Kriterium für Surjektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:12 Di 25.10.2005 | | Autor: | thommy |
Hallo zusammen. ich brauche eure Hilfe bei folgender Aufgabe:
Es sei [mm] f: M \to M' [/mm] eine Abbildung. Beweisen Sie: [mm] f [/mm] ist genau dann surjektiv, wenn Folgendes gilt:
Für jede weitere Menge [mm] M'' [/mm] und je zwei beliebige Abbildungen
[mm] g,h: M' \to M'' [/mm] gilt
[mm] g \circ h = h \circ f \Rightarrow g=h [/mm]
Man Beweis sieht bis jetzt folgendermaßen aus, jedoch setze ich meiner Meinung nach an der Stelle (*) vorraus, das f surjektiv ist. somit dürfte es nicht korrekt sein:
[mm] m \varepsilon M [/mm]
[mm] (g \circ f)(m)=(h \circ f)(m) [/mm]
[mm] (g(f(m))=h(f(m)) [/mm]
[mm] (g(f(m))=g(f(m)) (nach Bed.) [/mm]
[mm] f(m)=f(m) [/mm]
[mm] f(m)=m' [/mm] (*)
bitte um hilfe :)
thommy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Di 25.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Für jede weitere Menge [mm]M''[/mm] und je zwei beliebige
> Abbildungen
> [mm]g,h: M' \to M''[/mm] gilt
>
> [mm]g \circ h = h \circ f \Rightarrow g=h[/mm]
Das erste hist ein f - aber das ist blos ein Typo.
> [mm]m \varepsilon M[/mm]
Benutze mal [mm] \in [/mm] anstatt dem Epsilon.
> [mm](g \circ f)(m)=(h \circ f)(m)[/mm]
>
> [mm](g(f(m))=h(f(m))[/mm]
>
> [mm](g(f(m))=g(f(m)) (nach Bed.)[/mm]
Also was da steht ist trivial richtig für alle g, f, m. Und hat demnach mit deiner Aufgabe nichts zu tun.
Als Hilfe: Wann sind zwei Funktionen gleich? Wie überprüft man das Elementweise? Wenn f jetzt nicht surjektiv ist - kannst du dann eine Menge angeben und h sowie g, so dass die Implikation falsch ist?
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Chapo1 |
Danke für die Hinweise. Hab es jetzt schon was länger mit der Hilfestellung probiert, komme aber nicht weiter. Hat denn schon jemand die Lösung zum Problem?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Do 27.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wäre $f$ nicht surjektiv, dann gäbe es ein $y [mm] \in [/mm] M'$ mit $y [mm] \notin [/mm] Bild(f)$.
Setze nun [mm] $M''=\{irgendetwas, wasganzanderes\}$. [/mm] Sind nun $g,h : M' [mm] \to [/mm] M''$ zwei Abbildungen mit
$g(y)=irgendetwas$
und
$h(y) =wasganzanderes$,
sowie
$h(m') = g(m')$ für alle $M' [mm] \setminus \{y\}$, [/mm]
dann gilt: $g [mm] \ne [/mm] h$, aber trotzdem:
$h(f(x)) = g(f(x))$ für alle $x [mm] \in [/mm] M$,
im Widerspruch zur Voraussetzung.
Also muss $f$ doch surjektiv gewesen sein...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Do 27.10.2005 | | Autor: | thommy |
hey stefan, so in der art war das gemeint was ich versucht habe in worte zu fassen :)
Ich hab halt ein m1' aus M'\ f(m) und ein m2' aus f(m), wobei f(m) teilmenge von M' ist genommen.
dann habe ich gesagt, das g(m1') = h(m2') woraus folgt dass g ungleich h ist. somit widerspruch
ich hoffe das stimmt auch, vielen dank für deine hilfe
thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mi 26.10.2005 | | Autor: | thommy |
hallo zusammen
also ich komm wohl auch nicht weiter.
ich könnt mir nur vorstellen das ich ein element m'1 aus der menge M' und ein element m'2 aus M', welches auch in der menge von f(m) liegt. m'1 liegt hier natürlich nicht in f(m). nun könnten man die gleichung aufstellen:
g(m'1)=h(m'2) wenn dies gleich ist, folgt daraus das g ungleich h ist. Da ich vorraus gesetz habe, das f nicht surjektiv ist, was soviel bedeutet das die menge von f(m) nur eine teilmenge von M' ist, kann ich nun mit hilfe der regel des logischen schliessens ( A folgt B ist äquivalent zu (nicht B) folgt (nicht A)) schlussfolgern, das wenn aus der verknüpfung folgt, das g=h ist, somit muss f surjektiv sein..
naja, das waren meine gedanken, aber in mathematische formel packen kann ich es nicht.. und ob es richtig ist weis ich auch nciht
bitte helft mir ^^
viele grüße thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 Do 27.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Deine Überlegungen kann ich leider nicht nachvollziehen, aber vielleicht hilft dir ja meine andere Antwort weiter... 
Liebe Grüße
Stefan
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