Kubischer Spline < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 So 11.12.2005 | | Autor: | Sienna |
Hallo mal wieder,
ich bin schon das ganze Wochenende fleißig am Numerikblatt bearbeiten,
leider sind auch manche Aufgabe schwer, diese hier aber sicher nicht, mir fehlt nur der allererste Gedanke!
Seien Knoten: [mm] x_i=i [/mm] und i=0,...3 gegeben. Okay, leicht!
Bestimmen Sie den kubischen Spline [mm] s [mm] \inS_3({0,...3}) [/mm] für den gilt:
s(0)=-3
s''(0) =0
s(1)=-1
s(2)=8
s(3)=30
s''(3)=0
Ich habe bisher nur rausgefunden, dass der Spline ein natürlicher Spline ist, aber das hilft mir grade nichts.
Steht auch nichts im Skript wegen dem kubischen Spline, ich weiß aber, dass der kubisch ist, weil er den Grad 3 hat!!!
Wenn also jemand einen Tipp, nur einen ganz kleinen, hat,
freue ich mich!!!
LiebeGrüße und ein schönes Wochenende Eva
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Hallo Eva,
erstmal Herzlichen Dank für die Antwort bezüglich der Aufgabe mit Schönberg Whitney. Es freut mich jemandem helfen zu können der mir geholfen hat.
s(x) = a + bx + [mm] cx^2 [/mm] + [mm] dx^3 [/mm] + e(x-x1)+^3 + f(x-x2)+^3
Das ist eine und die einfachere Darstellungsform für einen kubischen Spline mit Knoten x0,...,x3.
Du hast 6 Koeffizienten zu bestimmen. Dir stehen 6 Wertepaare zur Verfügung. Also 6 Gleichungen und 6 Unbekannte. Einfach LGS lösen und schon hast du deine Koeffizienten und damit auch den Spline bestimmt.
Damit du überprüfen kannst, ob dein Ergebnis stimmt, hier meins:
s(x) = -3 + x + [mm] x^3 [/mm] + (x-1)+^3 - 5*(x-2)+^3
Viele Grüsse
Erdal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Sienna |
Hallo Erdal,
vielen Dank für deine Hilfe.
Ich drücke die Daumen, dass
alles richtig sein.
Viele Grüße
Eva
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Hallo flashray,
So ein Spline ist stückweise ein Polynom. Aber eben nur stückweise. Also braucht man
eine Funktion für das Intervall [0,1]
eine Funktion für das Intervall [1,2]
eine Funktion für das Intervall [2,3]
Für einen kubischen Spline ist diese Funktion ein Polynom 3.Grades.
Dabei sollten an den "Übergängen" (1,2)
die Funktionswerte übereinstimmen
die Werte der 1. Ableitung
die Werte der 2. Ableitung
Dann müssen natürlich noch die angegebenen Bedingungen gelten. Es gibt aber meiner Meinung nach keinen Grund 6 Parameter für ein Polynom 3.Grades einzuführen.
viele Grüße
mathemaduenn
Querverweis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Di 13.12.2005 | | Autor: | flashray |
Hallo Christian,
für Splines allgemein, und auch für den kubischen Spline existieren verschiedene Darstellungsmöglichkeiten. Wie von dir ausführlich beschrieben, setzt sich ein kubischer Spline aus Polynomen 3. Grades mit den von dir genannten Bedingungen zusammen. Alternativ kann man auch Gebrauch von abgebrochenen Potenzen machen und Splines allgemein wie folgt darstellen:
Knoten [mm] x_{0},...,x_{n}
[/mm]
s(x) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}x [/mm] + ... + [mm] a_{m}x^m [/mm] + [mm] b_{1}(x [/mm] - [mm] x_{1})_{+}^m [/mm] + ... + [mm] b_{n-1}(x [/mm] - [mm] x_{n-1})_{+}^m
[/mm]
n,m [mm] \in \IR
[/mm]
für kubische Splines sieht das dann so aus:
s(x) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}x [/mm] + [mm] a_{2}x^2 [/mm] + [mm] a_{3}x^3 [/mm] + [mm] b_{1}(x [/mm] - [mm] x_{1})_{+}^3 [/mm] + ... + [mm] b_{n-1}(x [/mm] - [mm] x_{n-1})_{+}^3 [/mm]
Hier unter folgendem Link auf der Seite 27 kannst du es nachlesen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uni-mannheim.de/~lsmath4/numerik1/sk.pdf
Was die Bedingungen bezüglich der Ableitungen angeht, hat mein Numeriktutor mir versichert das durch den Gebrauch von abgebrochenen Potenzen diese ebenfalls erfüllt werden. Ich habe diese Alternative bevorzugt, weil der Rechenaufwand für das bestimmen der Koeffizienten geringer ist, da diese Darstellungsform weniger Koeffizienten beinhaltet als die von dir beschrieben.
Falls doch was falsch ist oder ergänzt werden muss, würde ich mich auf einen Hinweis freuen.
VG Erdal
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Hallo Erdal,
Da hab ich doch glatt das plus übersehen-bzw. wußte nichts damit anzufangen.
[mm](x-x_1)_+^3=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le x_1 \\ (x-x_1)^3, & \mbox{für } x>x_1 \end{cases}[/mm]
Dann geht das nat. auch.
viele Grüße
Christian
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