Kriterium Raabe, Bsp < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 So 07.12.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Das Kriterium von Raabe soll ja auch noch dann eine Entscheidung bezüglich der Konvergenz bringen, wenn die Quotienten [mm] \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|} [/mm] gegen 1 konvergieren, nämlich dann, wenn diese Konvergenz nicht allzu schnell erfolgt, eben so, dass die Quotienten durch einer Größe der Bauart 1 - [mm] \beta/k [/mm] nach oben beschränkt sind (mit einem [mm] \beta [/mm] >1)
Habt ihr vlt. einen Bsp für den Fall? |
Das Kriterium von Raabe schon oft gehört, aber es kam noch in keinen Bsp zum Einsatz.
LG, sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 So 07.12.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo sissile,
schau mal unter ![[]](/images/popup.gif) Anwendbarkeit (Wikipedia):
Diese Kriterien sind schwerer anzuwenden als das Wurzelkriterium bzw. Quotientenkriterium, liefern jedoch in dort ungewissen Fällen oft noch Konvergenzaussagen. Sie werden z. B. angewandt, um bei Potenzreihen das Verhalten auf dem Rand des Konvergenzbereichs zu bestimmen.
Ein Beipiel dieser Art wäre die Binomialreihe
$ [mm] (1+x)^\rho=\sum_{i=0}^\infty\vektor{\rho\\i}x^i$
[/mm]
Das Quotientenkriterium versagt für [mm] x=\pm1 [/mm] (Rand des Konvergenzintervalls). Hier kann man aber Raabe anwenden.
MfG
Ladon
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:49 So 07.12.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo Ladon,
Danke für das Bsp!
[mm] |\frac{a_{i+1}}{a_i}|= |\frac{\vektor{p\\ i+1} x^{i+1}}{\vektor{p\\ i} x^i}| [/mm] = ..=|x|
|x| < 1 absolut konv
|x| > 1 div
x= [mm] \pm [/mm] 1 ?
x=1 -> [mm] \sum_{i=0}^\infty \vektor{p \\ i}
[/mm]
Für hinreichend große i, p>0:
[mm] |\frac{a_{i+1}}{a_i}|= |\frac{p-i}{i+1}|=\frac{i-p}{i+1}= \frac{i+1-p-1}{i+1}= [/mm] 1- [mm] \frac{p+1}{i+1} \le [/mm] 1 - [mm] \frac{p+2}{2i}= [/mm] 1 - [mm] \frac{\frac{1}{2}(p+2)}{i} [/mm] = 1 - [mm] \frac{\beta}{i} [/mm]
Erste Ungleichung gilt weil [mm] \frac{p+1}{i+1} \ge \frac{p+2}{2i} \gdw [/mm] i p [mm] \ge [/mm] p+2 und so kann ich ja i wählen.
[mm] \beta [/mm] := [mm] \frac{1}{2}(p+2) [/mm] > 1. Daher folgt aus den Raabe-Kriterium die absolute Konvergenz.
Ebenso bei x=-1
Passt das so?
Im Fall p<0 bin ich nicht weitergekommen. Hast du da einen Rat?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 09.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Mo 08.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Betrachte die 3 Reihen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n},
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}
[/mm]
und
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1*3*5*...*(2n-1)}{2*4*6*...*(2n)}.
[/mm]
Überzeuge Dich von
1. das Quotientenkriterium liefert bei keiner der obigen Reihen eine Entscheidung.
2. mit Raabe: die erste Reihe divergiert, die zweite konvergiert und die dritte divergiert.
FRED
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:58 Mo 08.12.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo Fred ;)
Allgemein:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s}, [/mm] $
n>1
[mm] |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = | [mm] \frac{\frac{1}{(n+1)^s}}{\frac{1}{(n)^s}}| [/mm] = [mm] (\frac{n}{n+1})^s= [/mm] (1- [mm] \frac{1}{n+1})^s
[/mm]
Für s=1: [mm] \frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = 1 - [mm] \frac{1}{n+1} \ge [/mm] 1- [mm] \frac{1}{n} [/mm] Daraus folgt Div.
Für s=2: [mm] \frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] =(1- [mm] \frac{1}{n+1})^2 [/mm] = 1 - [mm] \frac{2}{n+1} [/mm] + [mm] \frac{1}{(n+1)^2} [/mm] = [mm] 1-\frac{\frac{2(n+1)-1}{n+1}}{n+1} [/mm] = [mm] 1-\frac{2-\frac{1}{n+1}}{n+1}
[/mm]
Hier hab ich nun eine Frage, im Heuser steht die [mm] Bedingung|\frac{a_{n+1}}{a_n}| \le [/mm] 1 - [mm] \beta/n. [/mm] In anderen Bücher steh die Bedingung:$ [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le [/mm] $ 1 - $ [mm] \bruch{\beta}{n+1} [/mm] $ .
Stimmen beide, weil die eine ist ja stärker als die andere?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 10.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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