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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:08 Mo 19.11.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Eine Punktfolge der x-y-Ebene ist durch die folgenden Werte Gegeben:
i | 0 | 1 | 2
---------------------
[mm] x_{i} [/mm] | 0 | 1 | 2
[mm] y_{i} [/mm] | 1 | 1 | 0
Zu dieser Punktfolge soll die natürliche kubische Splinefunktion ermittelt werden. Da die [mm] x_{i} [/mm] streng monoton angeordnet sind, braucht nicht mit parametrischen Splines gearbeitet zu werden.
1. Ermitteln sie die abschnittsweisen kubischen Polynome
2. Berechnen sie die Werte der Splinefunktion für die Mittelpunkte der beiden Teilintervalle
3. Skizzieren sie anhand der somit vorliegenden x-y-Wertepaare den Verlauf der Splinefunktion. |
Hi Leute,
ich hab wiedermal ne Frage. Es geht mir eigentlich erstmal nur um Punkt 1. Ich hab ziemlich lange das Internet nach guten Seiten über Splineinterpolation durchforstet. Hab auch einige gute gefunden aber leider keine mit Rechenbeispielen (ich meine mit "echten" Zahlen).
Das ist mein Theoretischer Lösungsansatz:
Nur für das erste Intervall:
[mm] a_{13}x_{1}^{3}+a_{12}x_{1}^{2}+a_{11}x_{1}+a_{10}=y_{1}
[/mm]
[mm] a_{23}x_{2}^{3}+a_{22}x_{2}^{2}+a_{21}x_{2}+a_{20}=y_{2}
[/mm]
Die weiteren Bedingungen sind dann:
[mm] y_{1}'=y_{2}'
[/mm]
und
[mm] y_{1}''=y_{2}''
[/mm]
Ist das theoretisch soweit richtig??? Ich habs versucht zu rechnen bekomme aber nichts vernünftiges raus. Zur Info Musterlös: [mm] p_{0}=1+(1/4)x-(1/4)x^{3}
[/mm]
Am liebsten wäre mir ein Tipp zu einer guten Homepage wo dieses Thema anhand eines Beispiels idiotensicher erklärt wird. Ich glaube dann würde ich das schon hinbekommen.
Danke schonmal im Voraus für eure Hilfe!!!
Grüße
Stefan
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> Eine Punktfolge der x-y-Ebene ist durch die folgenden Werte
> Gegeben:
>
> i | 0 | 1 | 2
> ---------------------
> [mm]x_{i}[/mm] | 0 | 1 | 2
> [mm]y_{i}[/mm] | 1 | 1 | 0
>
> Zu dieser Punktfolge soll die natürliche kubische
> Splinefunktion ermittelt werden. Da die [mm]x_{i}[/mm] streng
> monoton angeordnet sind, braucht nicht mit parametrischen
> Splines gearbeitet zu werden.
>
> 1. Ermitteln sie die abschnittsweisen kubischen Polynome
> 2. Berechnen sie die Werte der Splinefunktion für die
> Mittelpunkte der beiden Teilintervalle
> 3. Skizzieren sie anhand der somit vorliegenden
> x-y-Wertepaare den Verlauf der Splinefunktion.
> Hi Leute,
> ich hab wiedermal ne Frage. Es geht mir eigentlich
> erstmal nur um Punkt 1. Ich hab ziemlich lange das Internet
> nach guten Seiten über Splineinterpolation durchforstet.
> Hab auch einige gute gefunden aber leider keine mit
> Rechenbeispielen (ich meine mit "echten" Zahlen).
Hallo,
ich habe den Eindruck, daß Du nicht richtig verstanden hast, worum es bei der Interpolation mit kubischen Splines geht.
Zunächst in aller Kürze das Ziel:
Man will auf den durch die Stützstellen vorgegebenen Intervallen jeweils kubische Funktionen finden, die glatt aneinanderpassen und natürlich durch die Stützstellen gehen.
Genauer:
Du hast n+1 Stützstellen [mm] (x_i, y_i), [/mm] i=0,...,n, die [mm] x_i [/mm] aufsteigend geordnet, welche Dir [mm] [x_0, x_n] [/mm] in n Teilintervalle [mm] I_n [/mm] einteilen.
Durch diese Stützstellen will man eine glatte, stückweise def. Funktion legen, die auf den Teilintervallen jeweils ein Polynom v. Grad 3 ist.
Nun wird also eine stückweise definierte Funktion gesucht mit folgenden Eigenschaften:
1. Auf jeden dieser Intervalle [mm] I_i [/mm] ist die Teilfunktion [mm] f_i [/mm] ein Polynom v. Grad 3
2. Die Teilfunktionen haben Anfangs- und Endpunkt in den Stützstellen, sie stoßen an den Intervallenden zusammen, es ist also [mm] f_{i-1}(x_i)= f_i(x_i)=y_i
[/mm]
3. Die Tangenten an den Nahtstellen sind gleich: [mm] f'_{i-1}(x_i)= f'_i(x_i)
[/mm]
4. Die Krümmungen an den Nahtstellen sind gleich: [mm] f''_{i-1}(x_i)= f''_i(x_i)
[/mm]
5. Randbedingungen: wenn nichts anderes vorgegeben ist, natürliche Rb, [mm] f''_1(x_0)=f''_n(x_n)=0.
[/mm]
Diese Bedingungen liefern Dir ein Gleichungssystem, welches zu lösen ist.
> Das ist mein Theoretischer Lösungsansatz:
1:
Es sei [mm] f_1(x)=a_{13}x^{3}+a_{12}x^{2}+a_{11}x+a_{10}
[/mm]
und
[mm] f_2(x)=a_{23}x^{3}+a_{22}x^{2}+a_{21}x+a_{20}
[/mm]
2:
> Nur für das erste Intervall:
[mm] f_1(x_0)=a_{13}x_{0}^{3}+a_{12}x_{0}^{2}+a_{11}x_{00}+a_{10}=y_{0}[/mm]
[/mm]
[mm] f_1(x_1)=
[/mm]
> [mm]a_{13}x_{1}^{3}+a_{12}x_{1}^{2}+a_{11}x_{1}+a_{10}=y_{1}[/mm]
Das zweite Intervall
[mm] f_2(x_1)=a_{23}x_{1}^{3}+a_{22}x_{1}^{2}+a_{21}x_{1}+a_{20}=y_{1}
[/mm]
[mm] f_2(x_2)=
[/mm]
> [mm]a_{23}x_{2}^{3}+a_{22}x_{2}^{2}+a_{21}x_{2}+a_{20}=y_{2}[/mm]
Bis hierher hast Du 4 Gleichungen mit 8 Variablen.
Nun kommen die ersten Ableitungen in den Nahtstellen, in Deiner konkreten Aufgabe habe wir ja nur eine Nahtstelle.
Du benötigst die ersten Ableitungen v. [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2, [/mm] und gewinnst hieraus eine weitere Gleichung.
3:
[mm] f'_1(x_1)= f'_2(x_1)
[/mm]
Nun kommen die 2. Ableitungen in den Nahtstellen dran.
4:
[mm] f''_1(x_1)=f''_(x_1)
[/mm]
Nun hast Du schon 6 Gleichungen mit 8 Variablen, die restlichen benötigten Gleichungen liefern Dir die Randbedingungen.
5:
[mm] f''_1(x_0)=0
[/mm]
[mm] f''_2(x_2)=0
[/mm]
Nun hast Du ein (lineares) GS, welches Du lösen kannst.
Dein Problem bei der Bearbeitung war wohl, daß Du ein Durcheinander veranstaltet hast zwischen den Funktionen [mm] f_i [/mm] und ihren Funktionswerten [mm] y_i [/mm] an den Stützstellen.
Versuch nun nochmal Dein Glück, indem Du die vorgegebenen Werte einsetzt und daraus die Koeffizienten der beiden kubischen Funktionen ermittelst.
Zum Schluß kannst Du's ja zeichnen, da siehst Du dann, ob es stimmt.
Gruß v. Angela
>
> Die weiteren Bedingungen sind dann:
> [mm]y_{1}'=y_{2}'[/mm]
> und
> [mm]y_{1}''=y_{2}''[/mm]
>
> Ist das theoretisch soweit richtig??? Ich habs versucht zu
> rechnen bekomme aber nichts vernünftiges raus. Zur Info
> Musterlös: [mm]p_{0}=1+(1/4)x-(1/4)x^{3}[/mm]
>
> Am liebsten wäre mir ein Tipp zu einer guten Homepage wo
> dieses Thema anhand eines Beispiels idiotensicher erklärt
> wird. Ich glaube dann würde ich das schon hinbekommen.
>
> Danke schonmal im Voraus für eure Hilfe!!!
>
> Grüße
> Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Mo 19.11.2007 | | Autor: | polyurie |
Super, hat gefunzt! Vielen Dank für die klare Ansage! Wenn unser Prof das genauso erklären würde, müsste ich euch nicht so oft auf die Nerven gehen. Bei Punkt fünf hast du dich, denke ich, verschrieben. Es muss [mm] f''_{2}(x_{2})=0 [/mm] heissen. Vielen Dank nochmal!!!!!!
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