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| Aufgabe | Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahl
[mm] 3\wurzel{2}e^{i\bruch{\pi}{4}} [/mm] |
Hallo,
es ist bekannt, dass [mm] e^{ix} [/mm] = cos x + i*sin x für alle x [mm] \in \IR. [/mm] Insbesondere cos x := [mm] Re(e^{ix}), [/mm] sin x := [mm] Im(e^{ix}).
[/mm]
Mit Hilfe der obigen Eigenschaften gilt dann:
[mm] 3\wurzel{2}e^{i\bruch{\pi}{4}} [/mm] = [mm] 3\wurzel{2}(cos \bruch{\pi}{4} [/mm] + i*sin [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] 3\wurzel{2}(\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] + [mm] i\bruch{\wurzel{2}}{2}) [/mm] = 3 + 3i und daher [mm] Re(3\wurzel{2}e^{i\bruch{\pi}{4}}) [/mm] = [mm] Im(3\wurzel{2}e^{i\bruch{\pi}{4}}) [/mm] = 3.
Wie berechne ich cos [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] und sin [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] ?
Gruss
Alexander
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Hallo Blackburn4717537,
> Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden
> komplexen Zahl
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> [mm]3\wurzel{2}e^{i\bruch{\pi}{4}}[/mm]
> Hallo,
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> es ist bekannt, dass [mm]e^{ix}[/mm] = cos x + i*sin x für alle x
> [mm]\in \IR.[/mm] Insbesondere cos x := [mm]Re(e^{ix}),[/mm] sin x :=
> [mm]Im(e^{ix}).[/mm]
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> Mit Hilfe der obigen Eigenschaften gilt dann:
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> [mm]3\wurzel{2}e^{i\bruch{\pi}{4}}[/mm] = [mm]3\wurzel{2}(cos \bruch{\pi}{4}[/mm]
> + i*sin [mm]\bruch{\pi}{4})[/mm] = [mm]3\wurzel{2}(\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
> + [mm]i\bruch{\wurzel{2}}{2})[/mm] = 3 + 3i und daher
> [mm]Re(3\wurzel{2}e^{i\bruch{\pi}{4}})[/mm] =
> [mm]Im(3\wurzel{2}e^{i\bruch{\pi}{4}})[/mm] = 3.
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> Wie berechne ich cos [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
> und sin [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] ?
>
Es ist bekannt, daß [mm]\sin\left(\bruch{\pi}{4}\right)=\cos\left(\bruch{\pi}{4}\right)[/mm].
Weiterhin ist [mm]\sin\left(\bruch{\pi}{4}\right)>0, \ \cos\left(\bruch{\pi}{4}\right)>0[/mm].
Das siehst Du, wenn Du Dir die beiden Graphen aufzeichnest.
Dann kannst Du den trigonometischen Pythagoras benutzen:
[mm]\sin^{2}\left(\bruch{\pi}{4}\right)+\cos^{2}\left(\bruch{\pi}{4}\right)=1[/mm].
> Gruss
> Alexander
Gruss
MathePower
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> Es ist bekannt, daß
> [mm]\sin\left(\bruch{\pi}{4}\right)=\cos\left(\bruch{\pi}{4}\right)[/mm].
> Weiterhin ist [mm]\sin\left(\bruch{\pi}{4}\right)>0, \ \cos\left(\bruch{\pi}{4}\right)>0[/mm].
>
> Das siehst Du, wenn Du Dir die beiden Graphen
> aufzeichnest.
Ok, am Graphen sehe ich, dass die Werte gleich sind, und auch positiv sind. Aber wenn ich den Graphen jetzt nicht kennen würde, wie sehe ich das dann?
>
> Dann kannst Du den trigonometischen Pythagoras benutzen:
>
> [mm]\sin^{2}\left(\bruch{\pi}{4}\right)+\cos^{2}\left(\bruch{\pi}{4}\right)=1[/mm].
Ok, danke, das hat mir geholfen.
Gruss
Alexander
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Hallo Blackburn4717537,
> > Es ist bekannt, daß
> >
> [mm]\sin\left(\bruch{\pi}{4}\right)=\cos\left(\bruch{\pi}{4}\right)[/mm].
> > Weiterhin ist [mm]\sin\left(\bruch{\pi}{4}\right)>0, \ \cos\left(\bruch{\pi}{4}\right)>0[/mm].
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> >
> > Das siehst Du, wenn Du Dir die beiden Graphen
> > aufzeichnest.
>
> Ok, am Graphen sehe ich, dass die Werte gleich sind, und
> auch positiv sind. Aber wenn ich den Graphen jetzt nicht
> kennen würde, wie sehe ich das dann?
Am Einheitskreis.
> >
> > Dann kannst Du den trigonometischen Pythagoras benutzen:
> >
> >
> [mm]\sin^{2}\left(\bruch{\pi}{4}\right)+\cos^{2}\left(\bruch{\pi}{4}\right)=1[/mm].
>
> Ok, danke, das hat mir geholfen.
>
> Gruss
> Alexander
Gruss
MathePower
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> Am Einheitskreis.
Aber dann sehe ich das auch nur, wenn ich weiß, dass [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] 45° entsprechen, oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 So 03.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Am Einheitskreis.
>
> Aber dann sehe ich das auch nur, wenn ich weiß, dass
> [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] 45° entsprechen, oder nicht?
Jein.
Evtl findest du den Winkel auch über folgende Rechung:
[mm] \sin(\varphi)=\cos(\varphi)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}=1
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \tan(\varphi)=1
[/mm]
Und damit dann
[mm] \varphi=\frac{\pi}{4}
[/mm]
Marius
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Okay, aber Tangens wird in der Klausur nicht drankommen.
Ich habe mir jetzt mal die Graphen von Kosinus und Sinus und ihre Funktionswerte an wichtigen Stellen ausgedruckt, und hämmer mir die jetzt einfach in Kopf rein.
Gruss
Alexander
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> Wie berechne ich cos [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
> und sin [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] ?
Hallo Alexander,
bei dem Winkel [mm] \frac{\pi}{4} [/mm] = 45° handelt es sich um
einen der paar wenigen Winkel, deren trigonometrische
Werte man sich entweder merken sollte - oder noch
besser: deren Werte man sich bei Bedarf jeweils
durch eine sehr einfache Betrachtung wieder
herleiten kann ! Sie bleiben dann unweigerlich
auch im Gedächtnis haften - nicht mehr als
mühselig eingeprägte Werte, sondern als ein
Stücklein Mathe, das man wirklich begriffen hat ...
Der 45° - Winkel kommt im gleichschenklig-
rechtwinkligen Dreieck vor. Gibt man dessen Katheten
die Länge a=b=1, so ergibt sich nach Pythagoras die
Hypotenusenlänge $\ c\ =\ [mm] \sqrt{a^2+b^2}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{2}$ [/mm] ,
und dann erhält man z.B. $\ [mm] sin(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{a}{c}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}$ [/mm]
Für die Winkel 30° und 60° betrachtet man das
rechtwinklige Dreieck, welches durch Halbieren eines
gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge c=2
entsteht.
LG , Al-Chwarizmi
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