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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Sa 21.10.2006 | | Autor: | demo |
| Aufgabe | Existiert für das Kraftfeld
F)x) = f(r)x [mm] (r:=\parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] ) mit x Element aus [mm] \IR [/mm] ^3 ? Falls ja, gebe ma das Potential an. |
Wie kann ich erkennen ob ein Kraftfeld dafür existiert?
Wie sieht dann das Potential aus?
DAnke
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Ich denke, hier ist gemeint, ob dieses Feld konservativ ist.
Generell heißt das, daß du zeigen mußt, daß das Wegintegral [mm] $\integral \vec F(\vec s)d\vec [/mm] s$ unabhängig vom Weg ist.
Einfacher ist es da, einfach zu prüfen, ob [mm] $\nabla \times \vec F(\vec [/mm] s)=0$ für alle s ist.
Für das Potenzial gilt: [mm] $\nabla*U(\vec s)=\vec F(\vec [/mm] s)$, also, der Gradient des Potentials ist [mm] \vec [/mm] F. Das bedeutet letztendlich, daß du integrieren darfst. Dabei gibts dann natürlich auch Konstanten. DAs ist aber auch klar, denn zu einem Potential kann man eine beliebige Konstante addieren, ohne, daß sich die Kraft ändert. (Beispielsweise Kondensator: Die Kraft ist nur abhängig von der Spannung zwischen den beiden Platten, wenn es noch nen gleichen Offset gibt, tut sich nix)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Sa 21.10.2006 | | Autor: | demo |
Hallo. Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Ich verstehe nun wie ich das zeigen kann, kann es aber nicht konkret machen. Also eigentlich das geliche wie rot F oder?! Aber wie kann ich das hier machen?
f(r) auch ableiten? was ist das dann? Tut mir leid, ich weiss gar nciht was ich mit dieser Art von Gleichugn anfangen soll. f(r) ist unabhängig von x ? Aber eine Gleichung von r? Aber F(x) ist abhängig nur von der Veränderung von x?? Nach was muss ich bei rot nun immer ableiten?
Seh da echt nicht durch..
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Neenee, du hast ja schon die Definition r=||x||. Die setzt du in f ein. Also [mm] $r=\wurzel{(x^2+y^2+z^2)}$
[/mm]
Diese Schreibweise soll nur vereinfacht angeben, daß die Funktion f nur vom Abstand zum Ursprung abhängt.
dahinter wird nun noch der Vektor [mm] $\vec x=\vector{x\\y\\z}$ [/mm] dranmultipliziert,damit ist
F eine Vektorfunktion.
Und wie du richtig sagts, ist das die Rotation. Zur Berechnung: Denk dran, du hast erstmal die produktregel und dann die Kettenregel:
[mm] $d_z [f(\wurzel{x^2+y^2+z^2}*x]=[d_zf(\wurzel{x^2+y^2+z^2})]*x+f(\wurzel{x^2+y^2+z^2})*[d_zx]=[d_z(x^2+y^2+z^2)*f_z(\wurzel{x^2+y^2+z^2})*x+f(\wurzel(x^2+y^2+z^2))*[d_zx]$
[/mm]
[mm] d_z [/mm] ist die Abkürzung für d/dz
und [mm] f_z [/mm] ist die Abkürzung für die Ableitung der Funktion f nach z. Ich vermute, du kennst die Funktion f gar nicht, dann mußt du das erstmal so stehen lassen.
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Hallöchen, ich klinke mich hier einfach mal ein 
Wie kann ich denn nun mit dieser Rechnung zeigen, dass die Kraft konservativ ist? Ich habe ja keine explizite Funktion, mit der ich das ausrechnen kann.
Das Potentieal ist ja über den Gradienten definiert, aber wie komme ich nun auf das Potential? Hier ist ja wieder das Problem der fehlenden Fuktion?
Vielen Dank schonmal :)
Matze
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OK, ich habs mir nochmal angeschaut, ich habe da einen winzigen Fehler gemacht:
[mm] $\bruch{d}{dx}f(\wurzel{x^2+x^2+z^2})=\left[\bruch{d}{dx}\wurzel{x^2+x^2+z^2}\right]f'(\wurzel{x^2+x^2+z^2})$
[/mm]
Das ist die Ableitung der Funktion. Die Ableitung von f ist einfach nur f' - in allen Fällen, denn das ist ja auch eine Funktion, die nur von einer einzigen Variablen r abhängt (und diese wiederum hängt von x,y,z ab.)
Rechnet damit mal die Rotation aus, und laßt das f' drin stehen.
Ich habs grade gemacht, und da kommt immer 0 raus, weil da letztendlich sowas wie (f'-f') drin steht.
Probierts mal aus!
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