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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mo 26.05.2008 | | Autor: | RudiBe |
| Aufgabe | es gilt Nullstellen des kubischen Gleichungssystems zu berechnen
0.01x³+0.02x²+10x+3000 |
nun in meinen "Leer"-Unterlagen stehen nur Lösungsmöglichkeiten, bei dem es einem entweder gelingen muss ein x herauszuheben oder durch "Probieren" eine Nullstelle zu finden und so zu einer quadratischen Gleichung zu kommen.
Beides funktioniert hier nicht und ich bin ratlos wie ich das effektiv angehen soll.
Ich wäre über einen Tip sehr dankbar.
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> es gilt Nullstellen des kubischen Gleichungssystems zu
> berechnen
(kein Gleichungssystem; nur eine kubische Funktion)
> 0.01x³+0.02x²+10x+3000
> nun in meinen "Leer"-Unterlagen stehen nur
> Lösungsmöglichkeiten, bei dem es einem entweder gelingen
> muss ein x herauszuheben oder durch "Probieren" eine
> Nullstelle zu finden und so zu einer quadratischen
> Gleichung zu kommen.
>
> Beides funktioniert hier nicht und ich bin ratlos wie ich
> das effektiv angehen soll.
>
> Ich wäre über einen Tip sehr dankbar.
>
hallo RudiBe,
Die Gleichung 0.01x³+0.02x²+10x+3000=0 hat tatsächlich
keine einfach aufzuspürende Lösung.
Für solche kubischen Gleichungen gäbe es die Cardanischen
Lösungsformeln (via Wikipedia leicht erreichbar!) oder aber
Näherungsformeln wie z.B. das Newtonsche Näherungsverfahren
(wenn man nicht gleich zu einem Rechner greifen will,
der solche Gleichungen problemlos numerisch löst).
Mit dem Newton-Verfahren ginge es z.B. folgendermassen:
Funktion f(x) = 0.01x³+0.02x²+10x+3000
Ableitung f'(x) = [mm] 0.03x^2+0.04x+10
[/mm]
Startwert [mm] x_0 [/mm] wählen, zum Beispiel [mm] x_0=0
[/mm]
Dann rekursiv weitere Werte [mm] x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] , [mm] x_3 [/mm] ... berechnen
nach der Formel:
[mm] x_{k+1} [/mm] = [mm] x_k-\bruch{f(x_k)}{f'(x_k)}
[/mm]
Die [mm] x_k [/mm] nähern sich sehr rasch einer der Nullstellen an.
Da es im vorliegenden Fall nur eine solche gibt, ist damit
die Rechnerei schon zu Ende.
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Mo 26.05.2008 | | Autor: | RudiBe |
Danke für den Tipp, ich habe es schon auch mit dem Newton versucht, allerdings führte erst [mm] X_{ca.80} [/mm] zu einer verlangten Genauigkeit von 5 Kommastellen. Dies ist etwas mühsam und da ich dachte, ich müsste das mit den anderen Nullstellen auch noch machen, erschien es mir zu Zeitaufwändig als Lösung für eine Prüfungsfrage.
Wie erkennt man so schnell, wieviele reelle Lösungen die Funktion hat?
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Hallo RudiBe,
ein Polynom 3. Grades kann eine, zwei oder drei Nullstellen haben.
Wenn Du eine Kurvendiskussion durchführst (1. Ableitung gleich Null setzen), dann siehst Du, dass deine Funktion keine Extrema hat, sondern nur einen Wendepunkt (2. Ableitung = 0), und zwar bei [mm] \left(-\bruch{2}{3}/2993 \right).
[/mm]
Also hat sie nur eine Nullstelle. Die liegt laut Rechner bei x = -62,593854.
LG, Martinius
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> Danke für den Tipp, ich habe es schon auch mit dem Newton
> versucht, allerdings führte erst [mm]X_{ca.80}[/mm] zu einer
> verlangten Genauigkeit von 5 Kommastellen. Dies ist etwas
> mühsam und da ich dachte, ich müsste das mit den anderen
> Nullstellen auch noch machen, erschien es mir zu
> Zeitaufwändig als Lösung für eine Prüfungsfrage.
> Wie erkennt man so schnell, wieviele reelle Lösungen die
> Funktion hat?
>
Dass es hier nur eine Lösung gibt, sieht man am einfachsten,
wenn man eine kleine Kurvenuntersuchung macht und
feststellt, dass es keine lokalen Extrema gibt, so wie dies
Martinius gezeigt hat.
Mein vorgeschlagener Startwert [mm] x_0 [/mm] = 0 war natürlich sehr
schlecht. Mit einer vorgängigen groben Betrachtung des
Graphen (oder aufgrund von Vorkenntnissen über die
ungefähre Lage der Nullstelle) könnte man bessere Startwerte
nehmen. Nach meiner Rechnung mit dem Startwert [mm] x_0=0
[/mm]
brauche ich aber nur 10 Schritte für ein Resultat mit 10
gültigen Nachkommastellen.
LG al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Mo 26.05.2008 | | Autor: | RudiBe |
das hilft mir soweit erstmal weiter, wie gesagt war es in dieser Funktion mit dem Newton etwas einfacher, die Originalfunktion war wohl doch noch etwas anders.
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