Koordinatengleichung 1er Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 So 09.01.2005 | | Autor: | sophyyy |
Zu HÜÜLF!
ich kann keine einzige aufgabe mehr rechnen, in der ich die gegenseitige lage von 2 ebenen ausrechnen soll und geg. die schnittgerade ausrechnen soll. ganz besonders "schlimm":was ist, wenn z.B. E1: 4x1 + 5x2 = 6 und E2: x1 + x3 = 0. wenn dann noch E3: 3x2 - 2x3 = -1 ist bekomm ich doch nur noch einen punkt????
also: wie gehe ich vorß x1 und x2 in abhängigkeit von x3. was aber, wenn x3 nicht vorhanden ist?? und wie geht's dann weiter??
danke im voraus
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Bei zwei Ebenen in Koordinatenform ist es auch nicht sooo schwer, ich schreib sie nochmal mit dem Formeleditor hin:
[mm]4x_1+5x_2=6[/mm]
[mm]x_1+x_3=0[/mm]
Das sieht doch sehr aus wie ein LGS mit 3 Unbekannten ([mm]x_1,x_2,x_3[/mm]) und 2 Gleichungen.
Wie löst man das? Man braucht (weil eine Gleichung "fehlt") einen Parameter, den man für eine der Unbekannten einsetzt.
Hier ist es so, dass sogar beide Gleichungen schon so "aufgelöst" sind, dass sie nur noch jeweils zwei Unbekannte enthalten.
Hättest du zwei Ebenengleichungen, in denen noch alle Unbekannten drin sind, dann müsstest du mittels Gauß-Umformung (wie beim LGS) erstmal in einer der Gleichungen eine Unbekannte rauswerfen.
Hier ist das nicht nötig, ich kann mich direkt über die zweite Gleichung hermachen. Umformen kann ich sie zu [mm]x_1=-x_3[/mm]
Jetzt setz ich einfach [mm]x_3=:k[/mm] (ich hätte das k auch für [mm]x_1[/mm], oder wenn ich mit der anderen Gleichung angefangen hätte: für das [mm]x_2[/mm] einsetzen können, das ist völlig egal!), und erhalte mit der ersten Gleichung [mm]x_1=-k[/mm].
Das kann ich in die erste Gleichung einsetzen: [mm]4\cdot(-k)+5x_2=6[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]5x_2=4k+6[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]x_2=\bruch{4}{5}k+\bruch{6}{5}[/mm].
Somit hab ich gefunden: [mm]x_1=-k[/mm] , [mm]x_2=\bruch{4}{5}k+\bruch{6}{5}[/mm] , [mm]x_3=k[/mm].
[mm]x_1,x_2,x_3[/mm] sind die Komponenten des Vektors [mm]\vec{x}[/mm], also setz ich alles in den Vektor ein:
[mm]\vec{x}=\vektor{-k \\ \bruch{4}{5}k+\bruch{6}{5} \\ k}[/mm].
Jetzt trenn ich das auf in zwei Vektoren, einer nur mit k, einer nur mit Zahlen:
[mm]\vec{x}\ = \vektor{0 \\ \bruch{6}{5} \\ 0} + \vektor{-k \\ \bruch{4}{5}k \\ k}\ = \vektor{0 \\ \bruch{6}{5} \\ 0} + k \cdot \vektor{-1 \\ \bruch{4}{5} \\ 1}[/mm].
Das ist schon deine Schnittgeradengleichung.
Den Bruch im Richtungsvektor kannst du wegbekommen, indem du den ganzen Richtungsvektor mit 5 multiplizierst (das geht beim Stützvektor nicht, den lassen wir so stehen):
[mm]\vec{x}\ = \vektor{0 \\ \bruch{6}{5} \\ 0} + k \cdot \vektor{-5 \\ 4 \\ 5}[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 So 09.01.2005 | | Autor: | sophyyy |
aaaah- ja! klasse  )
danke
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