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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Mo 27.04.2009 | | Autor: | pheips |
| Aufgabe | Konstruieren Sie die Kreisteilungspolynome
[mm]\varphi_{n} \in \mathbb Z_{2}[x][/mm]
für [mm]n[/mm] Teiler von 15. |
So:
Meinem Algebrabuch hab ich entnommen, dass sich [mm]\varphi_{n}[/mm]
rekursiv berechnen lässt durch:
[mm]\varphi_{n} = \frac{x^n-1}{\prod_{d|n,d
und [mm]\varphi_{1} = x-1[/mm]
Ich würde daher folgende Ergebnisse erhalten:
[mm]\varphi_{1} = x-1[/mm]
[mm]\varphi_{3} = \frac{x^3-1}{x-1} = x^2+x+1[/mm]
[mm]\varphi_{5} = \frac{x^5-1}{x-1} = x^4+x^3+x^2+x+1[/mm]
[mm]\varphi_{15} = ... = x^8 + x^7 + x^5 + x^4+x^3+x+1[/mm]
Meine Frage ist nun folgende: Ich wende die "Formel" zwar an, aber mir ist jetzt nicht ganz klar inwiefern das [mm]\varphi_{n} \in \mathbb Z_{2}[x][/mm] eine Rolle spielt.
[mm]\varphi_{1}[/mm] ist doch keine Element von [mm]\mathbb Z_{2}[x][/mm]. -1 ist ja nicht in [mm]\mathbb Z_{2}[/mm], oder denk ich da falsch?
Heißt dies, dass nur [mm]\varphi_{3},\varphi_{5},\varphi_{15}[/mm] Lösungen zur Aufgabenstellung sind, oder ist das eventuell anders gemeint?
Außerdem hätte ich noch eine allgemeinere Frage:
Man spricht allgemein doch von Kreisteilungspolynomen über einem Körper. Hier ist jedoch der Körper nicht explizit gegeben. Dennoch soll ich bei Polynomen über [mm]\mathbb Z_{2}[/mm] "landen". Steckt da implizit die Annahme, dass der Körper [mm]\mathbb Q[/mm] ist? Wenn der Kröper in einem anderen Fall nicht [mm]\mathbb Q[/mm] wäre, gilt dann diese rekursive Formel dennoch und ist dann mit '1', das entsprechende Einselement gemeint? Das geht aus meinem Buch leider nicht ganz deutlich hervor.
Vielen Dank im voraus!
lG
Philipp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Do 30.04.2009 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Konstruieren Sie die Kreisteilungspolynome
> [mm]\varphi_{n} \in \mathbb Z_{2}[x][/mm]
> für [mm]n[/mm] Teiler von 15.
> So:
> Meinem Algebrabuch hab ich entnommen, dass sich
> [mm]\varphi_{n}[/mm]
> rekursiv berechnen lässt durch:
> [mm]\varphi_{n} = \frac{x^n-1}{\prod_{d|n,d
>
> und [mm]\varphi_{1} = x-1[/mm]
>
> Ich würde daher folgende Ergebnisse erhalten:
> [mm]\varphi_{1} = x-1[/mm]
> [mm]\varphi_{3} = \frac{x^3-1}{x-1} = x^2+x+1[/mm]
>
> [mm]\varphi_{5} = \frac{x^5-1}{x-1} = x^4+x^3+x^2+x+1[/mm]
>
> [mm]\varphi_{15} = ... = x^8 + x^7 + x^5 + x^4+x^3+x+1[/mm]
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> Meine Frage ist nun folgende: Ich wende die "Formel" zwar
> an, aber mir ist jetzt nicht ganz klar inwiefern das
> [mm]\varphi_{n} \in \mathbb Z_{2}[x][/mm] eine Rolle spielt.
> [mm]\varphi_{1}[/mm] ist doch keine Element von [mm]\mathbb Z_{2}[x][/mm].
> -1 ist ja nicht in [mm]\mathbb Z_{2}[/mm], oder denk ich da falsch?
> Heißt dies, dass nur [mm]\varphi_{3},\varphi_{5},\varphi_{15}[/mm]
> Lösungen zur Aufgabenstellung sind, oder ist das eventuell
> anders gemeint?
Ich denke das soll hier gemeint sein ja. [mm] $\phi_1$ [/mm] ist ja auch in [mm] $\IZ_2\left[x\right]$, [/mm] denn
$x-1 = x+1$ in diesem Ring. Allerdings muss man hier echt aufpassen. Die ersten
Kreisteilungspolynome suggerierem einem, dass man nur die Koeffizienten $-1,0 und 1$
hat. Beim 105. Kreisteilungspolynom taucht aber schon eine 2 auf. Die nächsten sind n =165,195,210
(siehe Bosch, Algebra S.190)
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> Außerdem hätte ich noch eine allgemeinere Frage:
> Man spricht allgemein doch von Kreisteilungspolynomen über
> einem Körper. Hier ist jedoch der Körper nicht explizit
> gegeben. Dennoch soll ich bei Polynomen über [mm]\mathbb Z_{2}[/mm]
> "landen". Steckt da implizit die Annahme, dass der Körper
> [mm]\mathbb Q[/mm] ist? Wenn der Kröper in einem anderen Fall nicht
> [mm]\mathbb Q[/mm] wäre, gilt dann diese rekursive Formel dennoch
> und ist dann mit '1', das entsprechende Einselement
> gemeint? Das geht aus meinem Buch leider nicht ganz
> deutlich hervor.
Man kann Kreisteilungspolynome auch über anderen Körpern betrachten. Für Q ist das halt sehr anschaulich.
Die Rekursionsformel gilt aber auch allgemein über einem Körper K.
Im Allgemeinen meint man immer nur Körper mit einem ausgezeichneten Element 1, das man "kanonisch" findet.
Gruß Micha
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> Vielen Dank im voraus!
>
> lG
> Philipp
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