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Ein Unternehmen produziert Reifen. Die bei der Produktion entstehenden Kosten lassen sich approximativ durch die Funktion K(x) beschreiben. K(x) lautet:
K(x)=
Jetzt soll ich die Ausbringungsmenge x* berechnen, für die der Gewinn maximal wird, wenn ein Verkaufspreis von 45,-- pro ME zugrunde gelegt wird und für die Erlösfunktion E(x)= p mal x gilt.
Und ich soll den maximalen Gewinn angeben.
K(x)=x³-x²+5x+10
K'(x)=3x²-2x+5
K''(x)=6x-2
K'''(x)=6
Nun Muß ich die erste Ableitung zu null setzen (glaube ich).?
K'(x)=3x²-2x+5=0
K'(x)=3(x²-2/3x+5/3)
Habe ich nun in die PQ-Formel gesetzt?
X1,2=+1/3+-Wurzel aus 1/3²+5/3
X1,2=+1/3+-Wurzel aus 16/9
X1,2=+1/3+-4/3
X1=-1
X2=5/3
nun setze ich es in die Zweite Ableitung?
K''(x)=6x-2
setze X1=-1
K''(-1)=-6-2=-8
K''(5/3)=10-2=8
Jetzt bin ich mit meinem Latein am ende. Ich weiß jetzt noch nicht einmal ob 8 oder -8 der maximale Einsatz ist. Und wie muß ich weiter machen?
Ich hoffe, dass mir einer von Euch helfen kann wär echt sehr nett, da diese Aufgabe mir noch fehlt.
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Halli hallo!
> Ein Unternehmen produziert Reifen. Die bei der Produktion
> entstehenden Kosten lassen sich approximativ durch die
> Funktion K(x) beschreiben. K(x) lautet:
>
> K(x)=
>
> Jetzt soll ich die Ausbringungsmenge x* berechnen, für die
> der Gewinn maximal wird, wenn ein Verkaufspreis von 45,--
> pro ME zugrunde gelegt wird und für die Erlösfunktion E(x)=
> p mal x gilt.
> Und ich soll den maximalen Gewinn angeben.
>
> K(x)=x³-x²+5x+10
> K'(x)=3x²-2x+5
> K''(x)=6x-2
> K'''(x)=6
Hier hast du einen kleinen Fehler gemacht:
Du sollst ja die Menge x bestimmen, die den Gewinn maximiert: Die Gewinnfunktion setzt sich zusammen aus der Erlösfunktion und der Kostenfunktion, also G(x)=E(x)-K(x)
Es ergibt sich also als Gewinnfunktion:
[mm] G(x)=45x-x^{3}+x^{2}-5x-10=-x^{3}+x^{2}+40x-10
[/mm]
>
> Nun Muß ich die erste Ableitung zu null setzen (glaube
> ich).?
Genau!
>
> Habe ich nun in die PQ-Formel gesetzt?
auch richtig, es muß aber lauten
[mm] x_{1,2}=-\bruch{p}{2}*\wurzel{\bruch{p^{2}}{4}-q}
[/mm]
Als du gerechnet hast, hast du mit + gerechnet! Hättest du richtig mit - gerechnet, hättest du gemerkt, dass deine Kostenfunktion keine Extremstellen hat.
>
> nun setze ich es in die Zweite Ableitung?
>
auch richtig
> Jetzt bin ich mit meinem Latein am ende. Ich weiß jetzt
> noch nicht einmal ob 8 oder -8 der maximale Einsatz ist.
Ist der Wert von [mm] K''(x_{1,2}) [/mm] negativ, so handelt es sich um eine Maximalstelle, ist er positiv, so handelt es sich um eine Minimalstelle!
Hast du dann deinen maximalen Wert gefunden, so bist du im Prinzip fertig!
Vielleicht könntest du deinen maximalen Gewinn noch berechnen - der Vollständigkeit halber!
Wenn du noch Fragen hast dann melde dich nochmal!
Liebe Grüße
Ulrike
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Hallo Ulrike,
Du bist echt ein Schatz !!!
Vielen vielen Dank für Deine super Hilfe, ich war wirklich schon total verzweifelt.
Ich werde Deine Ansätze jetzt überarbeiten, und hoffe, daß Du mir bei eventuellen Rückfragen noch zur Seite stehst!
Viele liebe Grüße,
Ivan
Hamburger0203
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Ein Unternehmen produziert Reifen. Die bei der Produktion entstehenden Kosten lassen sich approximativ durch die Funktion K(x) beschreiben. K(x) lautet:
K(x)=
Jetzt soll ich die Ausbringungsmenge x* berechnen, für die der Gewinn maximal wird, wenn ein Verkaufspreis von 45,-- pro ME zugrunde gelegt wird und für die Erlösfunktion E(x)= p mal x gilt.
Und ich soll den maximalen Gewinn angeben.
K(x)=x³-x²+5x+10
Die Gewinnfunktion setzt sich wie folgt zusammen G(x)=E(x)-K(x)
G(x)=45x-(x³-x²+5x+10)
G(x)=-x³+x²+40x-10
G'(x)=-3x²+2x+40
G''(x)=-6X+2
Um die Extrempunkte zu finde muß ich die erste Ableitung zu null setzten.
G'(x)=-3x²+2x+40=0
G'(x)= -3 * (x² +2/3x +40/3)
setze diesen Ausdruck nun in die pq -Formel ein.
x1,2 =-1/3+- Wurzel aus (1/3)²+40/3
x1,2 =-1/3+-11/3
x1=-4
x2=10/3
nun setze ich meine Ergebnisse in die zweite Ableitung um rauszufinden, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist.
G''(x)=-6x+2
G''(-4)=-6 * (-4) +2 =26 (Minimum)
G''(10/3)=-6 * 10/3) + 2 = - 18 (Maximum)
G(10/3)= -10/3³ + 10/3² +40 * 10/3 -10
G(10/3)=97,40740741
G(10/3)=97
Ist diese Aufgabe richtig ?
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Halli hallo!
> Ein Unternehmen produziert Reifen. Die bei der Produktion
> entstehenden Kosten lassen sich approximativ durch die
> Funktion K(x) beschreiben. K(x) lautet:
>
> K(x)=
>
> Jetzt soll ich die Ausbringungsmenge x* berechnen, für die
> der Gewinn maximal wird, wenn ein Verkaufspreis von 45,--
> pro ME zugrunde gelegt wird und für die Erlösfunktion E(x)=
> p mal x gilt.
> Und ich soll den maximalen Gewinn angeben.
>
> K(x)=x³-x²+5x+10
>
> Die Gewinnfunktion setzt sich wie folgt zusammen
> G(x)=E(x)-K(x)
>
> G(x)=45x-(x³-x²+5x+10)
> G(x)=-x³+x²+40x-10
> G'(x)=-3x²+2x+40
> G''(x)=-6X+2
>
> Um die Extrempunkte zu finde muß ich die erste Ableitung zu
> null setzten.
>
> G'(x)=-3x²+2x+40=0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> G'(x)= -3 * (x² +2/3x +40/3)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] G'(x)=-3*(x^{2}-\bruch{2}{3}*x-\bruch{40}{3}*x)
[/mm]
> setze diesen Ausdruck nun in die pq -Formel ein.
>
> x1,2 =-1/3+- Wurzel aus (1/3)²+40/3
[mm] x_{1,2}=-\bruch{1}{3}\pm\wurzel{\bruch{1}{9}-(-\bruch{40}{3})}
[/mm]
> x1,2 =-1/3+-11/3
> x1=-4
> x2=10/3
> nun setze ich meine Ergebnisse in die zweite Ableitung um
> rauszufinden, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist.
>
> G''(x)=-6x+2
> G''(-4)=-6 * (-4) +2 =26 (Minimum)
> G''(10/3)=-6 * 10/3) + 2 = - 18 (Maximum)
>
> G(10/3)= -10/3³ + 10/3² +40 * 10/3 -10
> G(10/3)=97,40740741
> G(10/3)=97
>
> Ist diese Aufgabe richtig ?
Wunderbar!
Vielleicht kannst du den Gewinn, statt ihn so auszuschreiben, ja so darstellen:
[mm] G(\bruch{10}{3})=97\bruch{11}{27}
[/mm]
Liebe Grüße
Ulrike
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