Kreis in der Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Di 20.01.2009 | | Autor: | Abi0009 |
| Aufgabe | Gegeben sind zwei Kreise k1 m:(1I1) r=2LE und k2 m:(8I4) r= 3LE
Gesucht sind die Tangentengleichungen welche die beiden Kreise A) außen berühren und B) innen berühren
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hab versuch die Aufgabenstellung so exakt wie möglich wiederzugeben, falls etwas unverständlich sein sollte, tut es mir wirklich leid ...hab es nur von einer Skizze ableiten können...
werd versuchen acuh noch ein Bild hier hochzuladen..muss mich erstmal einfuchsen
Vielen dank im vorraus schonmal
also meine Frage ist nun wie ich auf die Tangenten komme...mit einem Kreis ist kein Problem wenn ich einen Berührugnspunkt vorgegeben hab..aber so finde ich irgendwie nichtmal einen ansatz..ein Gleichungssystem wäre vllt gut aber weiß nicht vorne und hinten nicht wie...
wäre wirklich super nett wenn mir jmd helfen könnte
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Di 20.01.2009 | | Autor: | zetamy |
> Gegeben sind zwei Kreise k1 m:(1I1) r=2LE und k2 m:(8I4)
> r= 3LE
>
> Gesucht sind die Tangentengleichungen welche die beiden
> Kreise A) außen berühren und B) innen berühren
Hallo,
wenn man den Ansatz erstmal kennt, ist der Rest nicht mehr schwer 
Bezeichnen wir die Kreise, Mittelpunkte und Radien wie folgt:
[mm] $k_1=(m_1,r_1)=(\vektor{1 \\ 1},2)$, [/mm] wobei [mm] $m_1=\vektor{m_{11} \\ m_{12}}=\vektor{1 \\ 1}$, [/mm] und [mm] $k_2=(m_2,r_2)=(\vektor{8 \\ 4}, [/mm] 3)$, wobei [mm] $m_2=\vektor{m_{21} \\ m_{22}}=\vektor{8 \\ 4}$. [/mm] Wir suchen eine bzw. mehrere Tangenten zu den Kreisen [mm] $k_1$ [/mm] und [mm] $k_2$, [/mm] das heißt Geraden g mit [mm] $g(x_1)=x_2=n\cdot x_1 [/mm] + c$ und Abstand [mm] $r_1$ [/mm] bzw. [mm] $r_2$ [/mm] zu den Mittelpunkten [mm] $m_1$ [/mm] und [mm] $m_2$: $d(m_1,g)=r=d(m_2,g)$.
[/mm]
Für den Abstand gilt: [mm] $d(m_i,g) [/mm] = [mm] \left| \frac{m_{i1}\cdot n - m_{i2} +c }{\sqrt{n^2+1}}\right| [/mm] = [mm] r_i$ [/mm] für i=1,2. Damit folgt das Gleichungssystem (gesucht sind n und c):
[mm] $m_{11}\cdot [/mm] n [mm] -m_{12} [/mm] +c = [mm] \pm r_1\cdot\sqrt{n^2+1}$ [/mm]
[mm] $m_{21}\cdot [/mm] n [mm] -m_{22} [/mm] +c = [mm] \pm r_2\cdot\sqrt{n^2+1}$
[/mm]
Das Gleichungssystem muss mit gleichen und verschiedenen Vorzeichen (bzgl. r) gelöst werden. Dadurch erhält man 4 Tangenten, 2 innere und 2 äußere (sofern sie existieren, was hier der Fall ist).
Gruß, zetmy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Abi0009 |
| Aufgabe | > Gegeben sind zwei Kreise k1 m:(1I1) r=2LE und k2 m:(8I4)
> r= 3LE
>
> Gesucht sind die Tangentengleichungen welche die beiden
> Kreise A) außen berühren und B) innen berühren
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vorab vielen Dank für den Lösungsvorschlag!
Die Rechnung scheint mir doch sehr kompliziert...ich versuche jetzt die unklarheit durch meine fragen aufzulösen...
also ich kann dieses mi nicht genau deuten? was stellt es da ?
und wieso für i=1,2
und ich möchte noch in erfahrungen bringen ob meine bisherigen überlegungen auch richtig sind..
n soll hier den Anstieg für die Tangente symbolisieren und c das absolute Glied?
und für m11 und m12 könnte man theoretisch auch x und y sagen oder?
ich denke die Beantworung dieser Fragen dürfte ein wenig Klarheit für mich bringen :)
Ich bedanke mich schonmal im vorraus für Bemühungen und nette Unterstützung!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mi 21.01.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> also ich kann dieses mi nicht genau deuten? was stellt es
> da ?
>
> und wieso für i=1,2
[mm] $m_i$ [/mm] für i=1,2 bedeutet man muss den Abstand einmal für den Mittelpunkt des ersten Kreises $ [mm] m_1=\vektor{m_{11} \\ m_{12}}=\vektor{1 \\ 1} [/mm] $ (also i=1) und einmal für den Mittelpunkt des zweiten Kreises $ [mm] m_2=\vektor{m_{21} \\ m_{22}}=\vektor{8 \\ 4} [/mm] $ (also i=2) bestimmen. Das ist gleichbedeutend mit dem Gleichunssystem darunter.
>
> und ich möchte noch in erfahrungen bringen ob meine
> bisherigen überlegungen auch richtig sind..
>
> n soll hier den Anstieg für die Tangente symbolisieren und
> c das absolute Glied?
Richtig.
>
> und für m11 und m12 könnte man theoretisch auch x und y
> sagen oder?
Im Prinzip, ja. [mm] $m_{11}$ [/mm] und [mm] $m_{12}$ [/mm] sind oben als die Koordinaten des ersten Mittelpunktes definiert. Du setzt also in die Gleichung [mm] $m_{11}\cdot [/mm] n [mm] -m_{12} [/mm] +c = [mm] \pm r_1\cdot\sqrt{n^2+1} [/mm] $ den Punkt (1,1) ein (und den Radius [mm] $r_1=2$): $1\cdot [/mm] n - 1 +c = [mm] \pm 1\cdot\sqrt{n^2+1} [/mm] $.
Genauso für die zweite Gleichung mit dem zweiten Mittelpunkt.
Ich hoffe für Klarheit gesorgt zu haben
Gruß, zetamy
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Hallo Sören,
diese Aufgabe lässt sich durch eine geometrische
Idee auf die einfachere Aufgabe zurückführen:
"Lege von einem Punkt P aus die Tangenten an
einen gegebenen Kreis"
Tipp (für die äusseren Tangenten): Lass den
kleineren Kreis [mm] k_1 [/mm] zu seinem Mittelpunkt [mm] M_1 [/mm]
schrumpfen und den grösseren zu einem solchen
mit dem Radius [mm] r_2-r_1 [/mm] .
Eine weitere Möglichkeit ist, sich zuerst geo-
metrisch (mittels Ähnlichkeiten) klar zu machen,
wo der Schnittpunkt der beiden äusseren
(bzw. jener der beiden inneren Tangenten)
liegen muss.
Gruß al-Chw.
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