Kriterium für Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finden Sie für die folgenden Funktionen f: D [mm] \to \IR [/mm] für ein beliebiges [mm] x_{0} \in [/mm] D und ein beliebiges e>0 ein [mm] \delta>0, [/mm] so dass gilt [mm] |x-x_{0}|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_{0})|
(a) f: [mm] \IR\Rightarrow\IR, [/mm] f(x)=ax+b mit a,b [mm] \in \IR
[/mm]
(b) f: [mm] \IR\Rightarrow\IR, f(x)=x^3
[/mm]
(c) f: (0, [mm] \infty)\Rightarrow(0, \infty), [/mm] f(x)=1/x
(d) Kann oben [mm] \delta [/mm] unabhängig von [mm] x_{o} [/mm] gewählt werden? |
Wie kann ich bei dieser Aufgabe anfangen, mein Problem ist die Reihenfolge. Normalerweise wird erst e gewählt und hierraus ergibt sich dann [mm] \delta [/mm]
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Gruß Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Fr 11.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eigentlich hast du recht, man gibt [mm] \epsilon [/mm] vor und bestimmt daraus [mm] \delta.
[/mm]
In Wirklichkeit fngt man mit irgendeinem [mm] \delta [/mm] an, kammt dann z. Bsp auf [mm] |f(x)-f(x_0)|<6\delta [/mm] und sagt dann mit [mm] \delta<\epsilon/6 [/mm] ist
[mm] |f(x)-f(x_0)|<6\delta <\epsilon
[/mm]
entsprechend, wenn [mm] |f(x)-f(x_0)|<3*\delta^2 [/mm] dann setzt man halt nachträglich [mm] \delta=+\wurzel{\epsilon/3} [/mm] usw.
d.h. das normale vorgehen ist aus [mm] |x-x_0|< [/mm] delta versucht man irgendwie [mm] |f(x)-f(x_0)|
Noch ein Hinweis. bei a) findest du für alle [mm] x_0 [/mm] das gleiche [mm] \delta, [/mm] bei b und c hängt [mm] \delta [/mm] noch von [mm] x_0 [/mm] ab.
Jetzt versuch mal damit zu arbeiten.
wenn du nicht weiter kommst komm wieder her.
Gruss leduart
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Hm, da bin ich mir noch nicht sicher, ob ich es verstanden habe. Ich habe mich an der a versucht:
(a) Nach definition der Stegigkeit existiert ein $ [mm] \delta>|x-x_0| [/mm] $, meine Funktion lautet $ f(x)=ax+b $, dies auf die Defionition bezogen bekomme ich $ [mm] |(ax+b)-(ax_0+b)| [/mm] $ damit nun meine Definition der Stetigkeit stimmt, muss ich schreiben $ [mm] \bruch{\delta}{a}-b>|x-x_0| [/mm] $
Hieraus erhalte ich dann:
$ [mm] |f(x)-f(x_0)|<\bruch{\delta}{a}-b\delta [/mm] $ erfüllt sein.
Stimmt mein Beweis?
Gruß und Vielen Dank!
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Hallo Julia,
da hast Du einen Rechen-, keinen Denkfehler.
> Hm, da bin ich mir noch nicht sicher, ob ich es verstanden
> habe. Ich habe mich an der a versucht:
>
> (a) Nach definition der Stegigkeit existiert ein
> [mm]\delta>|x-x_0| [/mm], meine Funktion lautet [mm]f(x)=ax+b [/mm], dies auf
> die Defionition bezogen bekomme ich [mm]|(ax+b)-(ax_0+b)|[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> damit
> nun meine Definition der Stetigkeit stimmt, muss ich
> schreiben [mm]\bruch{\delta}{a}-b>|x-x_0|[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hast Du Dich vertan. $ b $ taucht gar nicht mehr auf.
> Hieraus erhalte ich dann:
> [mm]|f(x)-f(x_0)|<\bruch{\delta}{a}-b
> [mm]\bruch{\delta}{a}-b\delta[/mm]
> erfüllt sein.
Abgesehen davon, dass der Fehler weiter oben liegt, wäre aber auch diese Umformung falsch gewesen!
> Stimmt mein Beweis?
> Gruß und Vielen Dank!
Grüße
reverend
PS: [mm] \varepsilon [/mm] schreibt man hier \varepsilon
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> > (a) Nach definition der Stegigkeit existiert ein
> > [mm]\delta>|x-x_0| [/mm], meine Funktion lautet [mm]f(x)=ax+b [/mm], dies auf
> > die Defionition bezogen bekomme ich [mm]|(ax+b)-(ax_0+b)|[/mm]
>
> > damit
> > nun meine Definition der Stetigkeit stimmt, muss ich
> > schreiben [mm]\bruch{\delta}{a}-b>|x-x_0|[/mm]
>
> Da hast Du Dich vertan. [mm]b[/mm] taucht gar nicht mehr auf.
[mm]b[/mm] hebt sich im Betrag [mm]|(ax+b)-(ax_0+b)| = | (ax-ax_0)+(b-b)|[/mm] selbst auf und verschwindet deshalb, wäre [mm]b[/mm] nun aber von $ x $ und $ [mm] x_0 [/mm] $ abhängig würde es nicht verschwinden, stimmt das?
Ich erhalte also:
[mm]|f(x)-f(x_0)|<\bruch{\delta}{a}<\varepsilon[/mm] damit und der Umformungsfehler ist peinlich...das Ordnungszeichen hat mich dazu verleitet, aus:
[mm]\bruch{\delta}{a}<\varepsilon[/mm] folgt [mm]\delta
Vielen Dank
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Hallo Julia_stud,
> > > (a) Nach definition der Stegigkeit existiert ein
> > > [mm]\delta>|x-x_0| [/mm], meine Funktion lautet [mm]f(x)=ax+b [/mm], dies auf
> > > die Defionition bezogen bekomme ich [mm]|(ax+b)-(ax_0+b)|[/mm]
> >
> > > damit
> > > nun meine Definition der Stetigkeit stimmt, muss ich
> > > schreiben [mm]\bruch{\delta}{a}-b>|x-x_0|[/mm]
> >
> > Da hast Du Dich vertan. [mm]b[/mm] taucht gar nicht mehr auf.
>
> [mm]b[/mm] hebt sich im Betrag [mm]|(ax+b)-(ax_0+b)| = | (ax-ax_0)+(b-b)|[/mm]
> selbst auf und verschwindet deshalb, wäre [mm]b[/mm] nun aber von [mm]x[/mm]
> und [mm]x_0[/mm] abhängig würde es nicht verschwinden, stimmt das?
Was meinst du damit?
>
> Ich erhalte also:
> [mm]|f(x)-f(x_0)|<\bruch{\delta}{\red{a}}<\varepsilon[/mm]
Das muss doch [mm] $\red{|a|}$ [/mm] lauten:
Mal genauer:
Auf einem Schmierzettel, den du niemals abgibst, schätzt du in einer Nebenrchnung [mm] $|f(x)-f(x_0)|$ [/mm] ab.
Das geht hier so: [mm] $|f(x)-f(x_0)|=|ax+b-(ax_0+b)|=|a(x-x_0)|=|a|\cdot{}|x-x_0|$
[/mm]
Das soll nun [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein (für bel. [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] also [mm] $|a|\cdot{}|x-x_0|\overset{!}{<}\varepsilon$, [/mm] damit also [mm] $|x-x_0|<\frac{\varepsilon}{|a|}$
[/mm]
Damit können wir [mm] $\delta:=\frac{\varepsilon}{|a|}$ [/mm] wählen:
Was du nun auf dem Lösungsblatt aufschreibst, geht genau umgekehrt:
Beginne mit:
Sei [mm] $x_0\in\IR$ [/mm] und [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig, wähle [mm] $\delta:=\frac{\varepsilon}{|a|}$, [/mm] dann gilt für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0|<\delta$: [/mm]
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=\ldots=|a|\cdot{}|x-x_0|<|a|\cdot{}\delta=|a|\cdot{}\frac{\varepsilon}{|a|}=\varepsilon$
[/mm]
Fertig, das ist genau das, was zu zeigen ist.
Bem.: Dies gilt alles nur für [mm] $a\neq [/mm] 0$
Für $a=0$ hast du die konstante Funktion $f(x)=b$
Wie kannst du in dem Falle das [mm] $\delta$ [/mm] wählen?
> damit und der
> Umformungsfehler ist peinlich...das Ordnungszeichen hat
> mich dazu verleitet, aus:
> [mm]\bruch{\delta}{a}<\varepsilon[/mm] folgt [mm]\delta
>
> Vielen Dank
Gruß
schachuzipus
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Leider bekomme ich es immer noch nicht richtig auf die Reihe, denn
(b) $ f: [mm] \IR \to \IR, f(x)=x^3 [/mm] $
$ [mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm] $
$ [mm] |x^3 [/mm] - [mm] (x_0)^3)|<\varepsilon [/mm] $
$ |x - [mm] x_0)|<\wurzel[3]{\varepsilon} [/mm] $
$ |x - [mm] x_0)|<\wurzel[3]{\varepsilon}:= \delta [/mm] $
Ist meine Rechnung richtig? ...und wieso wäre in diesem Fall $ [mm] \delta [/mm] $ von $ [mm] x_0 [/mm] $ abhängig?
Gruß Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Di 15.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Leider bekomme ich es immer noch nicht richtig auf die
> Reihe, denn
>
> (b) [mm]f: \IR \to \IR, f(x)=x^3[/mm]
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
> [mm]|x^3 - (x_0)^3)|<\varepsilon[/mm]
> [mm]|x - x_0)|<\wurzel[3]{\varepsilon}[/mm]
Wenn ich Dich richtig verstehe, so hast Du gerechnet:
[mm] \wurzel[3]{|x^3-x_0^3|}= |\wurzel[3]{x^3}-\wurzel[3]{x_0^3}|= |x-x_0| [/mm] ????
Das kann doch wohl nicht Dei Ernst sein ?
Nimm mal x=2 und [mm] x_0=1, [/mm] dann siehst Du dass das kompletter Unfug ist.
>
> [mm]|x - x_0)|<\wurzel[3]{\varepsilon}:= \delta[/mm]
>
> Ist meine Rechnung richtig? ...
Nein
Benutze [mm] $x^3-x_0^3=(x-x_0)(x^2+x*x_0+x_0^2)
[/mm]
Vielleicht hilft Dir das
FRED
> und wieso wäre in diesem
> Fall [mm]\delta[/mm] von [mm]x_0[/mm] abhängig?
>
> Gruß Julia
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Der Tipp:
> Benutze [mm]$x^3-x_0^3=(x-x_0)(x^2+x*x_0+x_0^2)[/mm]
>
> Vielleicht hilft Dir das
>
hilft mir leider nicht weiter...
Erst mal zum Verständnis, wenn ich die Ungleichung in die Form:
[mm] |x^3-x_0^3 | < \varepsilon = |x-x_0| |???| < \varepsilon = |x-x_0| < |???| \varepsilon [/mm]
bekomme, habe ich mein Ziel erreicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Di 15.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x^3-x_0^3=(x-x_0)*(x^2+x_0*x+x_0^2 [/mm] bekommt man durch Division
[mm] (x^3-x_0^3):(x-x0)
[/mm]
dann hast du doch erstmal das mit Absolutzeichen:
[mm] |x^3-x_0^3|=|(x-x_0)|*|(x^2+x_0*x+x_0^2)| [/mm]
jetzt musst du noch [mm] |(x^2+x_0*x+x_0^2)| [/mm] abschätzen.
wenn x von [mm] x_0 [/mm] weniger als einen vorläufigen Wert für [mm] \delta<0.1x_0 [/mm] abweicht hätten wir
[mm] |(x^2+x_0*x+x_0^2)|<1.1^2x_0^2+1,1x_0^2+x_0^2=3,31x_0^2<4x_0^2
[/mm]
und damit für [mm] \delta_1<0.1|x_0|
[/mm]
[mm] |x^3-x_0^2|<\delta*4x_0^2<\epsilon [/mm] für [mm] \delta*4x_0^2<\epsilon
[/mm]
und damit [mm] \delta<\epsilon/(4x_0^2) [/mm] für [mm] x_0\ne0
[/mm]
und endgültig [mm] \delta=min(\epsilon/(4x_0^2),0.1|x_0|
[/mm]
statt das vorläufige [mm] \delta =0.1x_0 [/mm] zu nehmen kannst du auch [mm] \delta=0.1 [/mm] oder [mm] \delta=1 [/mm] wählen und damit [mm] |(x^2+x_0*x+x_0^2)| [/mm] abschätzen, dann musst du [mm] x_0=0 [/mm] nicht extra behandeln.
(du solltest sehen, dass [mm] \delta [/mm] von der Stelle [mm] x_0 [/mm] abhängt. bei grossen [mm] x_0 [/mm] ist die fkt ja sehr steil, d.h. wenn sich x nur wenig ändert, ändert sich [mm] x^3 [/mm] stark, d.h. man weiss schon von anfang an, dass [mm] \delta [/mm] von [mm] x_0 [/mm] abhängen muss)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Di 15.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe die selbe Aufgabe und bin ein wenig anders an die Aufgabe rangegangen.
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|x^3-(x_{0})^3|=|(x-x_{0})^3+3x_{0}x(x-x_{0})|=
[/mm]
[mm] |x-x_{0}||(x-x_{0})^2+3x_{0}x|=|x-x_{0}||(x-x_{0})^2+3x_{0}(x-x_{0}+x_{0})|=
[/mm]
[mm] |x-x_{0}||(x-x_{0})^2+3x_{0}(x-x_{0})+3x_{0}^2|<\delta(\delta^2+3x_{0}\delta+3x_{0}^2)=\delta^3+3x_{0}\delta^2+3x_{0}\delta
[/mm]
stimmt das soweit?
Vielen dank im voraus
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Di 15.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bis auf einen Tip oder Leichtsinnsfehler bei
[mm] $=\delta^3+3x_{0}\delta^2+3x_{0}\delta [/mm] $
richtig
[mm] $=\delta^3+3x_{0}\delta^2+3x_{0}^2\delta [/mm] $
aber jetzt hast du ne Gl. dritten grades zw. [mm] \epsilon [/mm] und delta, musst also doch wieder einen vorläufigen Wert für /delta nehmen zum Abschätzen.
Aber natürlich geht es so auch!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Di 15.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo
> bis auf einen Tip oder Leichtsinnsfehler bei
> [mm]=\delta^3+3x_{0}\delta^2+3x_{0}\delta[/mm]
> richtig
>
> [mm]=\delta^3+3x_{0}\delta^2+3x_{0}^2\delta[/mm]
Was, wenn [mm] x_0<0 [/mm] und [mm] (x-x_0)<0 [/mm] ?
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Di 15.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
ab hier fängt leider auch mein Problem an...das ganze muss doch jetzt < [mm] \epsilon [/mm] sein oder? Wie zeige ich das jetzt???
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Di 15.06.2010 | | Autor: | gfm |
> ab hier fängt leider auch mein Problem an...das ganze muss
> doch jetzt < [mm]\epsilon[/mm] sein oder? Wie zeige ich das
> jetzt???
Dann bist Du doch schon fast fertig. Du hast die Ungleichung
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|f(x_0+h)-f(x_0)|
Schon an dieser Stelle sieht man, dass wenn [mm] H(x_0,h) [/mm] für [mm] h\to [/mm] 0 beschränkt bleibt, [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] gegen null geht, und darauf kommt es an.
Nun ist nur noch zu klären, was gelten muss, damit [mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon [/mm] für ein beliebig (kleines) positives [mm] \epsilon [/mm] gilt. Das gilt, wenn [mm] H(x_0,h)|h|<\epsilon [/mm] gilt. Und wenn [mm] H(x_0,h) [/mm] eine obere Schranke [mm] H_{max}(x_0)>0 [/mm] bezüglich [mm] h\in(-a,a) [/mm] mit einem geeigneten a>0 besitzt (wobei a auch [mm] \infty [/mm] sein kann), ist das der Fall, wenn [mm] |h|<\delta:=Min(\epsilon/H_{max}(x_0),a) [/mm] gilt:
Sei also [mm] \epsilon>0 [/mm] vorgelegt und [mm] \delta:=Min(\epsilon/H_{max}(x_0),a)
[/mm]
Wenn nun [mm] |x-x_0|=|h|<\delta [/mm] ist, dann gilt entweder
i) [mm] |x-x_0|=|h|<\epsilon/H_{max}(x_0)
[/mm]
oder
ii) [mm] |x-x_0|=|h|
Aus i) folgt
[mm] |f(x)-f(x_0)|<|x-x_0|H_{max}(x_0)=|h|H_{max}(x_0)<\epsilon
[/mm]
Aus ii) folgt
[mm] \epsilon\ge [/mm] a [mm] H_{max}(x_0)>|h| H_{max}(x_0)=|x-x_0|H_{max}(x_0)>|f(x)-f(x_0)|
[/mm]
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Di 15.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
auch wenn das andere was ich gemacht habe richtig ist (was ich nicht weiß) würde es mich freuen, wenn mir jemand trotzdem erklären könnte, wie man in diesem Fall weiter machen muss.
Danke im voraus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Di 15.06.2010 | | Autor: | gfm |
> [mm]|x-x_{0}||(x-x_{0})^2+3x_{0}(x-x_{0})+3x_{0}^2|<\delta(\delta^2+3x_{0}\delta+3x_{0}^2)=\delta^3+3x_{0}\delta^2+3x_{0}\delta[/mm]
> stimmt das soweit?
Achte auf die notwendigen Betragsstriche:
[mm]|x-x_{0}||(x-x_{0})^2+3x_{0}(x-x_{0})+3x_{0}^2|<\delta(\delta^2+3|x_{0}|\delta+3x_{0}^2)[/mm]
Daraus kannst Du ein Standardverfahren (was oft klappt) machen:
Betrachte [mm] |f(x_0+h)-f(x_0)| [/mm] mit [mm] |h|<\delta [/mm] und schätze nach oben ab bis Du bei [mm] H(x_0,h)\delta [/mm] ankommst mit einem [mm] H(x_0,h)>0, [/mm] was man dann in Abhängigkeit vom Verhalten in h, weiter nach oben abschätzt.
LG
gfm
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Di 15.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
>
> Benutze [mm]$x^3-(x_0)^3=(x-x_0)(x^2+x*x_0+x_0^2)[/mm]
>
In diesem Fall hätten wir doch:
Seien [mm] \epsilon [/mm] > 0 und x [mm] \in [/mm] IR. Sei |x − [mm] x_{0}| [/mm] < 1. Damit gilt |x| < [mm] |x_{0}| [/mm] + 1.
Es folgt
[mm] |x^3 [/mm] − [mm] x_{0}3| [/mm] = [mm] |x^2 [/mm] + [mm] x_{0}x [/mm] + [mm] x_{0}^2| [/mm] · |x − [mm] x_{0}| \le [/mm]
[mm] |x|^2 [/mm] + |x|(|x| + 1) + (|x| + [mm] 1)^2)|x [/mm] − [mm] x_{0}| [/mm]
[mm] =(3|x|^2 [/mm] + 3|x| + 1)|x − [mm] x_{0}| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
falls
|x − [mm] x_{0}| \delta [/mm] := min{1, [mm] \bruch{\epsilon}{3|x|^2 + 3|x| + 1}}.
[/mm]
Somit ist f stetig.
aber neiiin moment ich bin gerade total verwirrt wegen x und [mm] x_{0}
[/mm]
das was ich geschrieben habe kann ja nicht sein, da [mm] \delta [/mm] ja nicht von x abhängig sein kann, also muss ich alle x mit [mm] x_{0} [/mm] vertauschen oder?
stimmt das?
Lg Melisa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Di 15.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Di 15.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja du musst |x| durch [mm] |x_0|+1 [/mm] ersetzen, in deiner Endformel also statt x [mm] x_0 [/mm] und von der Stelle [mm] x_0 [/mm] darf [mm] \delta [/mm] abhängen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Di 15.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
alsoo ich schreib das mal nochmal auf (ich glaube ich habe überall x und [mm] x_o [/mm] vertauscht)
Seien [mm] \epsilon [/mm] > 0 und [mm] x_{0} \in [/mm] IR. Sei |x − [mm] x_{0}|< [/mm] 1. Damit gilt |x| < |y|+ 1.
Es folgt:
[mm] |x_{0}^3-x^3|= |x_{0}^3+x_{0}x+x^2|* |x_{0}-x| \le (|x_{0}^2+|x_{0}|(|x_{0}| [/mm] + 1) + [mm] (|x_{0}| +1)^2) |x_{0}-x|=(3|x_{0}|^2+ 3|x_{0}| [/mm] + [mm] 1)|x_{0} [/mm] −x |
falls:
[mm] |x_{0}-x|\delta:=min{1,\bruch{\epsilon}{3|x_{0}|^2 + 3|x_{0}| + 1}}.
[/mm]
ist das jetzt so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Di 15.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bis auf ein paar Zeichen die fehlen alles richtig!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Fr 11.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Finden Sie für die folgenden Funktionen f: D [mm]\to \IR[/mm] für
> ein beliebiges [mm]x_{0} \in[/mm] D und ein beliebiges e>0 ein
> [mm]\delta>0,[/mm] so dass gilt
> [mm]|x-x_{0}|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_{0})|
>
> (a) f: [mm]\IR\Rightarrow\IR,[/mm] f(x)=ax+b mit a,b [mm]\in \IR[/mm]
> (b)
> f: [mm]\IR\Rightarrow\IR, f(x)=x^3[/mm]
> (c) f: (0,
> [mm]\infty)\Rightarrow(0, \infty),[/mm] f(x)=1/x
> (d) Kann oben [mm]\delta[/mm] unabhängig von [mm]x_{o}[/mm] gewählt
> werden?
> Wie kann ich bei dieser Aufgabe anfangen, mein Problem ist
> die Reihenfolge. Normalerweise wird erst e gewählt und
> hierraus ergibt sich dann [mm]\delta[/mm]
> Kann mir jemand einen Tipp geben?
>
> Gruß Julia
Du startest mit
[mm] |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon [/mm] (**)
und machst solange Umformungen und Abschätzungen bis du bei
[mm] |x-x_{0}|
ankommst. Aus dem "Term" [mm] \epsilon [/mm] ist dann i.A. eine Funktion/Formel [mm] g(\epsilon) [/mm] geworden. Diese muss so sein, dass man in jeder (noch so kleinen) positiven Umgebung der Null positve Ergebnisse erhält ("...zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta>0...")
[/mm]
Da (**) aus (*) folgen soll, dürfen die erwähnten Umformungen entweder nur Äquivalenzumformungen sein oder solche, die den Schluß von unten nach oben zu lassen. Für Abschätzungen bedeutet das, dass man die kleinere Seite einer Ungleichung nach oben anschätzen darf und umgekehrt.
Beispiel:
[mm] a,b\in M\subset\IR [/mm] (beschränkt)
[mm] |a^2-b^2|
|a-b||a+b|<c (äquivalent)
Sei [mm] s:=\sup\{|a+b|:a,b\in M\}<>0
[/mm]
|a-b|s<c (die kleinere Seite wurde "größer gemacht")
|a-b|<c/s (äquivalent) (#)
Jetzt folgt (##) aus (#).
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Di 15.06.2010 | | Autor: | gfm |
> > Finden Sie für die folgenden Funktionen f: D [mm]\to \IR[/mm] für
> > ein beliebiges [mm]x_{0} \in[/mm] D und ein beliebiges e>0 ein
> > [mm]\delta>0,[/mm] so dass gilt
> > [mm]|x-x_{0}|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_{0})|
> >
> > (a) f: [mm]\IR\Rightarrow\IR,[/mm] f(x)=ax+b mit a,b [mm]\in \IR[/mm]
> >
> (b)
> > f: [mm]\IR\Rightarrow\IR, f(x)=x^3[/mm]
> > (c) f: (0,
> > [mm]\infty)\Rightarrow(0, \infty),[/mm] f(x)=1/x
> > (d) Kann oben [mm]\delta[/mm] unabhängig von [mm]x_{o}[/mm] gewählt
> > werden?
> > Wie kann ich bei dieser Aufgabe anfangen, mein Problem
> ist
> > die Reihenfolge. Normalerweise wird erst e gewählt und
> > hierraus ergibt sich dann [mm]\delta[/mm]
> > Kann mir jemand einen Tipp geben?
> >
> > Gruß Julia
>
> Du startest mit
>
> [mm]|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon[/mm] (**)
>
> und machst solange Umformungen und Abschätzungen bis du
> bei
>
> [mm]|x-x_{0}|
>
> ankommst. Aus dem "Term" [mm]\epsilon[/mm] ist dann i.A. eine
> Funktion/Formel [mm]g(\epsilon)[/mm] geworden. Diese muss so sein,
> dass man in jeder (noch so kleinen) positiven Umgebung der
> Null positve Ergebnisse erhält ("...zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm]
> gibt es ein [mm]\delta>0...")[/mm]
>
> Da (**) aus (*) folgen soll, dürfen die erwähnten
> Umformungen entweder nur Äquivalenzumformungen sein oder
> solche, die den Schluß von unten nach oben zu lassen. Für
> Abschätzungen bedeutet das, dass man die kleinere Seite
> einer Ungleichung nach oben anschätzen darf und
> umgekehrt.
>
> Beispiel:
>
> [mm]a,b\in M\subset\IR[/mm] (beschränkt)
>
> [mm]|a^2-b^2|
>
> |a-b||a+b|<c (äquivalent)
>
> Sei [mm]s:=\sup\{|a+b|:a,b\in M\}<>0[/mm]
>
> |a-b|s<c (die kleinere Seite wurde "größer gemacht")
>
> |a-b|<c/s (äquivalent) (#)
>
> Jetzt folgt (##) aus (#).
>
> LG
>
> gfm
>
>
Eine andere Vorgehensweise ist auch,
[mm] |x-x_0|<\delta [/mm] in
[mm] x=x_0+h [/mm] mit [mm] |h|<\delta [/mm] umzuschreiben und dann [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] wie folgt mit einer Funktion [mm] H(x_0,h)>0 [/mm] abzuschätzen:
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|f(x_0+h)-f(x_0)|<...
Wenn [mm] H(x_0,h) [/mm] beschränkt bleibt für alle [mm] h\in(-a,a), [/mm] wobei a auch [mm] \infty [/mm] sein kann, kann man mit einer oberen Schranke [mm] H_{max}(x_0)>H(x_0,h) [/mm] weiter abschätzen:
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|f(x_0+h)-f(x_0)|<...
Dabei muss auch [mm] \delta
Dann gilt für [mm] 0<\epsilon
Beispiel
[mm] |(x_0+h)^2-x_0^2|=|2x_0+h||h|\le(2|x_0|+|h|)|h|=:H(x_0,h)\delta [/mm]
Dieses H ist bezüglich h auf z.B. (-1,1) beschränkt und dort nie größer als [mm] 2|x_0|+1.
[/mm]
Wenn also [mm] \delta:=\epsilon/(2|x_0|+1) [/mm] mit einem [mm] \epsilon<2|x_0|+1 [/mm] folgt
aus [mm] |x-x_0|<\delta |x^2-x_0^2|<\epsilon
[/mm]
LG
gfm
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Di 15.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
zu c)
Seien [mm] \epsilon [/mm] >0 und [mm] x_{0} \in [/mm] IR, wähle [mm] \delta....., [/mm] dann gilt für alle x [mm] \in \R [/mm] mit [mm] |x-x_{0} [/mm] |< [mm] \delta
[/mm]
[mm] |f(x)-f(x_{0}|=|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_{0}}|=|\bruch{x-x_{0}}{xx_{0}}|<\epsilon \gdw |x-x_{0}|<\epsilon |xx_{0}|<\epsilon|x_{0}|(|x_{0}|+\delta):=\delta
[/mm]
Jetzt muss ich delta ausrechnen, dazu muss ich die Gleichung [mm] (\epsilon|x_{0}|(|x_{0}|+\delta):=\delta
[/mm]
nach delta auflösen, aber habe gerade kein plan wie. Kann mir jmd ein Tipp geben.
Lg Melisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Mi 16.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nimm wieder ein festes [mm] \delta_1 [/mm] z. Bsp =1 oder 0.1, dann später wieder das Min aus 2 Möglichkeiten. Das ist immer derselbe Trick.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Mi 16.06.2010 | | Autor: | gfm |
> zu c)
>
> Seien [mm]\epsilon[/mm] >0 und [mm]x_{0} \in[/mm] IR, wähle [mm]\delta.....,[/mm]
> dann gilt für alle x [mm]\in \R[/mm] mit [mm]|x-x_{0}[/mm] |< [mm]\delta[/mm]
>[mm]|f(x)-f(x_{0}|=|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_{0}}|=|\bruch{x-x_{0}}{xx_{0}}|<\epsilon \gdw |x-x_{0}|<\epsilon |xx_{0}|<\epsilon|x_{0}|(|x_{0}|+\delta):=\delta[/mm]
>
>
> Jetzt muss ich delta ausrechnen, dazu muss ich die
> Gleichung [mm](\epsilon|x_{0}|(|x_{0}|+\delta):=\delta[/mm]
>
> nach delta auflösen, aber habe gerade kein plan wie. Kann
> mir jmd ein Tipp geben.
Mit [mm] h:=x-x_0 [/mm] wird
[mm]|f(x)-f(x_{0}|=|f(x_0+h)-f(x_{0}|=\frac{1}{|x_0^2+x_0h|}|h|=:H(x_0,h)|h|[/mm] wobei [mm]H(x_0,h)>0[/mm].
Wieder sieht man hier schon, dass [mm] H(x_0,h)\to 1/x_0^2, [/mm] wenn [mm] h\to0 [/mm] und [mm] f(x)-f(x_{0}| [/mm] wird beliebig klein.
Das Ziel ist es jetzt eine weitere Abschätzung für [mm] H(x_0,h) [/mm] mit einem von h unabhängigen Wert zu finden. Da [mm] H(x_0,h) [/mm] für [mm] h\to -x_0 [/mm] unbeschränkt nach oben wächst, muss man h von [mm] -x_0 [/mm] fernhalten. Du könntest z.B. [mm] h\in (-a,a):=(-|x_0|/2,|x_0|/2) [/mm] wählen.
Auf diesem Intervall gilt [mm] H(x_0,h)=\frac{1}{|x_0^2+x_0h|}<\frac{2}{x_0^2}=:H_{max}(x_0)
[/mm]
Damit erhälst Du dann
[mm]|f(x)-f(x_{0}|=|f(x_0+h)-f(x_{0}|=\frac{1}{|x_0^2+x_0h|}|h|=H(x_0,h)|h|\le H_{max}(x_0)|h|[/mm] (*)
Jetzt setzt Du [mm] \delta:=Min(\epsilon/H_{max}(x_0),a). [/mm]
Dann folgt
[mm] |f(x)-f(x_{0}|<\epsilon, [/mm] wenn [mm] |x-x_0|<\delta, [/mm] denn wenn [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] gilt, heißt das ja, dass [mm] |h|
Also entweder [mm] |h|<\epsilon/H_{max}(x_0) [/mm] oder [mm] \epsilon/H_{max}(x_0)\ge [/mm] a und |h|<a. Im beiden Fällen erhält man [mm] H_{max}(x_0)|h|<\epsilon [/mm] und dann sogleich auch [mm] |f(x)-f(x_{0}|<\epsilon [/mm] mit Hilfe von (*)
LG
gfm
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