Kreis in der Ebene < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 So 25.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Ein Kreis in der Ebene $\ [mm] \IQ^2 [/mm] $ kann durch die Menge
$\ [mm] \{(x,y) \in \IQ^2 : x^2+y^2 +ax+by+c=0 \} [/mm] $
für geeignete $\ a,b,c $ beschrieben werden.
Für welche Tripel (a,b,c) ergibt sich tatsächlich ein Kreis, für welche ist die obige Menge leer? Was ist der Mittelpunkt und der Radius des Kreises? |
Hallo,
Das ist eine Hausübung, deshalb brauch ich nur eine kleine Starthilfe - hoffentlich.
Es geht um das Tripel $\ (a,b,c) $.
Ich kenne den Kreis als $\ [mm] x^2+y^2 [/mm] = r $ und mit $\ r = 1 $ als Einheitskreis.
Nun war die einzige Idee, die mir kam, folgende Behauptung aufzustellen:
$\ r = -(a+b+c) $
Ich vermute, falls die Idee in dem Sinne richtig ist, dass man hier ein 3x3 LGS aufstellen muss, um "geeignete" $\ a, b, c $ zu finden.
Aber mit einer Gleichung komme ich nicht weit, vor allem weil ich hier 4 Unbekannte hab.
Würde mich freuen, wenn mir jemand sagen kann, was zu tun ist, den Rest würde ich dann gern selbst probieren.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Kries mit dem Mittelpunkt (m1,m2) hat die Gleichung
[mm] (x-m1)^2+(y-m2)^2=r^2
[/mm]
Du musst also deine Form (durch quadratische Ergaenzung) auf diese bringen, oder diese Form ausmultipl und dann mit der anderen vergliechen.
wenn das [mm] "r^2" [/mm] negativ ist gibts keine Losung, wenn es 0 ist nur eine (den Mittelpunkt)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 So 25.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Leduart,
danke für Deine Hilfe.
Kannst Du mir auch sagen, was ich bei der ersten Frage beachten soll?
Ich dachte mir folgendes:
$\ [mm] x^2+y^2+a+b+c [/mm] = 0 $
Ein Kreis existiert nur dann, wenn der Radius $\ r > 0 $ ist.
D.h. $\ r = -(a+b+c) $
$\ [mm] \Rightarrow [/mm] -(a+b+c) > 0 $
Komm ich mit diesen Überlegungen zum Ziel?
Grüße
ChopSuey
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> Ich dachte mir folgendes:
>
> [mm]\ x^2+y^2+a+b+c = 0 [/mm]
???
Die Aufgabe war doch zu sagen, für welche a,b,c
[mm] x^2+y^2 [/mm] +ax+by+c=0
ein Kreis in [mm] \IQ [/mm] ist.
leduard hatte Dir ja schon gesagt, daß Du das mit quadratischer Ergänzung erstmal auf die Form
(x- [mm] ...)^2+ (y-...)^2= [/mm] ... bringen mußt.
>
> Ein Kreis existiert nur dann, wenn der Radius [mm]\ r > 0[/mm] ist.
Vor allem ist [mm] (x-m_1)^2+(y-m_2)^2= [/mm] d nur ein Kreis für [mm] d\ge [/mm] 0.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 So 25.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Angela,
da hab ich was falsch abgeschrieben  Tut mir leid.
Danke für die Hilfe.
Viele Grüße
ChopSuey
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> Ein Kreis in der Ebene [mm]\ \IQ^2[/mm] kann durch die Menge
>
> [mm]\ \{(x,y) \in \IQ^2 : x^2+y^2 +ax+by+c=0 \}[/mm]
>
> für geeignete [mm]\ a,b,c[/mm] beschrieben werden.
>
> Für welche Tripel (a,b,c) ergibt sich tatsächlich ein
> Kreis, für welche ist die obige Menge leer? Was ist der
> Mittelpunkt und der Radius des Kreises?
Hallo ChopSuey,
steht da wirklich [mm] (x,y)\in\IQ^2 [/mm] und nicht [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm] ?
Das macht nämlich einen Riesenunterschied !
Im ersten Fall wären ja wirklich nur Punkte
mit rationalen Koordinaten zugelassen. Ein
"Kreis" in [mm] \IQ^2 [/mm] ist etwas wesentlich anderes
als ein Kreis in [mm] \IR^2.
[/mm]
Anderes, noch viel krasseres Beispiel:
Der "Kreis" in [mm] \IZ^2 [/mm] mit Mittelpunkt M(0/0) und
Radius r=5 besteht nur aus 12 Punkten !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 So 25.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Al-Chwarizmi,
es handelt sich tatsächlich um $\ [mm] \IQ^2 [/mm] $. Habe die Aufgabe 1 zu 1 vom Blatt übernommen.
Liegt möglicherweise daran, dass wir in den nächsten Vorlesungen die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen heraus konstruieren.
Danke für die Aufmerksamkeit nichtsdestotrotz.
Viele Grüße
ChopSuey
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> Ein Kreis in der Ebene [mm]\ \IQ^2[/mm] kann durch die Menge
>
> [mm]\ \{(x,y) \in \IQ^2 : x^2+y^2 +ax+by+c=0 \}[/mm]
>
> für geeignete [mm]\ a,b,c[/mm] beschrieben werden.
>
> Für welche Tripel (a,b,c) ergibt sich tatsächlich ein
> Kreis, für welche ist die obige Menge leer? Was ist der
> Mittelpunkt und der Radius des Kreises?
Hallo Mathe-Fans,
ich bin der Frage noch ein wenig nachgegangen,
wie es mit diesen "Kreisen" in [mm] \IQ^2 [/mm] aussieht.
Siehe meinen ersten Beitrag .
Nehmen wir mal ein einfaches Beispiel wie etwa
a=4, b=-2 und c=2, oder noch einfacher:
$\ a\ =\ b\ =\ [mm] 0\quad ,\quad [/mm] c\ =\ -3$
Damit kommen wir auf die Gleichung
$\ [mm] x^2+y^2-3\ [/mm] =\ 0$
oder
$\ [mm] x^2+y^2\ [/mm] =\ 3$
Da nun sowohl x als y rational sein sollen, können
wir sie als Quotienten ganzer Zahlen schreiben und
haben dann die Gleichung
$\ [mm] \left(\frac{p}{m}\right)^2+\left(\frac{q}{n}\right)^2\ [/mm] =\ 3$
wobei die Nenner m und n natürlich nicht verschwinden
dürfen. Jetzt ist die Frage:
| Aufgabe | Hat die Gleichung
$\ [mm] \left(\frac{p}{m}\right)^2+\left(\frac{q}{n}\right)^2\ [/mm] =\ 3$
ganzzahlige Lösungsquadrupel ?
Falls ja: Beispiel ?
Falls nein: Beweis ? |
LG  Al
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Al
meinst du die Frage ernst?
1. Antwort: Es gibt beliebig viele phytagoreische Zahlentrippel [mm] n^2+m^2=k^2 n,m,k\in \IN [/mm] erweiter so dass rechts 3 steht.
2. einfache Konstruktion am Einheitskreis:
nimm einen rationalen Punkt, (r,0) -1,r<1
Schneide die Gerade durch (0,-1) und (r,0) mit dem Kreis.
eine Loesung ist y=-1,x=0 die andere auch rational .
Muss ich s vorrechnen?
Gruss leduart
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> Hallo Al
> meinst du die Frage ernst?
Ja, absolut.
> 1. Antwort: Es gibt beliebig viele pythagoreische
> Zahlentripel [mm]n^2+m^2=k^2\qquad n,m,k\in \IN[/mm] erweiter so dass
> rechts 3 steht.
> 2. einfache Konstruktion am Einheitskreis:
> nimm einen rationalen Punkt, (r,0) -1,r<1
> Schneide die Gerade durch (0,-1) und (r,0) mit dem Kreis.
> eine Loesung ist y=-1,x=0 die andere auch rational .
> Muss ich s vorrechnen?
> Gruss leduart
Dein Kreis hat also den (rationalen) Radius r=1 ?
Natürlich könnte man den auch anders, ebenfalls
rational, wählen, wenn ich dich richtig verstanden
habe...
Unsere Kreise können aber irrationale Radien haben.
Die Gleichung, die wir mit ganzzahligen m,n,p,q
mit [mm] m\not=0 [/mm] und [mm] n\not=0 [/mm] erfüllen sollten, ist:
$\ [mm] p^2\,n^2+q^2\,m^2\ [/mm] =\ [mm] 3\,m^2\,n^2$
[/mm]
Und ich denke, das geht nicht. Hab's zwar erst kurz
mit einem Progrämmchen (Rechnung modulo 3)
ausprobiert.
Lieben Gruß Al
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> > Ein Kreis in der Ebene [mm]\ \IQ^2[/mm] kann durch die Menge
> >
> > [mm]\ \{(x,y) \in \IQ^2 : x^2+y^2 +ax+by+c=0 \}[/mm]
> > für geeignete [mm]\ a,b,c[/mm] beschrieben werden.
> >
> > Für welche Tripel (a,b,c) ergibt sich tatsächlich
> > ein Kreis, für welche ist die obige Menge leer ?
> > Was ist der Mittelpunkt und der Radius des Kreises ?
> Nehmen wir mal ein einfaches Beispiel:
>
> [mm]\ a\ =\ b\ =\ 0\quad ,\quad c\ =\ -3[/mm]
>
> Damit kommen wir auf die Gleichung
>
> [mm]\ x^2+y^2-3\ =\ 0[/mm]
>
> oder
>
> [mm]\ x^2+y^2\ =\ 3[/mm]
>
> Da nun sowohl x als y rational sein sollen, können
> wir sie als Quotienten ganzer Zahlen schreiben und
> haben dann die Gleichung
>
> [mm]\ \left(\frac{p}{m}\right)^2+\left(\frac{q}{n}\right)^2\ =\ 3[/mm]
>
> wobei die Nenner m und n natürlich nicht verschwinden
> dürfen. Jetzt ist die Frage:
| Aufgabe | Hat die Gleichung
[mm]\ \left(\frac{p}{m}\right)^2+\left(\frac{q}{n}\right)^2\ =\ 3[/mm]
ganzzahlige Lösungsquadrupel ? |
Tatsächlich hat diese diophantische Gleichung keine
Lösung. Das kann man so einsehen:
Natürlich dürfen wir voraussetzen, dass p,m,q und n
positive ganze Zahlen sind. Bei allfälligen negativen
Werten könnte man das Vorzeichen wechseln, ohne die
Gültigkeit der Gleichung zu beeinflussen; die Nenner
dürfen nicht Null sein, und im Fall p=0 hätte man ja
etwa die Gleichung [mm] $\left(\frac{q}{n}\right)^2\ [/mm] =\ 3$ , wir wissen aber, dass
[mm] \sqrt{3} [/mm] nicht rational ist.
Die obige Gleichung führt auf
[mm] p^2*n^2+q^2*m^2\,=\,3*m^2*n^2 [/mm] .
Setzen wir nun
$\ [mm] f:=\,p*n\,,\quad g:=\,q*m$ [/mm] und $\ [mm] h:=\,m*n$ [/mm] ,
so haben wir
$\ [mm] f^2+g^2\,=\,3*h^2$
[/mm]
mit positiven ganzzahligen f,g,h .
Dies ist jedoch eine Gleichung ohne ganzzahlige Lösungs-
tripel (f,g,h) mit [mm] (f,g,h)\not=(0,0,0). [/mm] Ein Beweis dafür ist
da zu finden:  Diophantische Gleichung .
Damit ist gezeigt:
Die Menge $\ K\ =\ [mm] \{(x,y) \in \IQ\times\IQ : x^2+y^2 +ax+by+c=0 \} [/mm] $
mit rationalen Werten a,b,c stellt keinesfalls immer einen
Kreis in der Ebene [mm] \IQ\times\IQ [/mm] der Punkte mit rationalen x- und
y-Koordinaten dar, auch dann nicht, wenn die Bedingung
$ \ c\ <\ [mm] \frac{a^2+b^2}{4} [/mm] $
erfüllt ist. Beispielsweise für a=b=0 und c=-3 ist die Menge K leer .
LG Al-Chwarizmi
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> Ein Kreis in der Ebene [mm]\ \IQ^2[/mm] kann durch die Menge
>
> [mm]\ \{(x,y) \in \IQ^2 : x^2+y^2 +ax+by+c=0 \}[/mm]
>
> für geeignete [mm]\ a,b,c[/mm] beschrieben werden.
>
> Für welche Tripel (a,b,c) ergibt sich tatsächlich ein
> Kreis, für welche ist die obige Menge leer? Was ist der
> Mittelpunkt und der Radius des Kreises?
Hallo ChopSuey,
ich habe schon nachgefragt, ob wirklich Kreise in
[mm] \IQ^2 [/mm] gemeint sind und nicht in [mm] \IR^2.
[/mm]
Hast du die Lösung für den Fall [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm] (und auch
[mm] a,b,c\in\IR^2) [/mm] inzwischen ?
Ich bin dem anderen Fall, wo also a,b,c,x,y alle für
rationale Zahlen stehen, noch etwas weiter nachge-
gangen. Und da zeigt sich wirklich eine total andere
Situation. Ein einfaches Beispiel:
Mit a=b=0 und c=-3 erhält man in [mm] \IR^2 [/mm] tatsächlich
einen Kreis k, nämlich den mit Mittelpunkt M(0/0) und
Radius [mm] r=\sqrt{3} [/mm] .
Interpretiert man dieselbe Gleichung hingegen
in der Grundmenge [mm] \IQ^2, [/mm] so stellt man fest, dass die
Lösungsmenge der Gleichung in diesem Fall leer ist !
Mit anderen Worten: auf dem vorherigen Kreis k in der
reellen x-y-Ebene gibt es keinen einzigen Punkt, der
zwei rationale Koordinaten hat !
Die Aufgabe ist also, wenn man die Voraussetzung
[mm] (x,y)\in\IQ^2 [/mm] tatsächlich ernst nimmt, deutlich interes-
santer, aber halt auch schwieriger als gedacht !
Mich nimmt nun Wunder, wie die Aufgabe wirklich
gemeint war ! Darf ich dich bitten, mich darüber zu
informieren ?
Lieben Gruß
Al-Chw.
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> Ein Kreis in der Ebene kann durch die Menge
>
> [mm]\ \{(x,y) \in \IQ^2 : x^2+y^2 +ax+by+c=0 \}[/mm]
>
> für geeignete [mm]\ a,b,c[/mm] beschrieben werden.
>
> Für welche Tripel (a,b,c) ergibt sich tatsächlich ein
> Kreis, für welche ist die obige Menge leer? Was ist der
> Mittelpunkt und der Radius des Kreises?
Meines Erachtens wäre es sinnvoller, den Kreis darzustellen als
[mm] (x+d)^{2}+(y+e)^{2}=r^{2} [/mm]
Wenn man das nun ausmultipliziert, erhält man
[mm] x^{2}+2dx+d^{2}+y^{2}+2ey+e^{2}-r^{2}=0
[/mm]
oder die Summanden anders angeordnet:
[mm] x^{2}+y^{2}+2dx+2ey+d^{2}+e^{2}-r^{2}=0
[/mm]
Dann wäre
2d [mm] \hat= [/mm] a [mm] \Rightarrow [/mm] d [mm] \hat= \bruch{a}{2}
[/mm]
2e [mm] \hat= [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] e [mm] \hat= \bruch{b}{2}
[/mm]
[mm] d^{2}+e^{2}-r^{2} \hat= [/mm] c
c muss also so gewählt werden, dass [mm] r^{2}>0 [/mm] ist.
Wann das der Fall ist, ergibt sich aus Obigem: [mm] c^{2}<\bruch{a^{2}+b^{2}}{2}
[/mm]
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> > Ein Kreis in der Ebene kann durch die Menge
> >
> > [mm]\ \{(x,y) \in \IQ^2 : x^2+y^2 +ax+by+c=0 \}[/mm]
> >
> > für geeignete [mm]\ a,b,c[/mm] beschrieben werden.
> >
> > Für welche Tripel (a,b,c) ergibt sich tatsächlich ein
> > Kreis, für welche ist die obige Menge leer? Was ist der
> > Mittelpunkt und der Radius des Kreises?
>
> Meines Erachtens wäre es sinnvoller, den Kreis
> darzustellen als
>
> [mm](x+d)^{2}+(y+e)^{2}=r^{2}[/mm]
>
> Wenn man das nun ausmultipliziert, erhält man
>
> [mm]x^{2}+2dx+d^{2}+y^{2}+2ey+e^{2}-r^{2}=0[/mm]
>
> oder die Summanden anders angeordnet:
>
> [mm]x^{2}+y^{2}+2dx+2ey+d^{2}+e^{2}-r^{2}=0[/mm]
>
>
> Dann wäre
>
> 2d [mm]\hat=[/mm] a [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\hat= \bruch{a}{2}[/mm]
>
> 2e [mm]\hat=[/mm] b [mm]\Rightarrow[/mm] e [mm]\hat= \bruch{b}{2}[/mm]
>
> [mm]d^{2}+e^{2}-r^{2} \hat=[/mm] c ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
so weit alles in Ordnung !
> c muss also so gewählt werden, dass [mm]r^{2}>0[/mm] ist.
>
> Wann das der Fall ist, ergibt sich aus Obigem:
> [mm]c^{2}<\bruch{a^{2}+b^{2}}{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich erhalte: $\ c\ <\ [mm] \frac{a^2+b^2}{4}$
[/mm]
Dies ist die Lösung, falls man die Gleichung in
der reellen Ebene [mm] \IR^2 [/mm] interpretiert.
Wenn aber die Grundebene (wie es in der Aufgabe
stand) die rationale Ebene [mm] \IQ^2 [/mm] ist, so ist zwar die
Ungleichung $\ c\ <\ [mm] \frac{a^2+b^2}{4}$ [/mm] als notwendige Bedingung
ebenfalls vorauszusetzen. Sie reicht aber längst
nicht als hinreichende Bedingung für eine nicht-
leere Lösungsmenge aus: vorige Antwort .
LG Al
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:27 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Batista88 |
Hallo,
@ ChopSuey
Wie weit bist du denn mit der Aufgabe? Ich sitz jetzt schon Stunden vor der Aufgabe und kann sie nicht lösen. Kann mir irgendjemand mal einen Tipp geben??
LG
Batista
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> @ ChopSuey
> Wie weit bist du denn mit der Aufgabe? Ich sitz jetzt schon
> Stunden vor der Aufgabe und kann sie nicht lösen. Kann mir
> irgendjemand mal einen Tipp geben??
Hallo,
immerhin wurde in diesem Thread doch schon allerlei geschrieben zur Aufgabe.
Was hast Du denn damit bisher getan? Wie hast Du es verwendet, was hast Du Dir überlegt, und wo genau ist Dein Problem?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Batista88 |
Hallo
Ich versuchs jetzt nochmal mit der quadratischen Ergänzung und melde mich gleich nochmal
LG
Batista
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Hallo,
ganz ehrlich ich bekomme das mit der quadratischen ergänzung nicht hin und auch wenn rabilein1 es schon geschrieben hat kann ich es nicht nachvollziehen
[mm] (x+d)^{2}+(y+e)^{2}=r^{2} [/mm] woher kommt das d und e jetzt her???
Vielleicht ist es jetzt einfach zu lange her das ich mit der quadratischen ergänzung gearbeitet habe
Ich bin für jede Hilfe dankbar
LG
Batista
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Hallo,
war die richtige Aufgabe ohne Tippfehler
[mm] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/mm] ?
<==> [mm] x^2+2*\bruch{a}{2}x +y^2+\bruch{b}{2}y [/mm] = -c
Ich mache Dir jetzt mal an einem Beispiel quadratische Ergänzung vor: [mm] a^2 [/mm] + 2*5a =0 <==> [mm] a^2 [/mm] + 2*5a [mm] +5^2 -5^2 [/mm] =0 <==> [mm] (a+5)^2 -5^2=0
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Di 27.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Batista,
ich hatte bisher noch keine Gelegenheit, die Aufgabe zu Ende zu bringen. Heute Abend hab' ich mich allerdings mit ein paar Kommilitonen verabredet, wir machen das gemeinsam.
@Al-Chwarizmi
ich poste morgen gerne die Lösung Falls Dein Interesse darüber hinaus geht, poste ich auch gerne die Lösung, die wir von den Tutoren nächste Woche bekommen.
Viele Grüße
ChopSuey
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