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Forum "Statistik (Anwendungen)" - Kovarianzmatrix-Schätzer
Kovarianzmatrix-Schätzer < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kovarianzmatrix-Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:41 Di 30.11.2010
Autor: vewo

Aufgabe
Wir betrachten das statistische Modell mit n u.i.v. [mm] \IR^{k x 1}-wertigen [/mm] normalverteilten Zufallsvariablen: [mm] X_{i} [/mm] ~ [mm] N(\beta, [/mm] V), (i=1,..,n), wobei [mm] (\beta, [/mm] V) [mm] \in \IR^{k x 1} [/mm] x PD(k) der Parameter ist; (PD(k) bezeichne die Menge aller positiv definiten k x k Matrizen und PSD(k) die Menge aller positiv semi-definiten k x k-Matrizen). Betrachte die Statistik
[mm] R(x)=\summe_{i=1}^{n} (x_{i}-\overline{x}) (x_{i}-\overline{x})^{t} [/mm] , [mm] x=(x_1,...,x_n) \in \IR^{k x n}, [/mm] wobei overline{x}=1/n [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i [/mm] .

Zeigen Sie:
(a) R(x) [mm] \in [/mm]  PSD(k) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{k x n}. [/mm]
(b) [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] R ist erwartungstreuer Schätzer für V. (n>1 vorausgesetzt).
(c) Wenn n<=k, dann R(x) [mm] \in PSD(k)\setminus [/mm] PD(k) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{k x n}. [/mm]
(d) Wenn n>k, dann R(x) [mm] \in [/mm] PD(k) [mm] \lambda^{kn}-fast [/mm] sicher.
Hinweis zu (d): Vollständige Induktion nach k; [mm] \lambda ^{kn}=\lambda^n \otimes [/mm] ... [mm] \otimes \lambda^{n} [/mm] (k-faches Produkt). R(x) singulär [mm] \gdw [/mm] die Zeilen der Matrix [mm] (x_{1}-\overline{x},...,x_{n}-\overline{x}) [/mm] sind linear abhängig.

Hallo,
b und c habe ich bis jetzt zeigen können. Bei a ist symmetrie und k x k-Matrix klar. Wie kann ich jetzt  sehen, dass diese Matrix positiv semidefinit ist, wenn ich [mm] y^{t} [/mm] R y  ausrechnen möchte, sehe ich nicht wie ich das so zusammenfassen kann, damit ich die Behauptung zeigen kann.
Danke schon mal im Voraus.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Kovarianzmatrix-Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 Di 30.11.2010
Autor: luis52

Moin vewo,

zunaechst ein [willkommenmr]

Wo ist das Problem?

$ [mm] y^tR(x)y=\summe_{i=1}^{n} y^t(x_{i}-\overline{x})(x_{i}-\overline{x})^{t}y=\summe_{i=1}^{n} (y'(x_{i}-\overline{x}))^2\ge0$. [/mm]


vg Luis
                

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