Krümmungskreis < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 So 04.11.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Man bestimme den Krümmungskreis an die Parabel y= [mm] x^2 [/mm] (zwischen den Punkten (-1,1) und (2,4))am Punkt (2,4) |
Lösung des Tutors:
Sei f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] f(s) = (s, [mm] s^2)
[/mm]
f' (s) = (1,2s)
bei s=2 ist f(s) = (2,4)
Sei G(t) := [mm] \int_{-1}^t \sqrt{||f'(s)||}= \int_{-1}^t \sqrt{1 + 4s^2} [/mm] ds
G: [1,-2] -> [0, L(f)]
L(f).. Länge der ganzen kurve
L(f) [mm] =\int_{-1}^2 \sqrt{1+4s^2} [/mm] ds= G(2)
G ist bijektiv
[mm] \overline{f} [/mm] := f [mm] \circ G^{-1}
[/mm]
[mm] \overline{f}'' [/mm] = [mm] f'(G^{-1} [/mm] (x)) * [mm] [(G^{-1}(x))']^2 [/mm] + f' [mm] (G^{-1} [/mm] (x)) [mm] (G^{-1} [/mm] (x))'
> Hier habe ich eine andere Lösung:
> [mm] \overline{f }'= f'(G^{-1}(x)) [G^{-1} [/mm] (x)]'
> [mm] \overline{f}'' [/mm] =f'' [mm] (G^{-1} [/mm] (x))* [mm] [(G^{-1}(x))']^2 [/mm] + [mm] f'(G^{-1}(x)) [/mm] * [mm] [G^{-1} [/mm] (x)]''
> Was mache ich falsch? oder hab ich es falsch abgeschrieben?
s:= L(f)
[mm] G^{-1} [/mm] (s) = 2
G'(x) = [mm] \sqrt{1+4x^2}
[/mm]
[mm] G^{-1}' [/mm] (x) = [mm] \frac{1}{G' (G^{-1} (x))} (G^{-1})' [/mm] (s)
> Ich verstehe nicht was soll das [mm] (G^{-1})' [/mm] (s) noch da?
[mm] G^{-1}' [/mm] (x) = [mm] \frac{1}{G'(2)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{17}}
[/mm]
> Was wird hier gemacht???
[mm] (G^{-1})'' [/mm] (x) = - [mm] \frac{G''(G^{-1} (x)) (G^{-1})'(x)}{G'(G^{-1}(x))^2} (G^{-1})'' [/mm] S
> Ich weiß nicht wie man auf das hier kommt, warum kommt nicht die quotientenregel zum einsatz?
= - [mm] \frac{G'' (s) * 1/\sqrt{17}}{\sqrt{17}^2} [/mm] = [mm] \frac{-8/\sqrt{17} * 1/\sqrt{17}}{17} [/mm] = -8/289
> Ja da steige ich auch aus, weil ich das oben schon nicht verstehe.
G'' (x) = [mm] \frac{4x}{\sqrt{1+4x^2}}
[/mm]
[mm] \overline{f}'' [/mm] (s) = f'' (2) 1/17 + f' (2) [mm] (\frac{-8}{289})= \frac{1}{17} \vektor{0 \\ 2} [/mm] - [mm] \frac{8}{289} \vektor{1\\ 4}= [/mm] 1/289 [mm] \vektor{-8 \\ 2}
[/mm]
|| [mm] \overline{f} [/mm] ''|| [mm] =\frac{ \sqrt{68}}{289} [/mm] = Krümmung K
r= 1/k
|
|
| |
|
Hallo Lu-,
> Man bestimme den Krümmungskreis an die Parabel y= [mm]x^2[/mm]
> (zwischen den Punkten (-1,1) und (2,4))am Punkt (2,4)
> Lösung des Tutors:
> Sei f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm] f(s) = (s, [mm]s^2)[/mm]
> f' (s) = (1,2s)
> bei s=2 ist f(s) = (2,4)
>
> Sei G(t) := [mm]\int_{-1}^t \sqrt{||f'(s)||}= \int_{-1}^t \sqrt{1 + 4s^2}[/mm]
> ds
> G: [1,-2] -> [0, L(f)]
> L(f).. Länge der ganzen kurve
> L(f) [mm]=\int_{-1}^2 \sqrt{1+4s^2}[/mm] ds= G(2)
> G ist bijektiv
> [mm]\overline{f}[/mm] := f [mm]\circ G^{-1}[/mm]
> [mm]\overline{f}''[/mm] = [mm]f'(G^{-1}[/mm]
> (x)) * [mm][(G^{-1}(x))']^2[/mm] + f' [mm](G^{-1}[/mm] (x)) [mm](G^{-1}[/mm] (x))'
> > Hier habe ich eine andere Lösung:
> > [mm]\overline{f }'= f'(G^{-1}(x)) [G^{-1}[/mm] (x)]'
> > [mm]\overline{f}''[/mm] =f'' [mm](G^{-1}[/mm] (x))* [mm][(G^{-1}(x))']^2[/mm] +
> [mm]f'(G^{-1}(x))[/mm] * [mm][G^{-1}[/mm] (x)]''
> > Was mache ich falsch? oder hab ich es falsch
> abgeschrieben?
>
Nein, falsch abgeschrieben hast Du nicht.
> s:= L(f)
> [mm]G^{-1}[/mm] (s) = 2
> G'(x) = [mm]\sqrt{1+4x^2}[/mm]
> [mm]G^{-1}'[/mm] (x) = [mm]\frac{1}{G' (G^{-1} (x))} (G^{-1})'[/mm] (s)
> > Ich verstehe nicht was soll das [mm](G^{-1})'[/mm] (s) noch da?
Das gehört hier nicht hin.
> [mm]G^{-1}'[/mm] (x) = [mm]\frac{1}{G'(2)}[/mm] = [mm]\frac{1}{\sqrt{17}}[/mm]
> > Was wird hier gemacht???
>
Hier wird die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle x=2 gebildet.
> [mm](G^{-1})''[/mm] (x) = - [mm]\frac{G''(G^{-1} (x)) (G^{-1})'(x)}{G'(G^{-1}(x))^2} (G^{-1})''[/mm]
> S
Auch hier gehört [mm](G^{-1})''[/mm] nicht hin.
> > Ich weiß nicht wie man auf das hier kommt, warum kommt
> nicht die quotientenregel zum einsatz?
Quotientenregel in Verbindung mit der Kettenregel.
> = - [mm]\frac{G'' (s) * 1/\sqrt{17}}{\sqrt{17}^2}[/mm] =
> [mm]\frac{-8/\sqrt{17} * 1/\sqrt{17}}{17}[/mm] = -8/289
> > Ja da steige ich auch aus, weil ich das oben schon nicht
> verstehe.
>
> G'' (x) = [mm]\frac{4x}{\sqrt{1+4x^2}}[/mm]
> [mm]\overline{f}''[/mm] (s) = f'' (2) 1/17 + f' (2)
> [mm](\frac{-8}{289})= \frac{1}{17} \vektor{0 \\ 2}[/mm] -
> [mm]\frac{8}{289} \vektor{1\\ 4}=[/mm] 1/289 [mm]\vektor{-8 \\ 2}[/mm]
> ||
> [mm]\overline{f}[/mm] ''|| [mm]=\frac{ \sqrt{68}}{289}[/mm] = Krümmung K
> r= 1/k
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Lu- |
> Nein, falsch abgeschrieben hast Du nicht.
Aber du hast doch im Post 1 gesehen, dass ich auf andere ergebnisse komme als der tutor. Was ist denn da nun schief gelaufen??
Danke für den Post,
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Mo 05.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch beim abschreiben einen fehler gemacht, deine Rechnung ist richtig in
$ [mm] \overline{f}'' [/mm] $ = $ [mm] f'(G^{-1}(x)) [/mm] * [mm] [(G^{-1}(x))']^2 [/mm] + [mm] f'(G^{-1}(x))(G^{-1}(x))'$ [/mm]
fehlt am Ende bei [mm] (G^{-1}(x))' [/mm] ein Strich.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:01 Di 06.11.2012 | | Autor: | Lu- |
> $ [mm] \overline{f}'' [/mm] $ = $ [mm] f'(G^{-1}(x)) \cdot{} [(G^{-1}(x))']^2 [/mm] + [mm] f'(G^{-1}(x))(G^{-1}(x))'' [/mm] $
Das ist die Lösung laut deiner letzten Antwort.
ich komme aber auf:
$ [mm] \overline{f}'' [/mm] $ = $ [mm] f''(G^{-1}(x)) \cdot{} [(G^{-1}(x))']^2 [/mm] + [mm] f'(G^{-1}(x))(G^{-1}(x))'' [/mm] $
Da du ja zum zweiten Mal ableitest..ist bei mir bei dem ersten f ein ''
> $ [mm] G^{-1}' [/mm] $ (x) = $ [mm] \frac{1}{G'(2)} [/mm] $ = $ [mm] \frac{1}{\sqrt{17}} [/mm] $
> > Was wird hier gemacht???
>
> Hier wird die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle x=2 gebildet.
Also ich sehe dass hier [mm] G^{-1}' [/mm] (s) = [mm] \frac{1}{G'(2)} [/mm] gebildet wird.
danke für die Hinweise.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 08.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Hallo Lu- ,
falls es nur darum geht, den Krümmungskreis in
einem Punkt der Parabel zu bestimmen, ist doch
das ganze Zeugs mit dem Integral für die Kurvenlänge
absolut überflüssig.
Was man braucht, sind nur die Werte von x, f(x),
f'(x) und f''(x) , hier für x=2 .
Übrigens ist es nicht unbedingt sinnvoll, das
Definitionsintervall der Parabel gerade an der
Stelle x=2 enden zu lassen, wenn man sich
für den Krümmungskreis an dieser Stelle, also
in einem Endpunkt des entsprechenden Parabel-
bogens interessiert.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
|
