Krümmung Extrema e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Do 11.06.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | | Die Funktion f(x) = [mm] (x-1)^2*e^{-x} [/mm] werde auf 2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4 betrachtet. Wo liegen relative (lokale) und globale (absolute) Extrema? Wo ist f auf [2;4] konvex bzw. konkav? |
Moin!
1. relative Extrema
f ' (x) = [mm] -e^{-x}*(x^2-4x+3)
[/mm]
=> waagerechte Tangenten bei [mm] x_1 [/mm] = 1 und [mm] x_2 [/mm] = 3.
f '' (x) = [mm] e^{-x}*(x^2-6x+7)
[/mm]
f '' (1) = [mm] 2*e^{-1} [/mm] > 0 => relatives Minimum (1 / 0)
f '' (3) = [mm] -2*e^{-2} [/mm] < 0 => relatives Maximum (3 / [mm] 4*e^{-3})
[/mm]
2. Die Funktion verläuft für
für x -> - [mm] \infty [/mm] geht f(x) -> + [mm] \infty
[/mm]
für x -> [mm] \infty [/mm] geht f(x) -> 0
Daraus würde ich folgern, dass es kein absolutes Maximum gibt.
Die Funktion hat bei x=1 eine Nullstelle. Dies ist der kleinste Wert, den die Funktion annehmen kann. Daher ist das absolute Minimum bei (1 / 0).
Oder muss ich die absoluten Extrema im Intervall [2;4] betrachten?
3. Krümmungsverhalten
Ich würde das über die 2. Ableitung angehen.
f ist konvex, wenn f '' (x) > 0 ist
f ist konkav, wenn f '' (x) < 0 ist.
f '' (x) = [mm] e^{-x}'(x^2-6x+7)
[/mm]
f ''(x) = 0 wenn [mm] x^2-6x+7 [/mm] = 0 ist.
[mm] x_{1 / 2} [/mm] = 3 [mm] \pm \wurzel{3^2-7} [/mm]
[mm] x_1 [/mm] = 3 + [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = 3 - [mm] \wurzel{2} [/mm]
] - [mm] \infty [/mm] ; 3 - [mm] \wurzel{2} [/mm] [ ist f '' (x) > 0 => konvex
] 3- [mm] \wurzel{2}; [/mm] 3 + [mm] \wurzel{2} [/mm] [ ist f '' (x) < 0 => konkav
] 3+ [mm] \wurzel{2} [/mm] ; + [mm] \infty [/mm] [ ist f '' (x) > 0 => konvex
Ist das so richtig?
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Do 11.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest die fkt doch nur im Intervall 2<x<4 betrachten.
Damit faellt dein rel. Minimum raus, die Betrachtung fuer x gegen unendlich ist ueberfluesseg, globale Min und max musst du noch angucken. zumindest einabsolutes min in dem Intervall sollte es wohl geben, ob das lokale max auch ein globales ist musst du noch untersuchen.
Die Wendepkt liegen nicht in dem Intervall, sind also auch uninteressant.
also musst du nur noch die Kruemmung in dem Intervall angeben.!!!
Gruss leduart
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Fr 12.06.2009 | | Autor: | hase-hh |
Vielen Dank!
1. absolutes Maximum und absolutes Minimum im Intervall [2;4].
Ich betrachte die Funktionswerte an den Rändern des Intervalls.
f(2) = 0,135 => absolutes Minimum
f(4) = 0,165
2. Krümmungsverhalten
Auch wenn die Wendepunkte nicht zum betrachteten Intervall gehören, folgt doch aus dieser Betrachtung, dass die Funktion im Intervall [2;4] eine konkave Krümmung hat.
Oder soll ich das anders zeigen?
Danke & Gruß
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> Vielen Dank!
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> 1. absolutes Maximum und absolutes Minimum im Intervall
> [2;4].
>
> Ich betrachte die Funktionswerte an den Rändern des
> Intervalls.
>
> f(2) = 0,135 => absolutes Minimum
>
> f(4) = 0,165
Hallo,
das absolute Maximum solltest Du aber unbedingt auch angeben.
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>
> 2. Krümmungsverhalten
>
> Auch wenn die Wendepunkte nicht zum betrachteten Intervall
> gehören, folgt doch aus dieser Betrachtung, dass die
> Funktion im Intervall [2;4] eine konkave Krümmung hat.
>
> Oder soll ich das anders zeigen?
Nein, es ist schon richtig, daß Du dafür die 2.Ableitung anschaust, aber Du mußt sie nur über [2,4] betrachten.
Gruß v. Angela
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