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Die folgende Frage ist nur ein Teil von einer komplexen Aufgabe.
Gegeben ist für die Ganze Aufgabe:
M(5/4/-1) und D(7/8/-5)
E: [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 0 und
[mm] g:x=\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] E_1: [/mm] 2x + y + 2z = 12, der Abstand der Ebenen E und [mm] E_1 [/mm] beträgt d=4LE
Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene [mm] E_2, [/mm] von der E und [mm] E_1 [/mm] denselben Abstand haben.
Ich benötige eine genaue Rechenweg-Beschreibung, wie ich diese Aufgabe lösen kann. Ich bin dankbar über jeden Ansatz. Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lady-Blond!
Gesucht ist also eine Ebene, welche zu den anderen beiden Ebenen jeweils den Abstand $d \ = \ 2$ hat.
Damit diese auch jeweils parallel zu $E_$ und [mm] $E_1$ [/mm] verläuft, muss die gesuchte Ebene [mm] $E_2$ [/mm] denselben Normalenvektor besitzen.
Für den Abstand solltest Du die beiden gegebenen Ebenen in die HESSE'sche Normalform bringen, um den jeweiligen Abstand zum Ursprung ablesen zu können.
Daraus ergibt sich dann auch die HESSE'sche Normalform der gesuchten Ebene mit [mm] $d_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{d_1-d}{2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Hey Loddar!
Danke für deine schnelle Antwort!
Ich kann leider nichts mit der Hess´schen Normalform anfangen, da unsere Lehrerin meint, dass wir die im Grundkurs nicht brauchen. Hast du den Abstand von d=4LE gekürzt auf d=2?
Der Normalvektor von E und [mm] E_1 [/mm] ist [mm] n=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, [/mm] aber der allein hilft mir ja noch nicht. Ich muss diesen Normalvektor mit irgend einen anderen Punkt oder Gerade oder Ebene zusammenbringen, aber wie und mit was?
Ich bin echt verzweifelt, schreibe am Dienstag Vorabi und bekomme nicht mal die Übung hin!
Bitte um Hilfe! Danke
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Hi, ein anderer etwas umständlicher Weg, aber sicherer, ist folgender.
bestimme irgendein Punkt [mm] x_0 [/mm] der in der Ebene E liegt. z.B. (x,y,z)=0.
Dies ist dann der stützpunkt für die Gerade die von E zu [mm] E_1 [/mm] geht.
Der Richtungsvektor ist je der normalenvektor n der beiden Ebenen.
Also bekommst Du die gerade: [mm] x_0 [/mm] +t *n. Jetzt setzt man diese Geradengleichung in die zweite Ebengleichung ein und bestimmt das t. So hast du die Strecke von E zu [mm] E_0. [/mm] Nimmst Du jetzt t/2 und bestimmst mit der Geradengleichung einen Punkt der gesuchten Ebene. Jetzt einfach Skalarprodukt mit dem Normalenvektor und Du hast die rechte Seite für die gesuchte Ebengleichung. Der normalenvektor ist ja wie bei den beiden anderen Ebenen.
Bis dann
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Hey Viktory!
Danke für deine Erklärung, wie ich die Gleichung aufstellen muss, ist mir jetzt bewusst und dass ich dann den t-Wert einsetze und dann einen Punkt erhalte ist mir auch klar! Aber:
Du meinst also ich soll mir ein Punkt ausdenken, wie z.B. (2/2/2)? Dann muss ich doch erst überprüfen ober der zu dieser Ebene gehört, indem ich ihn in die Ebene einsetze, oder? 2x2+1x2+2x2=0? 10=0, das würde doch bedeuten, dass dieser Punkt nicht zur Ebene gehört, oder irre ich mich? Also woher weiß ich welchen Punkt ich nehmen kann?
Könntest du mir das netterweise nochmal erklären? Am Anfang stehen die gegeben Punkte und Gerade und Ebenen zu dieser Aufgabe, vielleicht kann ich ja auf einen Punkt zurückgreifen der schon da ist?!
Danke
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Die beiden oberen Punkte, gehören zu der zweiten ebene, wie man leicht nachprüfen kann. Du kannst also genauso vorgehen nur mit vertauschten Rollen von E und [mm] E_1. [/mm] Aber um allgemein einen Punkt der Ebene zu finden, muss man einach die Gleichung lösen. Da hier 3 Variablen und nur eine Gleichung vorhanden, kann man zwei Variablen wählen, beliebig, und dann einsetzen nach der dritten Variablee umstellen und schwups, hat man einen Punkt der Ebene.
z.B. [mm] x_1=1; [/mm] x_=2 --> 2*1+1*2 [mm] +2*x_3 [/mm] --> [mm] x_3=-2, [/mm] wenn ich mich hier jetzt nicht verrechnet habe.
bis dann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 So 25.03.2007 | | Autor: | Lady-Blond |
Hey Viktory!
Ich werde jetzt versuchen deinen Rat zu befolgen, ich bilde also eine Gerade mit dem Normalenvektor, der als Richtungsvektor dient und mein Ortsvektor ist mein Punkt D(7/8/-5), von dem ich weis, dass er zur [mm] E_1 [/mm] gehört. Dann setzte ich die Gerade in die Ebene E ein, also in die Ebene von der ich den Punkt nicht genommen habe? Soweit richtig?
[mm] h:x=\begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm] +t [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
h in E
2(7+2t)+(8+t)+2(-5+2t)=0
12 + 9t = 0, dann ist [mm] t=-\bruch{4}{3}
[/mm]
das setze ich jetzt für t in die Gerade ein und erhalte den Punkt [mm] (\bruch{13}{3}/\bruch{20}{3}/-\bruch{23}{3}, [/mm] Richtig?
Aber jetzt komme ich mit meiner Rechnung nicht weiter, könntest du mir das mal zeigen???
Das wäre voll nett, bin echt am verzweifel, schreibe Dienstag Klausur!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 So 25.03.2007 | | Autor: | viktory_hh |
so weit richtig bis auf das letze einsetzen, das kannst Du höchstens dafür tun um zu prüfen ob du richtig gerchnet hast.
Der letze schritt ist t/2 zu nehmen den Punkt zu berechnen und mit dem normalenvektor skalarprodukt zu bilden. Damit hast du dann die rechte Seite
für die gesuchte Geradengleichung.
dann hast du: [mm] E_{gesuch}: 2*x_1+x_2+2*x_3= [/mm] der Wert
soweit solltest du glaube ich zu recht kommen, also Tschao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 So 25.03.2007 | | Autor: | Lady-Blond |
Danke für deine Hilfe, hat mir sehr geholfen! Tschao
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