Kovarianz bei 2 Würfeln < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Thrill |
Angenommen ich habe 2 Würfel. Der eine Würfel habe 6 Seiten (Zufallsvariable X), der andere habe 5 Seiten (Zufallsvariable Y).
Wie berechne ich nun die Covarianz?
Es gilt ja Cov(X,Y)=E(XY)-EX*EY
E(X) und E(Y) kann ich berechnen, nur mit E(XY) tue ich mich schwer, kann mir jemand genau erläutern wie man E(XY) berechnet?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:45 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Angenommen ich habe 2 Würfel. Der eine Würfel habe 6 Seiten
> (Zufallsvariable X), der andere habe 5 Seiten
> (Zufallsvariable Y).
>
> Wie berechne ich nun die Covarianz?
> Es gilt ja Cov(X,Y)=E(XY)-EX*EY
>
> E(X) und E(Y) kann ich berechnen, nur mit E(XY) tue ich
> mich schwer, kann mir jemand genau erläutern wie man E(XY)
> berechnet?
Also bei diskreten Zufallsvariablen errechnet man den Erwartungswert über die Summe:
[mm] EX = \summe_{k=1}^{\infty} k P[X = k] [/mm]
Da alle Wete für k größer als 6 unmöglich sind reicht in diesem Fall also:
[mm] EX = \summe_{k=1}^{6} k P[X = k] = 1 P[X=1] + 2 P[X=2]+3 P[X=3]+4 P[X=4]+5 P[X=5]+6 P[X=6]=... [/mm]
Wegen der Gleichverteilung von 1...6 ist das also:
[mm]...=1 *\frac{1}{6} + 2 *\frac{1}{6} + 3 *\frac{1}{6}+4 *\frac{1}{6}+5 *\frac{1}{6} + 6 *\frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3,5[/mm]
Nun zu deiner eigentlichen Frage:
E(XY) ist dann
[mm] E(XY) = \summe_{k=1}^{\infty} {k P[X =k, Y = k]}= \summe_{k=1}^6 {k P[X =k, Y = k]}[/mm] und dass sollte bestimmbar sein.
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Thrill |
Also erstmal Danke für Antowrt,
Hmmm also dein Beispiel würde nur passen wenn beide Würfel 6 Seiten haben oder? Ich meinte, dass ein Würfel 6 und einer 5 hat. Dann geht die gezeigte Formale ja nicht oder?. Wenn beide 6 Seiten hätten könnte ich ja gleich E(X²) nehmen oder? (Da ja dann quasi X=Y gilt?) Dann käme ich aber auch auf ein anderes Ergebnis (91/6).
Ich habe in der Zwischenzeit die Formel:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{m} [/mm] xi * yj * fxiyj(xi;yj)
gefunden. Mit der kann ich bis auf das "fxiyj(xi;yj)" umgehen. Kann mir den Formelteil jemand an meinem Beispiel erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Also erstmal Danke für Antowrt,
> Hmmm also dein Beispiel würde nur passen wenn beide Würfel
> 6 Seiten haben oder? Ich meinte, dass ein Würfel 6 und
> einer 5 hat. Dann geht die gezeigte Formale ja nicht oder?.
> Wenn beide 6 Seiten hätten könnte ich ja gleich E(X²)
> nehmen oder? (Da ja dann quasi X=Y gilt?) Dann käme ich
> aber auch auf ein anderes Ergebnis (91/6).
Nein die formel geht auch wenn einer nur 5 Seiten hat.. Die Wahrscheinlichkeit, dass die dann zusammenfallen ist dann aber naja 0, weil Y nie 6 wird. Die Formel bleibt deshalb konsistent.. Das wollte ich damit andeuten, als ich zuerst bis unendlich aufsummierte, weil ich das natürlich machen kann, aber die werte ab 6 werden eben nicht angenommen, bzw. ab 5.
Aber wenn es dich beruhigt können wir auch stillschweigend den letzten Summanden schonmal weglassen und nur bis 5 aufsummieren.
Wir hatten doch
[mm] E(XY) = \summe_{k=1}^{6} {k * P[X=k, Y=k]} = ... [/mm]
Nu wissen wir noch, dass X,Y unabhängig voneinander sind (die Augenzahl des Würfels1 beeinflusst nicht die Augenzahl des Würfels 2). Dann gilt: [mm]P[X=k, Y=k]= P[X=k]*P[Y=k][/mm]
Also
[mm]... =\summe_{k=1}^{6} {k * P[X=k] P[Y=k]} [/mm]
[mm] = 1 *\frac{1}{6}*\frac{1}{5} +2 *\frac{1}{6}*\frac{1}{5} +3*\frac{1}{6}*\frac{1}{5}+4*\frac{1}{6}*\frac{1}{5}+5*\frac{1}{6}*\frac{1}{5}+6*\frac{1}{6}*0[/mm]
[mm] = \frac{1+2+3+4+5}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} [/mm]
>
> Ich habe in der Zwischenzeit die Formel:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{m}[/mm] xi * yj *
> fxiyj(xi;yj)
> gefunden. Mit der kann ich bis auf das "fxiyj(xi;yj)"
> umgehen. Kann mir den Formelteil jemand an meinem Beispiel
> erklären?
>
was du gefunden hast ist eine allgemeinere Formel, wobei das fxiyi die Einzelwahrscheinlichkeit für X und Y jeweils darstellen soll denke ich.
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 So 22.05.2005 | | Autor: | Thrill |
AAAAH!!! Vielen Dank für deine Geduld. Jetzt hab ichs :).
Nochmal Danke :).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 So 22.05.2005 | | Autor: | Thrill |
Hmmm also die Formel ist ja:
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)*E(Y) = 1/2 - (3*3,5) = -10?
Hmmm also ich hab mal kurz beide Formeln verglichen:
Wenn ich beispielsweise:
[mm] \summe_{i=1}^{2}\summe_{j=1}^{2} [/mm] xi*yj*fxiyj(xi;yj)
= 1/4 + 1/2 +1/2 + 1 = 9/4 raus.
nehme ich deine Formel $ ... [mm] =\summe_{k=1}^{2} [/mm] {k [mm] \cdot{} [/mm] P[X=k] P[Y=k]} $ so kommt 1/4+1/2 = 3/4 raus.
Nun frag ich mich was denn nun richtig ist? Ich gehe mal davon aus, dass letzteres richtig ist, ich aber bei der anderen allgemeinen Formel etwas falsch mache. Ansich sollte ja das gleiche rauskommen....wo ist der Fehler?
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ähm, kann sein, dass ich mich irre, aber ich dachte, dass gilt:
E(XY) = E(X)*E(Y)
das würde ja für
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)*E(Y) IMMER 0 ergeben?! hab ich da was verpasst???
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Hallo JROppenheimer,
> E(XY) = E(X)*E(Y)
Dies gilt für unabhängige Zufallsgrößen X,Y. In diesem Fall ist die Kovarianz (Cov(X,Y)) tatsächlich Null.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo Micha,
> Nun zu deiner eigentlichen Frage:
>
> E(XY) ist dann
>
> [mm]E(XY) = \summe_{k=1}^{\infty} {k P[X =k, Y = k]}= \summe_{k=1}^6 {k P[X =k, Y = k]}[/mm]
Dies stimmt meiner Meinung nach nicht. Richtiger wäre
[mm]E(XY) = \summe_{k=1}^{\infty} {k P[X*Y =k]}= \summe_{k=1}^{30} {k P[XY =k]}=\summe_{k=1}^6 \summe_{l=1}^5 {kl P[X =k,Y=l]}[/mm]
Wegen der Unabhängigkeit ist dann
[mm]\summe_{k=1}^6 \summe_{l=1}^5 {kl P[X =k,Y=l]}=\summe_{k=1}^6 \summe_{l=1}^5 {kl P[X =k]P[Y=l]}=(\summe_{k=1}^6{k P[X =k]})*( \summe_{l=1}^5 {l P[Y =l]})=E(X)*E(Y)[/mm]
Fragen wären also:
Sind X,Y unabhängig?
und nicht ganz ernst :
Wie sieht ein 5-seitiger Würfel aus der eine Gleichverteilung realisiert?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 So 22.05.2005 | | Autor: | Thrill |
Aaaah! Danke :) nun hab ichs.
Vielen Dank nochmal an alle die bei meinem Verständnisproblem geholfen haben.
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