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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:11 Sa 19.04.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Sei [mm] E=\IR^{2} [/mm] der euklidische Standardraum der Dimension 2. Eine Drehung von E ist eine Symmetrieoperation f: E [mm] \to [/mm] E der Gestalt f(x)=A*x+b für alle x [mm] \in [/mm] E mit [mm] A=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha)}, [/mm] wobei [mm] \alpha \not=2*\pi\IZ, [/mm] und b [mm] \in \IR^{2}.
[/mm]
Zeigen Sie:
(a) f besitzt einen eindeutigen Fixpunkt.
(b) Ist g: [mm] \IR^{2} \to [/mm] E ein euklidisches Koordinatensystem mit Ursprungspunkt y (d.h. g(0)=y), so ist die Abbildung f': [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] , [mm] f':=g^{-1}\circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] g von der Form f'(x)=A'*x, [mm] A'=\pmat{ cos(\alpha') & -sin(\alpha') \\ sin(\alpha') & cos(\alpha')} [/mm] und [mm] \alpha'=\pm \alpha.
[/mm]
(c) Bestimmen Sie den Fixpunkt y, ein g und das zugehörige [mm] \alpha=\bruch{\Pi}{2} [/mm] und [mm] b=\vektor{1 \\ 0}. [/mm] Interpretieren Sie die Teilaufgabe (b) geometrisch und skizzieren Sie dies im vorliegenden Fall. |
Hallo ihr Lieben,
soweit die Aufgabe. Aufgabe (a) ist kein Problem. Habe ich!
Nun Aufgabe (b) bereitet mir einige Schwierigkeiten, da ich keine Idee habe, wie man das zeigen könnte. Könnte mir jemand einen Tipp geben?
Und zu Aufgabe (c): Die Berechnung des Fixpunktes ist ja einfach, aber wie gebe ich das g an?
Viele liebe Grüße und Danke
kiri
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Hi,
> Sei [mm]E=\IR^{2}[/mm] der euklidische Standardraum der Dimension 2.
> Eine Drehung von E ist eine Symmetrieoperation f: E [mm]\to[/mm] E
> der Gestalt f(x)=A*x+b für alle x [mm]\in[/mm] E mit [mm]A=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha)},[/mm]
> wobei [mm]\alpha \not=2*\pi\IZ,[/mm] und b [mm]\in \IR^{2}.[/mm]
Ich bin nicht einverstanden mit der Definition von $f$, denn $f$ ist in dieser Form eine Drehung und Verschiebung, und eine reine drehung genau dann, wenn $b = 0 [mm] \in \IR^2$.
[/mm]
Gruss,
logarithmus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Sa 19.04.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
hmmmm, ja da hast du wohl Recht. Aber genauso lautet der Aufgabentext. Kannst du mir dennoch einen Tipp oder Hinweis geben?
Viele Grüße
kiri
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Also Teilaufgabe b) ist ja rechnerisch:
du hast: $f' = [mm] g^{-1}\circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] g$ und $f(x) = A x + b$ .
Versuche damit anzufangen: was ergibt sich für $f'(x)$ ?
Also
$f'(x) = [mm] (g^{-1}\circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] g)(x) = [mm] \cdots$ [/mm] (also das schaffst du jetzt!)
Damit kriegst du die Strukturaussage, und dass $f'$ nach deiner Definition auch eine "Drehung" ist.
Aber wie bekommt man, dass [mm] $\alpha' [/mm] = [mm] \pm \alpha$ [/mm] , kann ich nicht sagen. Ich weiss nur, dass wenn $g$ ein Koordinatensystem ist, so sind [mm] g^{-1}\circ [/mm] A [mm] \circ [/mm] g und A "ähnlich", falls du Definition von ähnlichen Matrizen schon hattest.
Gruss,
logarithmus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:35 Sa 19.04.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay. Ich versuche mich mal an (b). Hänge aber an einer Stelle:
[mm] f':=(g^{-1} \circ [/mm] f [mm] \circ g)(x)=g^{-1}(f(g(x)))=g^{-1}(A(g(x))+b)=...
[/mm]
Wie geht es denn jetzt weiter?
Viele Grüße
kiri
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> Hallo,
> okay. Ich versuche mich mal an (b). Hänge aber an einer
> Stelle:
>
> [mm]f':=(g^{-1} \circ[/mm] f [mm]\circ g)(x)=g^{-1}(f(g(x)))=g^{-1}(A(g(x))+b)=...[/mm]
>
Also:
f'(x) = [mm] (g^{-1} \circ f\circ [/mm] g)(x) = [mm] g^{-1}(f(g(x))) [/mm] = [mm] g^{-1}(A(g(x))+b) [/mm] = [mm] (g^{-1} \circ A\circ [/mm] g)(x)+ [mm] g^{-1}(b) [/mm] = [mm] (g^{-1} \circ A\circ [/mm] g)(x) + [mm] g^{-1}(b) [/mm] . Also:
f'(x) = [mm] (g^{-1} \circ A\circ [/mm] g)(x) + [mm] g^{-1}(b).
[/mm]
Vergleiche mit deiner Definition von Drehung: f(x) = A x + b.
Das b stört noch, aber wenn man $b := y = g(0)$ setzen darf, dann hat man die gesuchte Gleichung, nämlich, dass $A' = [mm] g^{-1} \circ A\circ [/mm] g$.
Mir fällt momentan nichts weiter ein!
Gruss,
logarithmus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:36 Sa 19.04.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
das ist doch schon mal sehr hilfreich. Ab dort kann ich auch alleine weitermachen, denke ich. 
Noch eine kurze Frage:
Wie berechne ich denn dieses g bei Aufgabe c) konkret? Wie gesagt: Fixpunkt und so kein Problem...
Liebe und dankende Grüße
kiri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 So 20.04.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
also den Fixpunkt habe ich berechnet. Das ist der Vektor [mm] \bruch{1}{2}*\vektor{1 \\ 1}. [/mm] Nun könnte ich ja auch das f angeben. Dazu brauche ich ja nur den Winkel in die Drehmatrix einsetzen und den Vektor b addieren. Um die Abbildung f' anzugeben, müsste ich ja zwei Fälle unterscheiden, oder? Einmal, wenn [mm] \alpha'=\bruch{\pi}{2} [/mm] oder [mm] \alpha'=-\bruch{\pi}{2}. [/mm] Richtig?
Aber wie bestimmte ich das g?
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 So 20.04.2008 | | Autor: | vimu86 |
Hi kiri.
Du hättest vielleicht sagen sollen, dass der Fixpunkt aus a) y ist. Ich glaube, dass ist für die Aufgabe b) nicht ganz unbedeutend.
Ich habe das ganze so gemacht:
y : Fixpunkt.
a) hast du richtig berechnet. (0,5 ; 0,5). In dem Zusammenhang gilt auch: A*y = y-b (dies ist wichtig für Teil b) )
b) da wurd es tricky. Ich war mir nicht sicher, ob das neue Koordinatensystem auch gedreht sein kann. ich ging davon mal aus. habe dann phi = B*x + y gewählt. Wobei B eine Drehmatrix ist. Wenn das neue Koordinatensystem nicht gedreht werden soll, dass ist B einfach die Einehitsmatrix.
Auf jedenfall phi = B*x + y. Davon auch die Umkehrabbildung gebildet.
Dann f'=(Phi^(-1) o f o Phi) ausgerechnet. Da kann man dann (Ay = y-b) verwenden.
Am Ende hatte ich dann f' = B^(-1)*A*B*x raus. das sah fande ich schon nicht schlecht aus.
ich denke mal, es gibt nicht nur ein phi (oder bei dir g) sondern mehrere. Aber ich bin nicht S.
Wir sehen uns dann morgen früh 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Di 22.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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