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Koordinatengl->Parameterdarst.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:04 Sa 11.12.2010
Autor: KylexD

Ich verstehe nicht so ganz,wie man eine Koordinatengleichung in eine Parameterdarstellung umwandelt. Alles was ich bisher im Internet gelesen habe, hab ich einfach nicht verstanden. Zum Beispiel die Gleichung 3x1+x2-x3=2

        
Bezug
Koordinatengl->Parameterdarst.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Sa 11.12.2010
Autor: MathePower

Hallo KylexD,

> Ich verstehe nicht so ganz,wie man eine
> Koordinatengleichung in eine Parameterdarstellung
> umwandelt. Alles was ich bisher im Internet gelesen habe,
> hab ich einfach nicht verstanden. Zum Beispiel die
> Gleichung 3x1+x2-x3=2


Löse diese Gleichung nach [mm]x_{2}[/mm] oder [mm]x_{3}[/mm] auf.

Da hier eine Gleichung in 3 Variablen vorliegt sind 2 Variable frei wählbar.

Wähle hier für diese Variablen die Parameter s und t .

Im Fall, daß die Gleichung nach [mm]x_{2}[/mm] aufgelöst wird, steht dann da:

[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ ... \\ 0}+s*\pmat{1 \\ .. \\ 0}+ t*\pmat{0 \\ ... \\ 1}, \ s,t \in \IR[/mm]


Gruss
MathePower

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Koordinatengl->Parameterdarst.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 Sa 11.12.2010
Autor: KylexD

Also kann ich zum Beispiel für x1 und x2 frei wählen z.B x1=2 und für x2=0 und das setze ich dann in die Gleichung ein 3*2+0-x3=2 --> x3=4 also wäre der Stützvektor [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}. [/mm] Hab ich das richtig verstanden? Ich hab im Internet noch ein Beispiel gefunden

E: 2x1-x2-3x3= 6

dann wird du x1 = r und für x3 = s ein.
Also: x2 = -6 + 2r - 3s

x1 = 0 + r + 0
x2 = - 6 + 2r - 3s
x3 = 0 + 0+ s

Parametergleichung:
E: x = ( 0 / -6 / 0 )+ r (1 / 2 / 0 )+ s ( 0 / -3 / 1)

Dieses Beispiel verstehe ich nicht, stimmt das so überhaupt?

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Koordinatengl->Parameterdarst.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:45 Sa 11.12.2010
Autor: MathePower

Hallo KylexD,

> Also kann ich zum Beispiel für x1 und x2 frei wählen z.B
> x1=2 und für x2=0 und das setze ich dann in die Gleichung
> ein 3*2+0-x3=2 --> x3=4 also wäre der Stützvektor
> [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}.[/mm] Hab ich das
> richtig verstanden? Ich hab im Internet noch ein Beispiel


Ja.


> gefunden
>
> E: 2x1-x2-3x3= 6
>  
> dann wird du x1 = r und für x3 = s ein.
>  Also: x2 = -6 + 2r - 3s
>  
> x1 = 0 + r + 0
>  x2 = - 6 + 2r - 3s
>  x3 = 0 + 0+ s
>  
> Parametergleichung:
>  E: x = ( 0 / -6 / 0 )+ r (1 / 2 / 0 )+ s ( 0 / -3 / 1)
>  
> Dieses Beispiel verstehe ich nicht, stimmt das so
> überhaupt?


Das stimmt alles.

Hier ist nach [mm]x_{2}[/mm] aufgelöst worden: [mm]x_{2}=-6+2*x_{1}-3*x_{3}[/mm]

Dann ist für [mm]x:{1}=r[/mm] und für [mm]x_{3}=s[/mm] gesetzt worden.

Damit steht da:

[mm]x_{1}=0+1*r+0*s[/mm]

[mm]x_{2}=-6+2*r-3*s[/mm]

[mm]x_{3}=0+0*r+1*s[/mm]

Damit lautet die Parameterdarstelliung:

[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2] \\ x_3}}=\pmat{0 \\ -6 \\ 0}+r*\pmat{1 \\ 2 \\ 0}+s*\pmat{0 \\ -3 \\ 1}[/mm]


Gruss
MathePower

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Koordinatengl->Parameterdarst.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:55 Sa 11.12.2010
Autor: KylexD

Mir ist halt nicht klar, wie das zustande kommt aus der umgeformten Gleichung.
x1 = 0 + r + 0
x2 = - 6 + 2r - 3s
x3 = 0 + 0+ s

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Koordinatengl->Parameterdarst.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 Sa 11.12.2010
Autor: MathePower

Hallo KylexD,

> Mir ist halt nicht klar, wie das zustande kommt aus der
> umgeformten Gleichung.
>   x1 = 0 + r + 0
>   x2 = - 6 + 2r - 3s
>   x3 = 0 + 0+ s  

Nun, die Gleichung für [mm]x_{2}[/mm] kommt zustande,
in dem  Du die Ebenengleichung

[mm]2*x_{1}-x_{2}-3*x_{3}=6[/mm]

nach [mm]x_{2}[/mm] auflöst und für [mm]x_{1}=r, \ x_{3}=s[/mm] setzt.


Gruss
MathePower

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Koordinatengl->Parameterdarst.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:15 Sa 11.12.2010
Autor: KylexD

Dann hat man ja diese Gleichung x2 = - 6 + 2r - 3s  mit r und s für x1 und x3. Aber jetzt stehe ich auf dem Schlauch wie man auf x1 = 0 + r + 0  ich hab da immer was anderes raus^^

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Koordinatengl->Parameterdarst.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 Sa 11.12.2010
Autor: MathePower

Hallo KylexD,

> Dann hat man ja diese Gleichung x2 = - 6 + 2r - 3s  mit r
> und s für x1 und x3. Aber jetzt stehe ich auf dem Schlauch
> wie man auf x1 = 0 + r + 0  ich hab da immer was anderes
> raus^^


Nun, das dient nur nur Veranschaulichung:

[mm]x_{1}=0+1*r+0+s \gdw x_{1}=r[/mm]


Gruss
MathePower

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Koordinatengl->Parameterdarst.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 Sa 11.12.2010
Autor: KylexD

Ok nur müsste dann von der Gleichung her nicht 2r stehen oder ist das immer so mit 0+r+0,0+s+0 oder sowas?
  Ich glaube ich habs verstanden. Das mit dem 0+r+0 und 0+0+s macht man immer also ist beim ersten Vektor x1 und x2 immer gleich 0. Und bei dem Beispiel 3x1+x2-3x=2 ist x1=0+r+0
x2=-2+3r-s , also 0/-2/0 + r 1/3/0 + s 0/-1/1
x3=0+0+s

Und wenn man die Gleichung überprüfen möchte, muss man ja eigentlich nur wieder das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bilden und gucken, ob n mit dem der Koordinatengleichung übereinstimmt oder?

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Koordinatengl->Parameterdarst.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 So 12.12.2010
Autor: MathePower

Hallo KylexD,

> Ok nur müsste dann von der Gleichung her nicht 2r stehen
> oder ist das immer so mit 0+r+0,0+s+0 oder sowas?  Ich


Das macht man immer so.


> glaube ich habs verstanden. Das mit dem 0+r+0 und 0+0+s
> macht man immer also ist beim ersten Vektor x1 und x2 immer
> gleich 0. Und bei dem Beispiel 3x1+x2-3x=2 ist x1=0+r+0
>  x2=-2+3r-s , also 0/-2/0 + r 1/3/0 + s 0/-1/1


Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:

[mm]x_{2}=\blue{+}2+3*r-s[/mm]


>  x3=0+0+s
>  
> Und wenn man die Gleichung überprüfen möchte, muss man
> ja eigentlich nur wieder das Kreuzprodukt der
> Richtungsvektoren bilden und gucken, ob n mit dem der
> Koordinatengleichung übereinstimmt oder?


Üblicherweise setzt man dann die Parametergleichung
in die Koordinatengleichung ein.


Gruss
MathePower

Bezug
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