Koordinatenwechsel < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:03 So 28.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Im [mm] \IR^{3} [/mm] seien folgende Basen definiert: die kanonische Basis E = [mm] {\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}}, [/mm] die Basis B = [mm] {\vektor{1 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 1},\vektor{2 \\ 0 \\ 1}} [/mm] und die Basis C = [mm] {\vektor{1 \\ 1 \\ 1},\vektor{0 \\ 1 \\ 1},\vektor{2 \\ 0 \\ 1}}. [/mm] Geben Sie die Matrizen für die folgenden Koordinatenwechsel an:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
a) von B zu E, von E zu B,
b) von C zu E, von E zu C,
c) von B zu C. |
Ich mache jetzt aus den Basen, Matrizen:
E= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
B= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 }
[/mm]
C= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 }
[/mm]
a)
B zu E = B
E zu B = [mm] B^{-1}
[/mm]
b)
C zu E = C
E zu C = [mm] C^{-1}
[/mm]
c)
Ich müsste die Matrix in der Form aufstellen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 | 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 | 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 | 2 & 0 & 1 }
[/mm]
und auf der linken seite soll ich eine Einheitsmatrix bekommen und auf der rechten die [mm] T_{B}^{C} [/mm] Matrix
Sind meine Ansätze der Aufgabe bzw. die das Verfahren richtig ?
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> Im [mm]\IR^{3}[/mm] seien folgende Basen definiert: die kanonische
> Basis E = [mm]{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}},[/mm]
> die Basis B = [mm]{\vektor{1 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 1},\vektor{2 \\ 0 \\ 1}}[/mm]
> und die Basis C = [mm]{\vektor{1 \\ 1 \\ 1},\vektor{0 \\ 1 \\ 1},\vektor{2 \\ 0 \\ 1}}.[/mm]
> Geben Sie die Matrizen für die folgenden
> Koordinatenwechsel an:
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> a) von B zu E, von E zu B,
> b) von C zu E, von E zu C,
> c) von B zu C.
>
>
> Ich mache jetzt aus den Basen, Matrizen:
> E= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> B= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 }[/mm]
>
> C= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 }[/mm]
>
Hallo,
ist es ein Versehen, daß Du die Vektoren als Zeilen in die Matrizen eingetragen hast und nicht als Spalten?
(Oder rechnet Ihr bei Euch mit Matrizen anders als an anderen Orten üblich? Das gibt's.)
Ich gehe jetzt mal daon aus, daß Du versehentlich die transponierten Matrizen hingeschrieben hast.
Dann sind a) und b) richtig.
Die Matrix, die den Wechsel von B nach C beschreibt,
wird oft mit [mm] T^B_C [/mm] bezeichnet.
Es ist [mm] T^B_C= C^{-1}B,
[/mm]
Du bekommst sie auch, wenn Du C|B mit Zeilenumformungen so umformst, daß Du links die Einheitsmatrix stehen hast.
LG Angela
>
>
> a)
> B zu E = B
> E zu B = [mm]B^{-1}[/mm]
>
> b)
> C zu E = C
> E zu C = [mm]C^{-1}[/mm]
>
> c)
> Ich müsste die Matrix in der Form aufstellen:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 | 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 | 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 | 2 & 0 & 1 }[/mm]
>
> und auf der linken seite soll ich eine Einheitsmatrix
> bekommen und auf der rechten die [mm]T_{B}^{C}[/mm] Matrix
>
> Sind meine Ansätze der Aufgabe bzw. die das Verfahren
> richtig ?
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 So 28.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
Ich habe das mit den Zeilen bei Wikipedia nachgelesen. Ich werde jetzt die Aufgaben nachrechnen und die Ergebnisse hier reinstellen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mo 29.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
Also ich habe alles so gemacht wie es ![[]](/images/popup.gif) hier beschrieben wurde.
Also die Vektoren der Basis als Spalten aufgeschrieben
E= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
B= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 } [/mm]
C= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 } [/mm]
und werde damit rechnen. Sind sie jetzt richtig ?
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> Also ich habe alles so gemacht wie es
> hier
> beschrieben wurde.
> Also die Vektoren der Basis als Spalten aufgeschrieben
>
> E= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> B= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
> C= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> und werde damit rechnen. Sind sie jetzt richtig ?
Ja, natürlich!
LG Angela
>
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