Kreis mit Rechteck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Kreis hat den Radius r gegeben. In ihm ist ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einzubeschreiben. |
Hallo,
Ich habe das durchgerechnet und zwar mit:
Extremalbedingung: A=a*b ist zu maximieren
Nebenbedingung: (2r)² = a²+b² (habe ich mir über den Satz des Pythagoras hergeleitet)
Zielfunktion: A(a)= [mm] a*\wurzel{(2r)²-a²} [/mm] dann wollte ich die Wurzel wegbekommen, und erhalte:
A²(a) = a²*((2r)²-a²)
[mm] \Rightarrow [/mm] A²(a) = [mm] 4r²a²-a^{4}
[/mm]
So, nun kann ich die 1. Ableitung bilden und diese gleich 0 setzen. Mit der weiteren Rechung habe ich auch kein Problem mehr.. die Frage erübrigt sich an der Stelle, wo ich die ganze Gleichung quadriere:
Warum macht es nichts aus, dass ich dann die quadrierte Gleichung ableite... und nicht die mit der Wurzel? Warum ändert das die Ableitung nicht??
Hoffe, dass ich mich einigermaßen verständlich ausdrücken kann :)
Würde mich auf Hilfe freuen!
LG Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Informacao!
Du hast das Problem, aber auch zugleich den Kniff dieser Aufgaben genau erkannt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Selbstverständlich wird die Ableitung durch das Quadrieren verändert. Aber es verändert sich nicht der Wert des Extremums, d.h. die Nullstelle der Ableitung.
Denn die Wurzelfunktion (und auch die Quadratfunktion für positive Zahlen) ist streng monoton steigend. Das heißt, dass große x-Werte auch große Wurzelwerte ergeben.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Informacao |
Okay, verstehe :) Danke !
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> Hallo Informacao!
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> Du hast das Problem, aber auch zugleich den Kniff dieser
> Aufgaben genau erkannt.
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> Selbstverständlich wird die Ableitung durch das Quadrieren
> verändert. Aber es verändert sich nicht der Wert des
> Extremums, d.h. die Nullstelle der Ableitung.
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> Denn die Wurzelfunktion (und auch die Quadratfunktion für
> positive Zahlen) ist streng monoton steigend. Das heißt,
> dass große x-Werte auch große Wurzelwerte ergeben.
>
>
> Gruß
> Loddar
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Sorry, hab mir das nochmal ein paar mal durchgelesen und anscheindend doch nicht ganz verstanden, was du meintest. Kannst du es vielleicht nochmal in andere Worte fassen?
Würde mich freuen..
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es ist, wie du schon sagtest, so, dass die Funktion unterhalb der Wurzel die selben Extremstellen hat wie die Wurzelfunktion.
Dem ist so, weil die Wurzelfunktion streng monoton ist.
Stell dir mal eine Funktion vor, die ne Extremstelle hat.
Dann stellst du dir das ganze mit der Wurzel drüber vor. Was macht die Wurzel? Ja, sie verändert vom Prinzip her jeden Funktionswert der Funktion ein wenig, aber das Krümmungsverhalten und die Extrempunkte bleiben einfach erhalten: Wenn deine Funtion wächst, also streng monoton steigt, dann steigt deine Funktion mit einer Wurzel drüber auch, weil die Wurzel für größere Werte auch größer wird.
Werden deine Funktionswerte kleiner, so werden die Funktionswerte mit einer Wurzel drüber ebenfalls kleiner. So siehst du schon, dass die Extremstellen die selben sein müssen.
LG
Kroni
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