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Kosinus/Sinus Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:12 Do 16.12.2004
Autor: Mikke

Hallo!

Ich soll zeigen dass folgende Kosinus und Sinus-Reihe absolut konvergent ist:
Wie mach ich das..?

also C(x)= [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{-1^{k}}{(2k)!} x^{2k} [/mm]

und [mm] S(x)=\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{-1^{k}}{(2k+1)!} x^{2k+1} [/mm]

okay und wie kann ich zweitens zeigen dass [mm] C(x)^{2}+S(x)^{2}=1 [/mm] ?

Wäre für tipps dankbar!

Bei zweitens hab ich den tipp:  [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k}= 2^{2n-1} [/mm] mit n  [mm] \ge [/mm] 1 und n [mm] \in \IN [/mm] zu verwenden. Diese Identität kann man dann beweisen und benutzen.

vielleicht find ich ja hilfe zumindest für den ersten teil. Liebe grüße

        
Bezug
Kosinus/Sinus Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:47 Do 16.12.2004
Autor: Marcel

Hi Mikke,

> Hallo!
>  
> Ich soll zeigen dass folgende Kosinus und Sinus-Reihe
> absolut konvergent ist:
>  Wie mach ich das..?
>  
> also C(x)= [mm]\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{-1^{k}}{(2k)!} x^{2k} [/mm]

Da fehlt eine Klammer um die $-1$.
D.h. dann, du sollst zeigen, dass [mm]\summe_{k=0}^{ \infty} \begin{vmatrix} \bruch{(-1)^{k}}{(2k)!} x^{2k} \end{vmatrix}=\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{|x|^{2k}}{(2k)!} [/mm] konvergiert (und zwar für jedes beliebige, aber feste, $x$).
Benutze dazu das Quotientenkriterium; damit sieht man das sehr schnell. :-)
  

>
> und [mm]S(x)=\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{-1^{k}}{(2k+1)!} x^{2k+1} [/mm]

Auch hier:
[mm]S(x)=\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{\red{(}-1\red{)}^{k}}{(2k+1)!} x^{2k+1}[/mm]

Die absolute Konvergenz zeigst du hier vollkommen analog wie oben!

> okay und wie kann ich zweitens zeigen dass
> [mm]C(x)^{2}+S(x)^{2}=1[/mm] ?
>  
> Wäre für tipps dankbar!
>  
> Bei zweitens hab ich den tipp:  [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k}= 2^{2n-1}[/mm]
> mit n  [mm]\ge[/mm] 1 und n [mm]\in \IN[/mm] zu verwenden. Diese Identität
> kann man dann beweisen und benutzen.

Hier spekuliere ich einfach mal ein bisschen (d.h., alles, was ich hierzu sage, sind nur Vermutungen):
Notfalls könnte man die Identität über Induktion beweisen (denke ich). Aber man kann sie, wenn ich mich recht erinnere, auch direkt nachweisen (Stefan hatte das hier im Forum glaube ich neulich mal irgendwo getan; vielleicht sieht er die Aufgabe ja zufällig).
Hm, mehr fällt mir momentan nicht ein. Aber für [mm] $C(x)^2$ [/mm] (bzw. [mm] $S(x)^2$) [/mm] überhaupt mal ausrechnen zu können, kannst du wohl das Cauchyprodukt benutzen. Danach vielleicht den Hinweis... [keineahnung] (ich habe es nämlich noch nicht gerechnet.)

Viele Grüße,
Marcel

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Kosinus/Sinus Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:34 Do 16.12.2004
Autor: iceman_mathe

Das mit der Identität ist gar nciht so schwer:
schreib mal [mm] 2^{2n-1}[/mm] um als [mm]\frac{{2^{2}}^n}{2}[/mm] dann wendest du den binomischen Lehrsatz an und bist fast fertig.

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Kosinus/Sinus Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Fr 17.12.2004
Autor: MathePower

Hallo,

ich habe mal die Cauchy-Produkte hierzu ausgerechnet:

[mm]$ \displaylines{ C\left( x \right)\;C\left( x \right)\; = \;\sum\limits_{k\; = \;0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^k } \over {\left( {2k} \right)!}}} \;x^{2k} \;\sum\limits_{l\; = \;0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^l } \over {\left( {2l} \right)!}}} \;x^{2l} \cr = \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {\sum\limits_{k\; = \;0}^j {{{\left( { - 1} \right)^j } \over {\left( {2k} \right)!\;\left( {2\left( {j\; - \;k} \right)} \right)!}}} } \;x^{2j} \cr = \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {\left( { - 1} \right)^j \;x^{2j} \;\sum\limits_{k\; = \;0}^j {{1 \over {\left( {2k} \right)!\;\left( {2\left( {j\; - \;k} \right)} \right)!}}} } \cr = \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {\left( { - 1} \right)^j \;x^{2j} \;\left( {2j} \right)} !\;\sum\limits_{k\; = \;0}^j {\left( {\matrix{{2j} \cr {2k} \cr } } \right)} \cr = \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^j } \over {\left( {2j} \right)!}}} \;2^{2j - 1} \;x^{2j} \cr} $ [/mm]

[mm]$\displaylines{ S\left( x \right)\;S\left( x \right)\; = \;\sum\limits_{k\; = \;0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^k } \over {\left( {2k\; + \;1} \right)!}}} \;x^{2k + 1} \;\sum\limits_{l\; = \;0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^l } \over {\left( {2l\; + \;1} \right)!}}} \;x^{2l + 1} \cr = \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {\sum\limits_{k\; = \;0}^j {{{\left( { - 1} \right)^j } \over {\left( {2k + 1} \right)!\;\left( {2\left( {j\; - \;k} \right) + 1} \right)!}}} } \;x^{2j + 2} \cr = \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {\left( { - 1} \right)^j \;x^{2j + 2} \;\sum\limits_{k\; = \;0}^j {{1 \over {\left( {2k + 1} \right)!\;\left( {2\left( {j\; - \;k} \right) + 1} \right)!}}} } \cr = \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {\left( { - 1} \right)^j \;x^{2j} \;\left( {2j} \right)} !\;\sum\limits_{k\; = \;0}^j {\left( {\matrix{{2j\; + \;2} \cr {2k\; + \;1} \cr } } \right)} \cr = \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^j } \over {\left( {2j + 2} \right)!}}} \;2^{2j + 1} \;x^{2j + 2} \cr = \;\sum\limits_{j'\; = \;1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^{j' - 1} } \over {\left( {2j'} \right)!}}} \;2^{2j' - 1} \;x^{2j'} \cr} $[/mm]

Die Addition beider Reihen ergibt dann die Identität.

Gruss
MathePower

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Kosinus/Sinus Reihe: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Do 27.01.2005
Autor: ilse

Wenn ich die Summe dieser beiden Reihen ausrechne bekomme ich als Ergebnis 1/2,  ich gehe dabei folgendermaßen vor:

Aus der 1. Summe hole ich das 1. Glied was bei mir 1/2 ergibt, dann addiere ich die beiden Summen und erhalte eine Teleskopsumme die gleich null ist, was mache ich falsch?



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Kosinus/Sinus Reihe: 2*0!=0!=1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:25 Fr 28.01.2005
Autor: leduart

Hallo
nur ein Fehler 2*0=0   0!=1
Gruss leduart

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Kosinus/Sinus Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:36 Fr 28.01.2005
Autor: ilse

ja 0! = 1 das ist mir schon klar, aber jetzt mal der reihe nach:

[mm] (-1)^{0} [/mm] = 1;
(2*0)! = 1;
[mm] 2^{2*0-1}= [/mm] 0,5;
[mm] x^{2*0}= [/mm] 1;
alles zusammen dann also 0,5???

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