Kreis durch 3 Punkte < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich frage mich, ob ein Kreis durch drei beliebige Punkte im [mm] \IR^3 [/mm] definiert ist, solange diese drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen.
Ist das so?
Falls dies der Fall ist: Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man das beweisen kann, bzw. in welcher Literatur dies nachzulesen ist?
Vielen Dank!
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Hallo techniquez,
trotz der anspruchsvollen Verkleidung bleibt es Mittelstufen-Geometrie.
> Ich frage mich, ob ein Kreis durch drei beliebige Punkte im
> [mm]\IR^3[/mm] definiert ist, solange diese drei Punkte nicht auf
> einer Geraden liegen.
Ja.
> Ist das so?
Sogar eindeutig.
> Falls dies der Fall ist: Kann mir jemand einen Tipp geben,
> wie man das beweisen kann, bzw. in welcher Literatur dies
> nachzulesen ist?
Ich nehme fast an, dass es dazu keine Literatur gibt.
Die drei Punkte definieren eine eindeutige Ebene im [mm] \IR^3. [/mm] Auf dieser Ebene bilden sie ein Dreieck.
Der Umkreis dieses Dreiecks ist wohl der gesuchte Kreis. Du hast vergessen zu sagen, ob die Punkte auf dem Kreis liegen sollen, aber ich nehme das jetzt einfach mal an.
Mittelpunkt des Umkreis ist in der ebenen Geometrie (und um eine solche handelt es sich hier ja) der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Dieser Teil ist, wie gesagt, Mittelstufe.
Versuch doch mal, z.B. mit Vektorrechnung im [mm] \IR^3, [/mm] diesen Kreis allgemein zu bestimmen. Das ist schon schwieriger, aber auch nicht unlösbar.
Gegeben sind [mm] \vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}. [/mm] Alle sind voneinander verschieden und [mm] \vec{a}-\vec{b}\not=t(\vec{a}-\vec{c} [/mm] für alle [mm] t\in\IR.
[/mm]
> Vielen Dank!
Grüße
reverend
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Danke für die Anwort!
Ich habe diese Rechnung bereits durchgeführt. Erst nachdem ich sie gelöst habe, kam die Frage auf, ob dies für drei beliebige Punkte gilt, welche nicht auf einer Geraden liegen.
Ich habe mir dazu die Punkte P1(4;1;0) , P2(1;4;0) , P3(4;7;0) als Beispiel herangezogen. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist der Punkt S(4;4;0), welchen ich auch berechnen möchte.
Anschließend habe ich zwei Geraden gebildet. Die erste Gerade g1 durch die Punkte P1 und P2, und die zweite Gerade g2 durch die Punkte P2 und P3. Anschließend habe ich den Mittelpunkt zwischen P1 und P2, sowie den Mittelpunkt zwischen P2 und P3 über die beiden Geradengleichungen bestimmt, indem ich für den Proportionalitätsfaktor jeweils 0,5 angenommen habe.
Danach habe ich einen senkrechten Hilfsvektor h gebildet. D.h. ich habe das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von Gerade g1 und Gerade g2 gebildet.
Danach habe zwei neue Richtungsvektoren gebildet. Den ersten Richtungsvektor R1 über das Kreuzprodukt des Richtungsvektors von g1 mit dem Hilfsvektor h, sowie den zweiten Richtungsvektor R2 über das Kreuzprodukt des Richtungsvektors von g2 mit dem Hilfsvektor h.
Anschließend habe ich zwei neue Geradengleichungen g3 und g4 aufgestellt. Für die Gerade g3 habe ich als Stützvektor den Mittelpunkt zwischen P1 und P2 verwendet und als Richtungsvektor R1. Analog habe ich die Geradengleichung g4 aufgestellt mit dem Stützvektor des Mittelpunktes zwischen P2 und P3 und dem Richtungsvektor R2.
Danach habe ich die Geraden g3 und g4 gleichgesetzt und den Mittelpunkt des Kreises S berechnet.
Meine Frage:
Kann man den Mittelpunkt des Kreises mit weniger Aufwand berechnen?
Hintergrund: Es handelt sich um eine Berechnung mit Unsicherheiten. Wenn ich die Fehlerfortpflanzung richtig verstanden habe, dann vergrößert sich der Fehler, je mehr Rechenschritte durchgeführt werden. Ist das richtig?
Falls es also eine Möglichkeit gibt den Mittelpunkt eines Kreises im [mm] \IR^3 [/mm] mit weniger Rechenaufwand zu berechnen, so wäre auch die sich durch die Fehlerfortpflanzung ergebende Unsicherheit für S geringer.
Danke für die Antwort!
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Nimm statt der Mittelsenkrechten des Dreiecks [mm]P_1P_2P_3[/mm] besser die Symmetrieebenen zweier Punkte. Beispielsweise geht die Symmetrieebene von [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2[/mm] durch die Mitte der Strecke [mm]P_1 P_2[/mm] und hat [mm]\overrightarrow{P_1 P_2}[/mm] als Normalenvektor. Die Gleichung läßt sich somit leicht in Normalenform aufstellen. Schneide nun zwei solche Symmetrieebenen mit der Ebene des Dreiecks. Dazu mußt du das lineare Gleichungssystem aus den drei Ebenengleichungen in Normalenform lösen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:57 So 09.02.2014 | | Autor: | techniquez |
Danke!
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Dies ist analytische Geometrie.
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