Kritische Stellen - seltsam? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Di 17.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey,
das Problem ist irgendwie peinlich, geht nur darum, zwei Gleichungen zu lösen (um auf kritische Stellen zu kommen).
1) [mm] 3x^{2}-2y=0
[/mm]
2) -2x [mm] +3y^{2}=0
[/mm]
Ich forme 1) um: [mm] x=\pm \wurzel{\bruch{2}{3} y}
[/mm]
Wenn ich nun den positiven Wert benutze, komme ich am Ende auf (0,0) und [mm] (\bruch{2}{3}, \bruch{2}{3}), [/mm] das sind laut Computer auch die einzigen Lösungen.
Jetzt setze ich aber [mm] -\wurzel{\bruch{2}{3} y} [/mm] in 2) ein:
[mm] -2*(-\wurzel{\bruch{2}{3} y}) +3y^{2}=0
[/mm]
dann erhalte ich y=0 und [mm] y=\bruch{2}{3}
[/mm]
Wenn ich letzteres nun wieder in den Ausdruck [mm] x=-\wurzel{\bruch{2}{3} y} [/mm] einsetze, komm ich auf eine dritte Lösung [mm] (-\bruch{2}{3},\bruch{2}{3} [/mm] )
Diese Lösung kommt mit Gleichung 2 aber nicht hin. Wie kann das sein, ich geh kaputt hier xD
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Di 17.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Hey,
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> das Problem ist irgendwie peinlich, geht nur darum, zwei
> Gleichungen zu lösen (um auf kritische Stellen zu
> kommen).
>
> 1) [mm]3x^{2}-2y=0[/mm]
> 2) -2x [mm]+3y^{2}=0[/mm]
>
> Ich forme 1) um: [mm]x=\pm \wurzel{\bruch{2}{3} y}[/mm]
> Wenn ich
> nun den positiven Wert benutze, komme ich am Ende auf (0,0)
> und [mm](\bruch{2}{3}, \bruch{2}{3}),[/mm] das sind laut Computer
> auch die einzigen Lösungen.
>
> Jetzt setze ich aber [mm]-\wurzel{\bruch{2}{3} y}[/mm] in 2) ein:
> [mm]-2*(-\wurzel{\bruch{2}{3} y}) +3y^{2}=0[/mm]
> dann erhalte ich
> y=0 und [mm]y=\bruch{2}{3}[/mm]
Hallo,
das kann nicht sein.
Da minus mal minus plus ergibt, hast du in [mm]-2*(-\wurzel{\bruch{2}{3} y}) +3y^{2}[/mm] die Summe aus zwei nichtnegativen Ausdrücken. Diese Summe ist für [mm]y=\bruch{2}{3}[/mm] garantiert positiv (und nicht Null).
Gruß Abakus
> Wenn ich letzteres nun wieder in den Ausdruck
> [mm]x=-\wurzel{\bruch{2}{3} y}[/mm] einsetze, komm ich auf eine
> dritte Lösung [mm](-\bruch{2}{3},\bruch{2}{3}[/mm] )
>
> Diese Lösung kommt mit Gleichung 2 aber nicht hin. Wie
> kann das sein, ich geh kaputt hier xD
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Di 17.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Abakus,
ich machs mal Schritt für Schritt xD
[mm] -2*(-\wurzel{\bruch{2}{3} y}) +3y^{2}=0
[/mm]
[mm] \gdw 2\wurzel{\bruch{2}{3} y} =-3y^{2}
[/mm]
[mm] \gdw 4\bruch{2}{3} [/mm] y [mm] =9y^{4}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{8}{3} [/mm] y [mm] -9y^{4} [/mm] =0
[mm] \gdw y(\bruch{8}{3} -9y^{3})=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y=0 oder [mm] \bruch{8}{3} -9y^{3}=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y=0 oder [mm] \bruch{8}{27} =y^{3}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y=0 oder [mm] y=\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] y=\bruch{2}{3} [/mm] eingesetzt in [mm] x=-\wurzel{\bruch{2}{3} y} [/mm] --> [mm] x=-\bruch{2}{3}
[/mm]
War ein langer Tag. Wo ist der Fehler??
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Di 17.09.2013 | | Autor: | chrisno |
> Hey Abakus,
>
> ich machs mal Schritt für Schritt xD
>
> [mm]-2*(-\wurzel{\bruch{2}{3} y}) +3y^{2}=0[/mm]
> [mm]\gdw 2\wurzel{\bruch{2}{3} y} =-3y^{2}[/mm]
>
der nächste Schritt geht nicht. Vorher ist die von Abakus beschriebene Situation da.
> [mm]\gdw 4\bruch{2}{3}[/mm] y [mm]=9y^{4}[/mm]
Nun machst Du sinngemäß folgendes:
gesucht y = -y
auf beiden Seiten quadrieren
[mm] $y^2 [/mm] = [mm] y^2$
[/mm]
also stimmt y = -y für jedes y. Beim Quadrieren verlierst Du die Information des Vorzeichens. Daher ist es keine Äquivalenzumformung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Di 17.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Chrisno,
ich verstehe, das ist logisch. Ich habe versucht, die Wurzel so wegzubekommen.
Gibt es da auch eine andere Methode?
Sonst muss man quadrieren und am Ende überprüfen, ob die Lösungen wirklich passen.
In diesem Fall kann man natürlich auch sehen, dass es keine weitere Lösung gibt, aber sonst...
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Di 17.09.2013 | | Autor: | chrisno |
Ich lasse die Frage mal offen. Für mein Leben hat
> Sonst muss man quadrieren und am Ende überprüfen, ob die
> Lösungen wirklich passen.
ausgereicht, wenn das vorher nicht so direkt erkennbar war.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:07 Mi 18.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Paivren,
du fragst also im Grunde nach einer Methode zur äquivalenten Umformung einer Gleichung der Form
[mm] $\wurzel{a}=b$
[/mm]
für reelle Zahlen [mm] $a\ge [/mm] 0$ und $b$, so dass die Wurzel wegfällt.
Die Gleichung ist äquivalent zur Aussage
[mm] $a=b^2$ [/mm] und [mm] $b\ge [/mm] 0$.
Viele Grüße
Tobias
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> Hey Abakus,
>
> ich machs mal Schritt für Schritt xD
>
> [mm]-2*(-\wurzel{\bruch{2}{3} y}) +3y^{2}=0[/mm]
> [mm]\gdw 2\wurzel{\bruch{2}{3} y} =-3y^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw 4\bruch{2}{3}[/mm] y [mm]=9y^{4}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{8}{3}[/mm] y [mm]-9y^{4}[/mm] =0
> [mm]\gdw y(\bruch{8}{3} -9y^{3})=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] y=0 oder [mm]\bruch{8}{3} -9y^{3}=0[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] y=0 oder [mm]\bruch{8}{27} =y^{3}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] y=0 oder
> [mm]y=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]y=\bruch{2}{3}[/mm] eingesetzt in [mm]x=-\wurzel{\bruch{2}{3} y}[/mm] -->
> [mm]x=-\bruch{2}{3}[/mm]
>
> War ein langer Tag. Wo ist der Fehler??
Aus der Gleichung (2) folgt: $\ x\ =\ [mm] \frac{3}{2}*y^2$
[/mm]
Wenn x und y reell sein sollen (wovon ich ausgehe),
muss also [mm] x\ge0 [/mm] sein (weil [mm] y^2 [/mm] stets [mm] \ge0 [/mm] ist).
Beachte auch, dass das Gleichungssystem in x und y
symmetrisch ist: Wenn man in (1) x und y vertauscht,
erhält man exakt die Gleichung (2).
Dies bedeutet: Wenn (x,y) ein Lösungspaar ist, dann
ist auch (y,x) ein Lösungspaar.
LG , Al-Chw.
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