Korrelierte ZG < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] Y_1,..,Y_n [/mm] ist eine Folge st.u. p-dimensionaler [mm] \mathcal{N}_p(0,\Sigma_i)-verteilter [/mm] ZG, mit i=1,..,n und p<n. Die Kovarianzmatrizen sollen Elemente einer endlichen Menge M von Kovarianzmatrizen sein, mit Kardinalität |M|=p. |
Hallo zusamen,
wären die ZG aus dem Aufgabenteil [mm] \mathcal{N}_p(0,\sigma^2I_p), [/mm] dann wäre die Summe [mm] \frac{(Y_{11}^2+..+Y_{1p}^2)}{\sigma^2}+..+\frac{(Y_{n1}^2+..+Y_{np}^2)}{\sigma^2} \sim \chi^2_{np}-verteilt.
[/mm]
Lässt sich für die Summe [mm] (Y_{11}^2+..+Y_{1p}^2)+..+(Y_{n1}^2+..+Y_{np}^2) [/mm] bei festen p für für große n eine Verteilung angeben? Also das bei einer hohen Anzahl n die Korrelationen innerhalb der [mm] (Y_{i1}^2,..,Y_{ip}^2) [/mm] nicht weiter von Bedeutung sind?
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Hallo,
> [mm]Y_1,..,Y_n[/mm] ist eine Folge st.u. p-dimensionaler
> [mm]\mathcal{N}_p(0,\Sigma_i)-verteilter[/mm] ZG, mit i=1,..,n und
> p<n. Die Kovarianzmatrizen sollen Elemente einer endlichen
> Menge M von Kovarianzmatrizen sein, mit Kardinalität
> |M|=p.
> wären die ZG aus dem Aufgabenteil
> [mm]\mathcal{N}_p(0,\sigma^2I_p),[/mm] dann wäre die Summe
> [mm]\frac{(Y_{11}^2+..+Y_{1p}^2)}{\sigma^2}+..+\frac{(Y_{n1}^2+..+Y_{np}^2)}{\sigma^2} \sim \chi^2_{np}-verteilt.[/mm]
>
> Lässt sich für die Summe
> [mm](Y_{11}^2+..+Y_{1p}^2)+..+(Y_{n1}^2+..+Y_{np}^2)[/mm] bei festen
> p für für große n eine Verteilung angeben? Also das bei
> einer hohen Anzahl n die Korrelationen innerhalb der
> [mm](Y_{i1}^2,..,Y_{ip}^2)[/mm] nicht weiter von Bedeutung sind?
Ich glaube nicht, dass es eine Chi-Quadrat-Verteilung wird. Aber du kannst doch auf dem folgenden Weg eine Chi-Quadrat-Verteilung erreichen:
Die [mm] $\Sigma_i$ [/mm] sind positiv definit, und somit kann man [mm] $\Sigma_i^{1/2}$ [/mm] berechnen. Es gilt dann
[mm] $X_i [/mm] := [mm] \Sigma_i^{-1/2}Y_i \sim [/mm] N(0, [mm] I_p)$.
[/mm]
und somit
[mm] $(X_{11}^2 [/mm] + ... + [mm] X_{1p}^2) [/mm] + ... + [mm] (X_{n1}^2 [/mm] + ... + [mm] X_{np}^2)\sim \chi^{2}_{np}$.
[/mm]
Sollte das nicht genügen  , kannst du dir ja mal die ![[]](/images/popup.gif) Wishart Verteilung anschauen.
Viele Grüße,
Stefan
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| Aufgabe | Sei [mm] \(W_r\) [/mm] ein beliebiger, linearer, r-dimensionaler Unterraum von [mm] \(\mathbb{R}^n\) [/mm] und [mm] Y=\zeta+\epsilon [/mm] ein p-Stichprobenmodell mit [mm] \(\zeta\in W_r\).
[/mm]
Sei [mm] \(\lbrace\upsilon_1,\ldots,\upsilon_n\rbrace\) [/mm] eine orthonormale Basis des [mm] \(\mathbb{R}^n\), [/mm] so dass [mm] \(\upsilon_1,\ldots,\upsilon_r\) [/mm] den linearen Unterraum [mm] \(W_r\) [/mm] aufspannen und [mm] \(A:=(\upsilon_1,\ldots,\upsilon_n)\). [/mm] Definiere
[mm] Z_i:=\left\langle Y,\upsilon_i\right\rangle [/mm] und [mm] \eta_i:=\left\langle \zeta,
\upsilon_i\right\rangle, [/mm] dann heißt [mm] Z=AY=A\zeta+A\epsilon=\eta+\epsilon^\ast [/mm] die kanonische Form des allgemeinen linearen Modells. Dabei ist [mm] Z\sim\mathcal{N}_n(\eta,\sigma^2I_n) [/mm] |
Hi Stefan,
das hilft mir beides noch nicht weiter. Denn es ist folgendes Problem, dabei beziehe ich mich auf das im Aufgabenteil genannte Modell:
Gegeben sei ein Testproblem $ [mm] H_0: \zeta\in W_q [/mm] $ gegen [mm] H_1: \zeta\in W_r\setminus W_q, [/mm] dann ergibt sich aus dem Likelihood-Quotienten Test, die Testgöße [mm] T_n(Y)=\frac{n-r}{r-q}\frac{\|Y-\widehat{\zeta}_0(Y)\|^2-\|Y-\widehat{\zeta}(Y)\|^2}{\|Y-\widehat{\zeta}(Y)\|^2}=\frac{n-r}{r-q}\frac{\sum_{i=q+1}^rZ_i^2}{\sum_{i=r+1}^nZ_i^2}.
[/mm]
Jetzt kann in der letzten Gleichheit den Bruch nicht einfach mit [mm] \sigma^2/\sigma^2 [/mm] erweitern um die Verteilung von Zähler und Nenner zu bestimmen, falls die [mm] Z_i [/mm] bzw. [mm] Y_i [/mm] korreliert sind.
Weiter könnte man Zähler und Nenner als quadratische Form auffassen, was dazu führt das man den Zähler und Nenner als gewichtete Summe [mm] \chi^2_1 [/mm] -verteilter ZG auffassen kann.
Was ich aber aus den Darstellungen nicht gewinne ist die Verteilung vom Zähler und Nenner oder wenigstens deren Grenzverteilung für große n, falls die ZG korrelieren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 13.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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