Kovarianzbestimmung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Fr 05.12.2008 | | Autor: | gabi71 |
Folgendes Problem:
Ich muss bestimmen welches Vorzeichen Cov(x, [mm] x^y) [/mm] hat, wenn x eine normalverteilte Zufallsvariable ist.
Intuitiv würde ich sagen, dass die Kovarianz positiv ist. Hat jemand eine Idee wie man das beweisen kann.
Vielen Dank für Eure Hilfe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Fr 05.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
was ist y und woher stammt es?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Fr 05.12.2008 | | Autor: | gabi71 |
Hallo,
y [mm] \in \IN
[/mm]
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Fr 05.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
ich gehe mal davon aus, dass y [mm] \in \IN [/mm] gilt.
Dann gilt für die Kovarianz
[mm] Cov(X,X^y) [/mm] = [mm] E(X^{y+1})-aE(X^y)
[/mm]
wobei a der Erwartungswert der Normalverteilung ist.
Es gilt also, das y-te und (y+1)-te Moment zu bestimmen.
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Fr 05.12.2008 | | Autor: | gabi71 |
Danke für Deine schnelle Antwort!
allerdings ist mir nicht klar wie ich die Momente bestimme. Hättest du einen Tipp?
Gruß Gabi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Fr 05.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hi,
das n-te Moment wird berechnet durch
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^n *f(x) dx},
[/mm]
wobei f die Dichte der Normalverteilung ist.
Vielleicht findest du auch irgendwo, was für eine Verteilung [mm] X^n [/mm] besitzt, wenn X normalverteilt ist, dann kannst du den evtl. bekannten Erwartungswert übernehmen.
Wie sehen denn Erwartungswert und Varianz der Normalverteilung aus?
Für eine Standardnormalverteilung sind nämlich z.B. alle ungeraden Momente gleich 0.
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mo 08.12.2008 | | Autor: | gabi71 |
Danke, der Tipp war bisher sehr gut.
Mit a =0 ergibt sich also [mm] Cov(x,x^y)=E(x^{y+1})
[/mm]
Folgende Fallunterscheidung kann man nun machen:
1. y ungerade --> y+1 gerade --> [mm] Cov(x,x^y)=E(x^{2k})=((2k!)/(2^kk!))\sigma^{2k}
[/mm]
wobei Y+1=2k
2. y gerade --> y+1 ungerade [mm] Cov(x,x^y)=0
[/mm]
Insgesamt kann die Kovarianz also nicht negativ sein, oder? Gibt es eine Möglichkeit dies ohne Fallunterscheidung zu zeigen, d.h. als geschlossenen Term?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Di 09.12.2008 | | Autor: | djmatey |
> Danke, der Tipp war bisher sehr gut.
>
> Mit a =0 ergibt sich also [mm]Cov(x,x^y)=E(x^{y+1})[/mm]
>
> Folgende Fallunterscheidung kann man nun machen:
>
> 1. y ungerade --> y+1 gerade -->
> [mm]Cov(x,x^y)=E(x^{2k})=((2k!)/(2^kk!))\sigma^{2k}[/mm]
> wobei Y+1=2k
Wie kommst du hier auf die letzte Gleichheit? Was ist Sigma? Sigma = 1? Geht es nicht um eine Standardnormalverteilung?
Ich kenne nur für die geraden Momente
[mm] E(X^k) [/mm] = (k-1) * [mm] E(X^{k-2})
[/mm]
>
> 2. y gerade --> y+1 ungerade [mm]Cov(x,x^y)=0[/mm]
>
>
> Insgesamt kann die Kovarianz also nicht negativ sein, oder?
> Gibt es eine Möglichkeit dies ohne Fallunterscheidung zu
> zeigen, d.h. als geschlossenen Term?
Wozu, du hast doch schon die Lösung, die du brauchst... 
LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Mi 10.12.2008 | | Autor: | gabi71 |
Vielen Dank!
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