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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Sa 20.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Kreuzprodukt auf [mm] R^3
[/mm]
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist so definier: [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3} \times \vektor{y_1 \\ y_2\\ y_3}=\vektor{x_2*y_3 -x_3*y_2\\ x_3*y_1-x_1*y_3\\ x_1*y_2-x_2*y_1}
[/mm]
(a) Seien a und b Vektoren und [mm] \lambda [/mm] eine reele Zahl. Vergleichen sie a [mm] \times [/mm] b, ( [mm] \lambda [/mm] *a) [mm] \times [/mm] b, a [mm] \times [/mm] ( [mm] \lambda*b) [/mm] und ( [mm] \lambda*a) \times [/mm] ( [mm] \lambda*b)
[/mm]
(b) Ist die Verknüpfung kommutativ? Wenn nicht vergleichen sie a [mm] \times [/mm] b und b [mm] \times [/mm] a
(c) Ist die Verknüpfung assoziativ? Wenn nicht vergleichen sie (a [mm] \times [/mm] b) [mm] \times [/mm] c und a [mm] \times [/mm] (b [mm] \times [/mm] c)
(d) Ist die Verknüpfung [mm] \times [/mm] rechtsdistributiv? Wenn nicht vergleichen sie...
(e) Ist die Verknüpfung [mm] \times [/mm] linksdistributiv?
(f) Jacobi Identität: berechnen sie a [mm] \times [/mm] (b [mm] \times [/mm] c)+ b [mm] \times [/mm] (c [mm] \times [/mm] a)+c [mm] \times [/mm] (a [mm] \times [/mm] b) |
Hallo,
kann mal jemand schauen, ob mein Beweis so in Ordnung ist?
zu a)
a [mm] \times [/mm] b ist ja klar. [mm] (a*\lambda) \times [/mm] b ist das [mm] \lambda [/mm] -fache von a [mm] \times [/mm] b denn ich kann ja [mm] \lambda [/mm] ausklammern
Für a [mm] \times(\lambda [/mm] *b) wie für [mm] (a*\lambda) \times [/mm] b und ( [mm] \lambda*a) \times [/mm] ( [mm] \lambda*b) [/mm] ist das [mm] (\lambda)^2 [/mm] fache von a [mm] \times [/mm] b
(auf dem Blatt schreib ich das ausführlicher)
zu b) Die Verknüpfung ist nicht kommutativ, denn bei vertauschen der Vektoren ändert sich das Vorzeichen:
a [mm] \times [/mm] b= -b [mm] \times [/mm] a
Vergleich a [mm] \times [/mm] b und b [mm] \times [/mm] a
a [mm] \times [/mm] b= [mm] \vektor{a_2*b_3 -a_3*b_2\\ a_3*b_1-a_1*b_3\\ a_1*b_2-a_2*b_1}
[/mm]
b [mm] \times [/mm] a= [mm] \vektor{b_2*a_3 -b_3*a_2\\ b_3*a_1-b_1*a_3\\ b_1*a_2-b_2*a_1}
[/mm]
Anhand eines Beispiels:
[mm] a=\vektor{2\\ 3\\ 4} b=\vektor{1\\ 2\\ 3} [/mm]
a [mm] \times b=\vektor{1\\ -2\\ 1} [/mm] und b [mm] \times a=\vektor{-1\\ 2\\ -1} [/mm]
Da wir ein Gegenbeispiel haben, ist die Verknüpfung nicht kommutativ.
Kann ich das so stehen lassen? Was mich verwirrt ist dieses Vergleich, ich weiß nicht ob ich mein Vergleich noch ausarbeiten muss?
c) analog zu b)
d) Die Verknüpfung ist rechtsdistributiv
Beweis:
a [mm] \times [/mm] (b+c) = [mm] \vektor{a_2(b_3+c_3)-a_3(b_2+c_2)\\ a_3(b_1+c_1)-a_1(b_3+c_3)\\ a_1(b_2+c_2)-a_2(b_1+c_1)}
[/mm]
a [mm] \times [/mm] b +a [mm] \times [/mm] c= [mm] \vektor{a_2*b_3 -a_3*b_2\\ a_3*b_1-a_1*b_3\\ a_1*b_2-a_2*b_1}+\vektor{a_2*c_3 -a_3*c_2\\ a_3*c_1-a_1*c_3\\ a_1*c_2-a_2*c_1}
[/mm]
wenn man das zusammenfast und ausklammert kommt das selbe raus wie a [mm] \times [/mm] (b+c) .
e) analog zu d
f) Hier weiß ich nicht, was ich genau machen soll. Soll ich das so beweisen wie d) also mit [mm] a_1 a_2 a_3 [/mm] usw. oder soll ich mir Vektoren ausdenken?
Danke im voraus
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
> zu a)
>
> a [mm]\times[/mm] b ist ja klar. [mm](a*\lambda) \times[/mm] b ist das
> [mm]\lambda[/mm] -fache von a [mm]\times[/mm] b denn ich kann ja [mm]\lambda[/mm]
> ausklammern
>
> Für a [mm]\times(\lambda[/mm] *b) wie für [mm](a*\lambda) \times[/mm] b
> und ( [mm]\lambda*a) \times[/mm] ( [mm]\lambda*b)[/mm] ist das [mm](\lambda)^2[/mm]
> fache von a [mm]\times[/mm] b
>
> (auf dem Blatt schreib ich das ausführlicher)
>
Korrekt.
>
> zu b) Die Verknüpfung ist nicht kommutativ, denn bei
> vertauschen der Vektoren ändert sich das Vorzeichen:
>
> a [mm]\times[/mm] b= -b [mm]\times[/mm] a
>
> Vergleich a [mm]\times[/mm] b und b [mm]\times[/mm] a
>
> a [mm]\times[/mm] b= [mm]\vektor{a_2*b_3 -a_3*b_2\\ a_3*b_1-a_1*b_3\\ a_1*b_2-a_2*b_1}[/mm]
>
>
> b [mm]\times[/mm] a= [mm]\vektor{b_2*a_3 -b_3*a_2\\ b_3*a_1-b_1*a_3\\ b_1*a_2-b_2*a_1}[/mm]
>
> Anhand eines Beispiels:
>
> [mm]a=\vektor{2\\ 3\\ 4} b=\vektor{1\\ 2\\ 3}[/mm]
>
> a [mm]\times b=\vektor{1\\ -2\\ 1}[/mm] und b [mm]\times a=\vektor{-1\\ 2\\ -1}[/mm]
>
> Da wir ein Gegenbeispiel haben, ist die Verknüpfung nicht
> kommutativ.
>
Du hast recht, dass Kreuzprodukt ist nicht kommutativ. Dir ist aber bestimmt aufgefallen, dass (a x b) = - (b x a) ist. Das Kreuzprodukt ist antikommutativ.
> Kann ich das so stehen lassen? Was mich verwirrt ist dieses
> Vergleich, ich weiß nicht ob ich mein Vergleich noch
> ausarbeiten muss?
>
> c) analog zu b)
>
Richtig, das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ.
> d) Die Verknüpfung ist rechtsdistributiv
>
> Beweis:
>
> a [mm]\times[/mm] (b+c) = [mm]\vektor{a_2(b_3+c_3)-a_3(b_2+c_2)\\ a_3(b_1+c_1)-a_1(b_3+c_3)\\ a_1(b_2+c_2)-a_2(b_1+c_1)}[/mm]
>
> a [mm]\times[/mm] b +a [mm]\times[/mm] c= [mm]\vektor{a_2*b_3 -a_3*b_2\\ a_3*b_1-a_1*b_3\\ a_1*b_2-a_2*b_1}+\vektor{a_2*c_3 -a_3*c_2\\ a_3*c_1-a_1*c_3\\ a_1*c_2-a_2*c_1}[/mm]
>
> wenn man das zusammenfast und ausklammert kommt das selbe
> raus wie a [mm]\times[/mm] (b+c) .
>
> e) analog zu d
>
Stimmt auch.
> f) Hier weiß ich nicht, was ich genau machen soll. Soll
> ich das so beweisen wie d) also mit [mm]a_1 a_2 a_3[/mm] usw.
> oder soll ich mir Vektoren ausdenken?
>
Rechne allgemein aus, also mit [mm] a_{1}, a_{2} [/mm] etc.
Wenn du dich nicht verrechnest, dann kommt da etwas ganz bestimmtes bei raus.
>
> Danke im voraus
>
> Lg Melisa
>
>
Gruß Sierra
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Sa 20.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
Sierra danke erstmal für deine schnelle Antwort.
Bei der Aufgabe f) habe ich den 0 Vektor raus.
Ich will die lange Rechnung jetzt nicht hier abtippen, aber kann mir jemand sagen, ob die Jacobi-Identität 0 ergibt?
Danke im voraus
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Sa 20.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Melisa!
> Sierra danke erstmal für deine schnelle Antwort.
> Bei der Aufgabe f) habe ich den 0 Vektor raus.
> Ich will die lange Rechnung jetzt nicht hier abtippen, aber
> kann mir jemand sagen, ob die Jacobi-Identität 0 ergibt?
Das ist richtig.
Genauer gesagt bedeutet der Begriff "Jacobi-Identität", dass 0 herauskommt. Du hast also nachgerechnet, dass das Kreuzprodukt die Jacobi-Identität erfüllt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Sa 20.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
danke für die Hilfe! 
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