektor{-1 \\ -2 \\ 2}[/mm]
>
> >
> > mit w=u-2v
>
> geht das bei jeder beliebigen Ebene?
Nein natürlich nicht, bei einer Ebene geht es nie!
Es ging nur weil es keine Ebene war, sondern eine Gerade welche
du so hingeschrieben hast, dass man sie mit einer Ebenen verwechseln könnte. Aber mit zwei linear abhängigen Richtungsvektoren, kannst du keine Ebene aufspannen! 
oder würdest du mir abkaufen, dass das eine Ebene ist:
[mm]E:e:\vec{x}= \vektor{1\\ 1 \\ 1}+u*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ v*\vektor{2\\ 2 \\ 2}[/mm]
> na ja, folgen konnte ich dem ganze schon, aba verstehen?
> umsetzen??? ich weiß nich irgendwie is mir das noch nich
> ganz klar. aba ich glaube, hoffe, wenn ich ers ma weiß, wie
> ich meinen 2. Richtungsvektor bekomme, könnte ich da evtl
> hinterkommen^^
hmm .... vielleicht finde ich morgen noch ein paar Worte um dir den
Gedanken klarer zu machen....
So .... ich geh jetzt mal ins Bett
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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