Kraft auf Stoff im Magnetfeld < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Leia |
| Aufgabe | Ein paramagnetischer Stoff mit Volumen V und magnetischer Suszeptibilität [mm] \chi_{m} [/mm] befindet sich in dem Magnetfeld eines geraden Leiters
[mm] \vec{B}=\bruch{\mu_{0}I}{2\pi r²}\vektor{-y \\ x \\ 0}
[/mm]
Welche Kraft wirkt auf den Stoff? |
Hallo zusammen,
ich habe zur obigen Aufgabe eine Lösung, verstehe aber an einem Punkt nicht, wie man darauf kommt:
Die Kraft wird ja berechnet mit
F = M*V*grad B (grad ist das gleiche, wie [mm] \nabla, [/mm] oder?)
mit M = [mm] \bruch{\chi}{\mu_{0}}*B [/mm] ergibt sich
F = [mm] \bruch{\chi}{\mu_{0}}*V*B*gradB
[/mm]
Für B kann ich jetzt das einsetzen, was in der Aufgabe gegeben ist.
grad B kann man ja mit Hilfe der Jakobimatrix berechnen
In der Lösung ist jetzt
grad B = [mm] \bruch{\mu_{0}I}{2\pi r^{4}}\pmat{ 2xy & y²-x² & 0 \\ y²-x² & -2xy & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Ich versteh nicht, wie man darauf kommt. In der Jacobimatrix stehen doch alle partiellen Ableitungen, also erte Spalte alle Ableitungen nach x, zweite nach y, usw. Aber z.B. gleich in der ersten Komponente: Da wird y/r² nach x abgeleitet. Da müsste doch aber 0 rauskommen, weil in y/r² gar kein x drin ist. Bei den anderen genauso. Und warum bekomme ich überhaupt [mm] r^{4}. [/mm] Das würde ja heißen, dass alle Komponenten der Matrix noch durch [mm] r^{4} [/mm] geteilt werden, was man ja dann davor schreiben kann. Aber warum?
So wie ich das sehe, wurde im gegebenen [mm] \vec{B} [/mm] das [mm] \bruch{1}{r²} [/mm] in den Vektor reingezogen, und dann erst die partiellen Ableitungen gebildet, also mit
[mm] \vec{B}=\bruch{\mu_{0}I}{2\pi}\vektor{\bruch{-y}{r²} \\ \bruch{x}{r²} \\ 0}
[/mm]
Aber warum? Und wie kommt man dann auf die partiellen Ableitungen?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Viele Grüße,
Leia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Sa 28.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Leia!
> Ein paramagnetischer Stoff mit Volumen V und magnetischer
> Suszeptibilität [mm]\chi_{m}[/mm] befindet sich in dem Magnetfeld
> eines geraden Leiters
> [mm]\vec{B}=\bruch{\mu_{0}I}{2\pi r²}\vektor{-y \\ x \\ 0}[/mm]
>
> Welche Kraft wirkt auf den Stoff?
> Hallo zusammen,
> ich habe zur obigen Aufgabe eine Lösung, verstehe aber an
> einem Punkt nicht, wie man darauf kommt:
> Die Kraft wird ja berechnet mit
> F = M*V*grad B (grad ist das gleiche, wie [mm]\nabla,[/mm] oder?)
Ja, [mm] $\nabla$ [/mm] ist eine allgemeinere Notation.
> mit M = [mm]\bruch{\chi}{\mu_{0}}*B[/mm] ergibt sich
> F = [mm]\bruch{\chi}{\mu_{0}}*V*B*gradB[/mm]
> Für B kann ich jetzt das einsetzen, was in der Aufgabe
> gegeben ist.
> grad B kann man ja mit Hilfe der Jakobimatrix berechnen
> In der Lösung ist jetzt
> grad B = [mm]\bruch{\mu_{0}I}{2\pi r^{4}}\pmat{ 2xy & y²-x² & 0 \\ y²-x² & -2xy & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Ich versteh nicht, wie man darauf kommt. In der
> Jacobimatrix stehen doch alle partiellen Ableitungen, also
> erte Spalte alle Ableitungen nach x, zweite nach y, usw.
> Aber z.B. gleich in der ersten Komponente: Da wird y/r²
> nach x abgeleitet. Da müsste doch aber 0 rauskommen, weil
> in y/r² gar kein x drin ist.
Doch, im r, denn das ist der Abstand, also [mm] $r=\wurzel{x^2+y^2+z^2}$. [/mm] Also ist
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} \bruch{-y}{r^2} = -y \bruch{\partial}{\partial x} \bruch{1}{x^2+y^2+z^2} = - y \bruch{-2x}{(x^2+y^2+z^2)^2} = \bruch{2xy}{r^4} [/mm].
Korrektur: in diesem Fall ist r der Abstand vom Leiter, der entlang der z-Achse liegt: [mm] $\red{r=\wurzel{x^2+y^2}}$. [/mm] Am Ergebnis ändert das nichts:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} \bruch{-y}{r^2} = -y \bruch{\partial}{\partial x} \bruch{1}{x^2+y^2} = - y \bruch{-2x}{(x^2+y^2)^2} = \bruch{2xy}{r^4} [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 So 29.06.2008 | | Autor: | Leia |
Hallo Rainer,
vielen Dank für die schnelle Hilfe. Dann weiß ich jetzt auch, was dieses r da drin sollte. Also ist r, wenn ich das richtig verstanden hab, der Abstand eines Volumenelements vom Leiter.
Dankeschön!
Viele Grüße,
Leia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 So 29.06.2008 | | Autor: | Leia |
Jetzt hab ich doch noch mal eine kurze Frage dazu:
Wenn [mm] r=\wurzel{x²+y²+z²} [/mm] ist, warum ist dann die ganze letzte Spalte 0. Also, klar, wenn ich z=0 setzte, klappt das und mein B-Feld hat ja auch keine z-Komponete (bzw. die ist immer 0). Also liegt mein Leiter ja gerade auf der z-Achse, oder?
Aber wenn r der Abstand eines Volumenelements zum Leiter ist, dann hab ich da doch schon eine z-Komponente drin, oder nicht? Und dann wäre z.B.
[mm] \bruch{\partial}{\partial z}(\bruch{-y}{x²+y²+z²})=\bruch{2yz}{r^{4}}
[/mm]
Ich glaub, ich kann mir grad noch nicht richtig vorstellen, wie das ganze aussieht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 So 29.06.2008 | | Autor: | Leia |
Nochmal vielen Dank. Jetzt hab ichs verstanden. Danke auch für die Links. Die waren sehr hilfreich.
Viele Grüße,
Leia
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