Kraft pro Fläche / pro Volumen < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Di 31.05.2016 | | Autor: | Jellal |
Hi,
ich habe eine Frage zum Zusammenhang zwischen der Kraft auf eine Fläche und der Kraft auf ein Volumen.
Angenommen, man betrachtet einen Würfel, die Kanten liegen parallel zu den Achsen eines Koordinatensystems.
Auf die zur x-Achse senkrechten Flächen [mm] A_{x} [/mm] wirkt eine Kraft F, es ergibt sich der Druck in Richtung x, [mm] p_{x}.
[/mm]
Nun ist ja die Kraftdichte definiert als Kraft pro Volumen.
Und die erhält man mit [mm] \bruch{\partial p_{x}}{\partial x}.
[/mm]
Dann habe ich die Kraft pro Volumenelement dV.
Aber was ist denn, wenn der Druck [mm] p_{x} [/mm] auf jede zu x senkrechte Querschnittsfläche des Würfels konstant ist? Dann habe ich ja gar keine Kraft per Volumenelement?
|
|
| |
|
> Hi,
>
> ich habe eine Frage zum Zusammenhang zwischen der Kraft auf
> eine Fläche und der Kraft auf ein Volumen.
>
> Angenommen, man betrachtet einen Würfel, die Kanten liegen
> parallel zu den Achsen eines Koordinatensystems.
> Auf die zur x-Achse senkrechten Flächen [mm]A_{x}[/mm] wirkt eine
> Kraft F, es ergibt sich der Druck in Richtung x, [mm]p_{x}.[/mm]
>
> Nun ist ja die Kraftdichte definiert als Kraft pro
> Volumen.
> Und die erhält man mit [mm]\bruch{\partial p_{x}}{\partial x}.[/mm]
>
> Dann habe ich die Kraft pro Volumenelement dV.
>
> Aber was ist denn, wenn der Druck [mm]p_{x}[/mm] auf jede zu x
> senkrechte Querschnittsfläche des Würfels konstant ist?
> Dann habe ich ja gar keine Kraft per Volumenelement?
>
>
Ja, so ist es, und das hört sich zunächst merkwürdig an, wird aber durch Beispiele verständlich.
Zunächst: Volumenkraft soll die Kraft sein, die nicht durch Druck auf eine Fläche ausgeübt wird, sondern " im gesamten Volumen eines Körpers an jedem seiner Massepunkte angreift. Dies unterscheidet sie von Oberflächenkräften, die nur auf die Oberfläche des Körpers wirken. Volumenkräfte werden durch Felder verursacht, daher heißen sie auch Feldkräfte." (Wikipedia)
Nehmen wir an, der von dir erwähnte Würfel liegt auf dem Tisch. Er wird von der Erde angezogen und hat infolgedessen eine Gewichtskraft. Diese muss vom Tisch gehalten werden, deshalb ist unten die Kraft die Gewichtskraft
[mm] F_G=p_{unten}*A.
[/mm]
Oben auf dem Würfel hast du noch kein darüberliegendes Gewicht, und somit ist [mm] p_{oben}=0. [/mm] (Den Luftdruck lassen wir zunächst mal ganz weg).
Wegen actio=reactio hast du innerhalb des Würfels wegen des Anstiegst der darüberliegenden Gewichtskraft einen von oben nach unten gleichmäßig ansteigenden Flächendruck und damit eine Volumenkraft:
[mm] F_V=[/mm] [mm][mm] \bruch{\partial p_{y}}{\partial y}=[/mm] [mm][mm] \bruch{\partial F_G/A*(-y)}{\partial x}=-F_G/A.
[/mm]
Legst du nun ein Gewicht auf den Würfel, so übt dieses eine weitere Kraft darauf aus. Diese kommt auf der Ober- und Unterseite hinzu. Die Differenz im Würfel bleibt aber genau so wie vorher, die Volumenkraft also gleich.
Wenn du also einen Würfel von links und rechts einzwängst, so hast du ebenfalls keine Volumenkraft, wohl aber eine Kraft, die sich als Druck im Würfel (links-rechts gerichtet) bemerkbar macht.
Schwieriger wird es, wenn du den Würfel fallen lässt. Obwohl die Gravitationskraft noch da ist, hast du im Würfel keinen Gradienten mehr, und die Volumenkraft ist 0. So wie die Gewichtskraft sich beim freien Fall nicht mehr bemekrbar macht, tut das die Volumenkraft auch nicht mehr.
Nun legen wir den Würfel ins Wasser. Er soll sinken, aber durch den Auftrieb wird er kleiner. Das liegt daran, dass das Wasser auf der Unterseite wegen des höheren Wasserdrucks stärker nach oben drückt als auf der Oberseite nach unten. Zur Beschleunigung wird der Kraftunterschied hier nicht "verbraucht", es muss also einen Gradienten geben. Ist der überall gleich? Mit actio=reactio kann man hier nicht argumentieren, dann müsste er 0 sein, denn es gibt keinen Grund, warum die Auftriebskraft innerhalb des Würfels ein Stückchen weiter oben geringer sein sollte als darunter. Würde man den Wüfel in mittlerer Höhe halbieren und nur die obere Hälfte betrachten, hätte sich auch der Auftrieb halbiert - aber wir schneiden ihn ja nicht durch! Die Lösung: Wenn wir den Würfel unter Wasser auf eine Platte legen und diese dann so hochziehen, dass er teilweise aus dem Wasser ragt, stellen wir fest, dass die Auftriebskraft immer proportional zum noch im Wasser verbleibenden Teil ist. Daher kann man auch unter Wasser von einem konstanten Gradienten ausgehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mi 01.06.2016 | | Autor: | Jellal |
Hallo HJKweseleit,
vielen Dank für deine ausführlichen Schilderungen.
Tatsächlich ist der Zusammenhang also nicht so trivial, wie man vllt meinen könnte. Ich habe in meinem bisherigen Studium immer hingenommen, dass die Ableitung der Flächenkraft nach der senkrechten Richtung die Volumenkraft ergibt, da es einheitentechnisch passte, aber physikalisch habe ich das wohl noch nicht durchschaut.
Erstmal zur Definition der Volumenkraft:
Wenn ich den Würfel fallen lasse (in z-Richtung), wird er, vor dem Erreichen des Kräftegleichgewichts, beschleunigt. Dies müsste sich dann in einer Volumenkraft äußern, da jedes Atom gleichermaßen beschleunigt wird. Ausgelöst wird die Volumenkraft durch das Schwerefeld (--> Feldkraft).
Gleichzeitig kann ich durch die Flächenkräfte in Richtung z erkennen: An der Oberseite ist keine Flächenkraft, an der Unterseite wirkt die Gewichtskraft des Würfels: Ich habe einen Flächenkraftgradienten. Und dieser Flächenkraftgradient ist gleich der Volumenkraft?
Wenn dagegen ein Kräftegleichgewicht erreicht ist (Auftrieb) ist keine Gewichtskraft mehr bemerkbar. Der Würfel fällt mit konstanter Geschwindigkeit, es wirkt keine Netto-Kraft auf das Volumen --> keine Volumenkraft?
Zu deinem Beispiel mit dem Tisch.
Der Würfel ruht auf dem Tisch. Die Gewichtskraft wird kompensiert von der Kraft, die vom Tisch nach oben wirkt. Warum aber ruht der Körper, wenn nicht nur auf den Boden des Würfels, sondern auch auf alle darüber liegenden Flächen Kräfte nach unten wirken? Wo finde ich die Reactio-Kräfte zu diesen Kräften?
Und als dritten Punkt:
Kannst du die Rechnung genauer erläutern? Was sind die [mm]? Und wie genau vollzieht sich der Wechsel von dy zu dx?
>
> [mm][mm] F_V=[/mm] [mm][mm] \bruch{\partial p_{y}}{\partial y}=[/mm] [mm][mm] \bruch{\partial F_G/A*(-y)}{\partial x}=-F_G/A.
[/mm]
>
Beste Grüße
|
|
|
| |
|
> Hallo HJKweseleit,
>
> vielen Dank für deine ausführlichen Schilderungen.
>
> Tatsächlich ist der Zusammenhang also nicht so trivial,
> wie man vllt meinen könnte. Ich habe in meinem bisherigen
> Studium immer hingenommen, dass die Ableitung der
> Flächenkraft nach der senkrechten Richtung die
> Volumenkraft ergibt, da es einheitentechnisch passte, aber
> physikalisch habe ich das wohl noch nicht durchschaut.
>
> Erstmal zur Definition der Volumenkraft:
> Wenn ich den Würfel fallen lasse (in z-Richtung), wird
> er, vor dem Erreichen des Kräftegleichgewichts,
> beschleunigt. Dies müsste sich dann in einer Volumenkraft
> äußern, da jedes Atom gleichermaßen beschleunigt wird.
> Ausgelöst wird die Volumenkraft durch das Schwerefeld (-->
> Feldkraft).
Ja, aber nicht in diesem Beispiel (s.u.). Ich habe die Richtung nach unten y-Richtung genannt.
>
> Gleichzeitig kann ich durch die Flächenkräfte in Richtung
> z erkennen: An der Oberseite ist keine Flächenkraft, an
> der Unterseite wirkt die Gewichtskraft des Würfels:
Die Gewichtskraft wirkt auf alle Atome des Würfels gleich stark (falls die Atome gleiche Masse haben), im freien Fall hast du an der Unterseite genau so wenig einen Druck (Vakuum, kein Gegenwind) wie oberhalb. Du könntest den Würfel auch mitten im Flug zerbröseln, die Teile würden alle so weiter fliegen wie bisher. Das Gewicht erzeugt hier keinen Druck/Druckdifferenz, sondern eine Beschleunigung, die Volumenkraft ist - nach Definition - 0.
> Ich habe einen Flächenkraftgradienten.
Der ist 0.
> Und dieser Flächenkraftgradient ist gleich der Volumenkraft?
>
> Wenn dagegen ein Kräftegleichgewicht erreicht ist
> (Auftrieb) ist keine Gewichtskraft mehr bemerkbar. Der
> Würfel fällt mit konstanter Geschwindigkeit, es wirkt
> keine Netto-Kraft auf das Volumen --> keine Volumenkraft?
>
>
s.u.
> Zu deinem Beispiel mit dem Tisch.
> Der Würfel ruht auf dem Tisch. Die Gewichtskraft wird
> kompensiert von der Kraft, die vom Tisch nach oben wirkt.
Genau. Hier ist actio=reactio (für den ganzen Würfel).
Schneide den Würfel in Gedanken waagerecht in der Mitte durch. Oberhalb der Schnittfläche hast du nun nur noch das halbe Würfelgewicht. Damit liegt die obere Hälfte auf der Schnittfläche auf. Diese Schnittfläche muss den oberen Teil des Würfels nun mit genau derselben Kraft nach oben drücken; Wäre es mehr, würde der obere Würfelteil nach oben abheben, wäre es weniger, würde er weiter in die Schnittfläche einsinken. Für die Schnittfläche (und jede andere auch, nicht nur bei der Hälfte) gilt somit actio=reactio, aber da du nur noch die halbe Kraft benötigst (bei gleicher Querschnittsfläche), ist der Druck nur noch halb so groß, und jetzt hast du einen Gradienten im Druck in y-Richtung (nach unten zunehmend, da oben der Druck 0 und unten [mm] F_G/A [/mm] ist).
Hier also Volumenkraft [mm] \ne [/mm] 0.
> Warum aber ruht der Körper, wenn nicht nur auf den Boden
> des Würfels, sondern auch auf alle darüber liegenden
> Flächen Kräfte nach unten wirken? Wo finde ich die
> Reactio-Kräfte zu diesen Kräften?
>
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die beiden nach unten wirkenden Kräfte addieren sich und üben auf die untere Querschnittsfläche eine Kraft aus, die nun etwas höher als die Kraft ist, die allein auf die obere Querschnittsfläche wirkt. Wegen actio=reactio drückt die untere Querschnittsfläche entsprechend dem nach oben zeigenden Pfeil nach oben. Wie macht sie das? Sie drückt sich entsprechend stark an der nächsten Fläche unter sich ab, wobei noch wieder das Gewicht der dazwischenliegenden Atome hinzukommt usw.. Zum Schluss holt sich die letzte Fläche die reactio-Kraft aus der Tischfläche.
Somit entsteht der konstante Gradient innerhalb des Würfels von oben nach unten. Du hast eine Volumenkraft [mm] \ne [/mm] 0.
Fehlt die Tischfläche, beschleunigen alle Atome gleichzeitig, alle eingezeichneten Kräfte zwischen den Flächen fehlen ebenfalls, die Gravitationskraft wird zur Beschleunigung verwandt, der Gradient ist 0, es entsteht keine Volumenkraft.
> Und als dritten Punkt:
> Kannst du die Rechnung genauer erläutern? Was sind die [mm]? Und wie genau vollzieht sich der Wechsel von dy zu dx?
>
> [mm][mm]F_V=[/mm] [mm][mm]\bruch{\partial p_{y}}{\partial y}=[/mm] [mm][mm]\bruch{\partial F_G/A*(-y)}{\partial x}=-F_G/A.[/mm]
Hier ist mir ein Kopierfehler unterlaufen. Richtig muss es heißen:
[mm] F_V=\bruch{\partial p_{y}}{\partial y}= \bruch{\partial F_G/A*(-y)}{\partial \red{y}}=-F_G/A,
[/mm]
denn wir gehen ja in -y-Richtung.
die mm entstehen durch ebenfalls falsch kopierte Steuerzeichen für den Text und bedeuten, dass mathematische Besonderheiten im Text auftreten können. Sie sind aber nicht immer erforderlich.
Zum Auftrieb:
Während du beim Würfel auf dem Tisch erkennen kannst, dass der Druck innerhalb des Würfels von 0 auf [mm] F_G/A [/mm] steigt und auch, wie er ansteigt (bei konstanter Dichte gleichmäßig, sonst ungleichmäßig), gehst du beim Auftrieb entsprechend vor:
Falls der Würfel ganz unter Wasser ist: Oben Gewichtskraft des darüberliegenden Wassers, im Würfel gleichmäßige Zunahme um die jeweiligen Atomschichten des Würfels, unten Gewichtskraft des darüberliegenden Würfels+Gewichtskraft des darüberliegenden Wassers und damit einen gleichmäßigen Druckzuwachs (falls Dichte des Würfels konstant ist), also einen konstanten Gradienten und eine Volumenkraft [mm] \ne [/mm] 0. Diese ist dann genau so groß, als läge der Würfel auf dem Tisch.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
