Kürzester / längster Abstand < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Gerade g sei bestimmt durch
[mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 1 } [/mm] + s [mm] \vektor{a \\ 3 \\ 3 }
[/mm]
Frage:
Bestimme a so, dass die die Gerade g den längstmöglichen bzw. kürzestmöglichen Abstand zum Ursprung hat |
Was den längstmöglichen Abstand angeht:
Durch den Punkt P(3/3/1) müssen alle Geraden gehen, unabhängig von a.
Dieser Punkt P hat vom Ursprung den Abstand [mm] \wurzel{3^{2}+3^{2}+1^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{19}. [/mm]
Es kann also kein a geben, für den der Abstand länger als [mm] \wurzel{19} [/mm] ist.
Wenn die Vektoren [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 1 } [/mm] und [mm] \vektor{a \\ 3 \\ 3 } [/mm] senkrecht zueinander stehen, also wenn
[mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 1 }*\vektor{a \\ 3 \\ 3 } [/mm] = 0 ist,
dann hätten wir doch den gesuchten längstmöglichen Abstand.
Dann wäre also a = -4 (wobei s=0 ist)
Was den kürzestmöglichen Abstand angeht, da wäre es zu schön um wahr zu sein, wenn es ein a gäbe, so dass die Gerade g direkt durch den Ursprung geht.
Also [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 1 } [/mm] + s [mm] \vektor{a \\ 3 \\ 3 } [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
So ein a gibt es aber nicht, allein schon, weil sich für die x- und y-Zeile kein gemeinsames s finden lässt.
Der Abstand eines Punktes der Geraden g vom Ursprung ergibt sich aus
d= [mm] \wurzel{(3+as)^{2}+(3+3s)^{2}+(1+3s)^{2}}
[/mm]
Das könnte man jetzt zwar ausmultiplizieren. Dann ergibt sich ein ellenlanger Ausdruck. Und das Resultat aus der Wurzel soll dann minimal sein.
Da denkt man zwar zunächst an Erste Ableitung NULL setzen.
Aber es gibt ja zwei Unbekannte a und s. Die hängen doch voneinander ab. Da kann man doch bestimmt nicht eine Größe als Konstante setzen und nach der anderen dann ableiten?
Sicherlich gibt es ein a und s, so dass d minimal ist.
Ein Computer-Probier-Ptrogramm findet die Zahlen bestimmt raus, aber ich wüsste nicht, ob man das durch rechnen rauskriegen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Fr 23.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo rabilein,
> Die Gerade g sei bestimmt durch
>
> [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }[/mm] + s [mm]\vektor{a \\ 3 \\ 3 }[/mm]
>
> Frage:
> Bestimme a so, dass die die Gerade g den längstmöglichen
> bzw. kürzestmöglichen Abstand zum Ursprung hat
> Was den längstmöglichen Abstand angeht:
> Durch den Punkt P(3/3/1) müssen alle Geraden gehen,
> unabhängig von a.
> Dieser Punkt P hat vom Ursprung den Abstand
> [mm]\wurzel{3^{2}+3^{2}+1^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{19}.[/mm]
> Es kann also kein a geben, für den der Abstand länger als
> [mm]\wurzel{19}[/mm] ist.
das kann man so sagen - wenngleich diese Vorüberlegung nicht wirklich
notwendig war.
> Wenn die Vektoren [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }[/mm] und [mm]\vektor{a \\ 3 \\ 3 }[/mm]
> senkrecht zueinander stehen, also wenn
> [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }*\vektor{a \\ 3 \\ 3 }[/mm] = 0 ist,
>
> dann hätten wir doch den gesuchten längstmöglichen
> Abstand.
>
> Dann wäre also a = -4 (wobei s=0 ist)
Hier hören wir jetzt mal gerade auf. Korrekt ist: Um den Abstand einer
Geraden
[mm] $g_a:=\{(x,y,z):\;\;(x,y,z)^T=(3,3,1)^T+s*(a,3,3)^T:\;\;s \in \IR\}$
[/mm]
zu bestimmen, macht es erstmal Sinn, sich einen Vektor [mm] $v=(a,b,c)^T$ [/mm] mit
$v [mm] \bullet (a,3,3)^T=0$
[/mm]
zu berechnen. (Dabei ist [mm] $\bullet$ [/mm] das "Standardskalarprodukt").
Wieso Du da den Vektor [mm] $(3,3,1)^T$ [/mm] für [mm] $v\,$ [/mm] einsetzt, ist mir absolut
unklar.
Aber wenn Du Dir meine Bedingung oben klarmachst, wird Dir sicher klar
werden, dass jeder Vektor einer Ebene, die senkrecht zur betrachteten
Gerade steht, hier gewählt werden könnte.
Was bringt uns das zuletzt ewähnte? Nun, ganz einfach:
Wir brauchen den Schnitt der betrachteten Geraden [mm] $g_a$ [/mm] mit einer Ebene,
wobei diese Ebene folgende Eigenschaften hat:
Der Richtungsvektor der betrachteten Gerade steht senkrecht auf der
Ebene, die wir betrachten - zudem sollte die Ebene, die wir betrachten,
durch den Ursprung gehen.
Der Grund ist folgender:
Diese Ebene schneidet [mm] $g_a$ [/mm] in einem gewissen Punkt [mm] $S_a$ [/mm] (der hängt
von [mm] $a\,$ [/mm] ist). Dann ist die Länge der Strecke vom Ursprung bis zum Punkt [mm] $S_a$
[/mm]
gerade der Abstand der betrachteten Gerade zum Ursprung, denn diese
Strecke muss senkrecht auf die Gerade stehen (d.h. senkrecht zum
Richtungsvektor der Geraden sein).
Also für Dich folgende Anleitung, zu der Du Dir am Besten auch eine
Skizze machst:
1. Sei
[mm] $E=\{(x,y,z):\;\;(x,y,z)^T \bullet (a,3,3)^T=0\}\,,$
[/mm]
was Du vielleicht auch einfach nur durch die Ebenengleichung
[mm] $E:\,$ $a*x+3*y+3*z=0\,$
[/mm]
ausdrückst.
Diese Ebene geht senkrecht durch [mm] $g_a$ [/mm] und enthält den Ursprung (warum?).
2. Berechne den Schnittpunkt der obigen Ebene [mm] $E\,$ [/mm] (eigentlich [mm] $E_a$) [/mm] mit
[mm] $g_a\,.$
[/mm]
3. Berechne die Länge des Vektors vom Urpsrung bis zum Schnittpunkt.
Exemplarisch wähle ich mal [mm] $a=0\,.$
[/mm]
I) Die Ebene [mm] $E=E_0$ [/mm] ist dann durch alle Punkte $(x,y,z) [mm] \in \IR^3$ [/mm] mit
[mm] $3y+3z=0\,,$
[/mm]
also
[mm] $y=-z\,$
[/mm]
gegeben.
II) Wir schneiden [mm] $E_0$ [/mm] mit [mm] $g_0:$
[/mm]
[mm] $y=-z\,$
[/mm]
in
[mm] $\vektor{x\\y\\z}=\vektor{3\\3\\1}+s*\vektor{0\\3\\3}$
[/mm]
eingesetzt, liefert
[mm] $x=3\,,$ [/mm] $-z=y=3+3s$ und [mm] $z=1+3s\,.$
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $0=4+6s\,$ [/mm] bzw. $s=-2/3$
und damit
[mm] $y=1\,$ [/mm] sowie [mm] $z=-1\,.$
[/mm]
Der Schnittpunkt von [mm] $E_0$ [/mm] und [mm] $g_0$ [/mm] ist also
[mm] $S_0=(3,1,-1)\,.$ [/mm]
III) [mm] $|{S_0}^T-(0,0,0)^T|=\left|\vektor{3\\1\\-1}-\vektor{0\\0\\0}\right|=\sqrt{3^2+1^2+(-1^2)}=\sqrt{11}\,.$
[/mm]
Du machst das jetzt im Prinzip analog, nur, dass Du das [mm] $a\,$ [/mm] nicht konkret
machst, sondern als Parameter stehen läßt. Dann wird der Abstand [mm] $|{S_a}^T|$
[/mm]
eine Funktion von [mm] $a\,$ [/mm] werden, die Du auf globale Minimalstellen bzw.
Maximalstellen untersuchen kannst.
(Anmerkung: Ich würde das Ergebnis
$a*x+3*y+3*z=0$
der Ebenengleichung etwa, wie oben getan, nach [mm] $y\,$ [/mm] auflösen:
$y=(-3z-ax)/3$
und dieses dann bei den die Gerade bestimmenden Gleichung
$x=3+s*a,$ [mm] $y=3+s*3\,$ [/mm] und $z=1+s*3$
in die zweite Gleichung einsetzen. Dann hast Du 3 Gleichungen in den
Variablen [mm] $\red{x,\,z,s}\,,$ [/mm] die Du etwa nach [mm] $s\,$ [/mm] auflösen kannst.
[Beachte, dass [mm] $a\,$ [/mm] hier keine Variable ist, sondern als Parameter,
also fest gewählte Zahl, behandelt wird.] Damit bekämst Du [mm] $s\,$ [/mm] in
Abhängigkeit von [mm] $a\,$ [/mm] ausgerechnet, und das setzt Du dann in die
Geradengleichung von [mm] $g_a$ [/mm] ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen!
Testen, ob Dein Ergebnis richtig sein könnte, kannst Du das dann ja, indem
Du guckst, ob im Falle von speziell [mm] $a=0\,$ [/mm] dann der Schnittpunkt [mm] $(3,1,-1\,)$
[/mm]
rauskommt!)
Übrigens: Manchmal kann folgendes nützlich sein:
Ist [mm] $f=f(x)\,$ [/mm] eine Funktion, die nur Werte [mm] $\ge [/mm] 0$ annimmt, so gilt:
Die Funktion
[mm] $g=g(x):=(f(x))^2=:f^2(x)$
[/mm]
hat an den gleichen Stellen (globale oder lokale) Minima bzw. Maxima
vorliegen und auch von gleicher Art.
Bsp.: Betrachte
[mm] $f(x):=2\sin(x)+2\,.$
[/mm]
Offensichtlich haben wir alle (lokale und globale) Minimalstellen bei
[mm] $x=\frac{3}{2}\pi+k*2\pi$ [/mm] ($k [mm] \in \IZ$).
[/mm]
Die Funktion
[mm] $g(x):=4\sin^2(x)+8\sin(x)+4$
[/mm]
hat an den gleichen Stellen alle ihre (lokalen und globalen) Minimalstellen
vorliegen:
Mach' Dir das vielleicht erstmal an den Plots klar, und dann rechne es, wenn
Du magst, auch nach.
Hinweis: Hier helfen durchaus auch die hinreichenden Bedingungen für
zweimal diff'bare Funktionen...
Weiterer Hinweis: Beachte, dass aber die Funktionswerte von [mm] $g=f^2$ [/mm] an
den Extremalstellen quadriert sind - das sollte Dir vor allem oben bei den
Maximalstellen ins Auge springen, bei den Minimalstellen wegen [mm] $0^2=0$ [/mm] eher
nicht!
Gruß,
Marcel
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> Dann wäre also a = -4 (wobei s=0 ist)
>
> Hier hören wir jetzt mal gerade auf.
Für a= -4 und s = 0 ist der Abstand [mm] \wurzel{19}
[/mm]
Wenn deine Überlegung richtig und meine falsch ist (davon gehe ich jetzt einfach mal aus), dann würde das heißen, dass es für a = -4 noch andere s [mm] \not= [/mm] 0 gibt, bei denen der Abstand kleiner ist.
Das heißt, obwohl zwischen [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{-4 \\ 3 \\ 3} [/mm] ein rechter Winkel besteht...
Also, ich kann mir das nicht so recht räumlich vorstellen, dass - wenn ich vom Ursprung nach P(3/3/1) gehe und ich im rechten Winkel dort abbiege - dass dann der Abstand zum Ursprung an irgend einer Stelle kürzer wird als er bei P war.
Für den zweiten Teil kann ich mir durchaus vorstellen, dass das eine extrem komplizierte Rechnung wird (eventuell nur mit "Höherer Mathematik" zu lösen), da es kein a gibt, dergestalt, dass die Gerade direkt durch den Ursprung geht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo rabilein,
> > Dann wäre also a = -4 (wobei s=0 ist)
> >
> > Hier hören wir jetzt mal gerade auf.
>
> Für a= -4 und s = 0 ist der Abstand [mm]\wurzel{19}[/mm]
>
> Wenn deine Überlegung richtig und meine falsch ist (davon
> gehe ich jetzt einfach mal aus), dann würde das heißen,
> dass es für a = -4 noch andere s [mm]\not=[/mm] 0 gibt, bei denen
> der Abstand kleiner ist.
???
> Das heißt, obwohl zwischen [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1}[/mm] und
> [mm]\vektor{-4 \\ 3 \\ 3}[/mm] ein rechter Winkel besteht...
> Also, ich kann mir das nicht so recht räumlich vorstellen,
> dass - wenn ich vom Ursprung nach P(3/3/1) gehe und ich im
> rechten Winkel dort abbiege - dass dann der Abstand zum
> Ursprung an irgend einer Stelle kürzer wird als er bei P
> war.
Was ist der Abstand eines Punktes zu einer Geraden? Naja, Du brauchst
eine andere Gerade, die
1. zu dem Punkt, zu dem der Abstand berechnet werden soll, durchgeht
und
2. senkrecht zu der gegebenen Geraden verläuft.
Nimm' irgendeine Ecke Deines Schreibtisches, das sei der Nullpunkt. Jetzt
halte einen Stift "irgendwie" in den Raum, stelle in Dir als Gerade im Raum
verlängert vor. Halte Deine andere Hand "flach", sie soll eine Ebene
repräsentieren, deren Normalenvektor "durch den Stift" gegeben ist (der
Stift kann eigentlich ja als Richtungsvektor der Geraden aufgefasst werden).
Stelle Dir vor, Du würdest den Stift durch die Hand so stecken können, und
Deine Hand nur entlang der Stiftgeraden verschieben kannst. Dann musst
Du die Ebene ("die Hand") solange nach oben oder unten schieben, bis
der Nullpunkt ("die Schreibtischecke") zu der Ebene gehört.
Und nur diese Ebene, also die, die den Nullpunkt enthält, ist interessant.
Sie wird von der Geraden (den nach zwei Seiten gehenden "Stiftstrahl")
an einer Stelle durchstoßen. Und der Abstand dieses Punktes zur
Schreibtischecke ist der Abstand des Ursprungs zur Geraden.
(Nebenbei: Die oben erwähnte Gerade aus 1. und 2. ist dann eben
die Gerade, die durch den Ursprung und den eben erwähnten Durchstoßpunkt
geht! Kannst Du Dir das klarmachen?)
Ansonsten hilft Dir vielleicht auch
![[]](/images/popup.gif) http://www.youtube.com/watch?v=ufzRqWEC9F0
> Für den zweiten Teil kann ich mir durchaus vorstellen,
> dass das eine extrem komplizierte Rechnung wird (eventuell
> nur mit "Höherer Mathematik" zu lösen), da es kein a
> gibt, dergestalt, dass die Gerade direkt durch den Ursprung
> geht.
Das weiß ich nicht, Du brauchst erstmal eine Funktion
$d [mm] \colon \IR \to [0,\infty),\;$ [/mm] mit [mm] $d(a)=...\,,$
[/mm]
die Dir den Abstand einer Geraden [mm] $g=g_a$ [/mm] vom Ursprung angibt. "Höhere
Mathematik" wird das nicht werden, eher Oberstufenmathematik...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:38 So 25.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> > dann würde das heißen,
> > dass es für a = -4 noch andere s [mm]\not=[/mm] 0 gibt, bei denen
> > der Abstand kleiner ist.
>
> ???
Irgendwie macht ihr das alles zu kompliziert.
Es geht mir nur darum, ob für a= -4 (und somit s=0) der längste Abstand besteht.
Ich sagte ja, dass alle Geraden durch P (3/3/1) gehen müssen und der Abstand zwischen P und dem Ursprung [mm] \wurzel{19} [/mm] beträgt.
Größer als [mm] \wurzel{19} [/mm] kann somit ein größtmöglicher Abstand also nicht sein.
Er könnte also höchstens kleiner sein. Aber für a= -4 bezweifele ich, dass es da auch einen kleineren Abstand gibt (also für irgendein [mm] s\not=0). [/mm]
Und zwar, weil [mm] \vektor{3 \\ 3\\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{-4 \\ 3\\ 3} [/mm] im rechten Winkel zueinander stehen.
Also hätte P(3/3/1) den kürzesten Abstand zum Ursprung auf der Geraden [mm] \vektor{3 \\ 3\\ 1}+s\vektor{-4 \\ 3\\ 3},
[/mm]
also dann wenn s=0 ist.
Und ich wollte eigentlich nur die Bestätigung haben, ob die Überlegung so richtig ist. JA oder NEIN.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 So 25.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
JA.
Selbstverständlich sind deine Überlegungen richtig; und das Schöne daran ist, dass sie so speziell sind.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:53 So 25.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Selbstverständlich sind deine Überlegungen richtig; und
> das Schöne daran ist, dass sie so speziell sind.
Naja, was heißt speziell?
Jede gleichlautende Aufgabe - auch mit anderen Zahlen - könnte man doch auf dieselbe Weise lösen.
Ich war einfach nur der Meinung, dass man so am schnellsten auf die Lösung kommt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 So 25.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Naja, was heißt speziell?
> Jede gleichlautende Aufgabe - auch mit anderen Zahlen -
> könnte man doch auf dieselbe Weise lösen.
>
Aber nur, wenn die Orthogonalitätsbedingung, die du verwendest, auch in der anderen Aufgabe zutrifft.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 So 25.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Das weiß ich nicht, Du brauchst erstmal eine Funktion
>
> [mm]d \colon \IR \to [0,\infty),\;[/mm] mit [mm]d(a)=...\,,[/mm]
>
> die Dir den Abstand einer Geraden [mm]g=g_a[/mm] vom Ursprung
> angibt.
Aber genau da lag das Problem, so eine Funktion aufzustellen.
Selbst wenn anstelle von a eine ganz konkrete Zahl steht, allein dann ist es schon eine ziemlich aufwändige Rechnung, den Abstand zum Ursprung zu bestimmen (4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, von denen man eine Unbekannte festtuckern kann).
Nun würde da aber ein a stehenbleiben.
Und sofern man dann überhaupt eine Funktion findet, müsste die auch noch abgeleitet und NULL gesetzt werden, um das a für den kürzestmöglichen Abstand zu finden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 So 25.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > Das weiß ich nicht, Du brauchst erstmal eine Funktion
> >
> > [mm]d \colon \IR \to [0,\infty),\;[/mm] mit [mm]d(a)=...\,,[/mm]
> >
> > die Dir den Abstand einer Geraden [mm]g=g_a[/mm] vom Ursprung
> > angibt.
>
> Aber genau da lag das Problem, so eine Funktion
> aufzustellen.
warum?
> Selbst wenn anstelle von a eine ganz konkrete Zahl steht,
> allein dann ist es schon eine ziemlich aufwändige
> Rechnung, den Abstand zum Ursprung zu bestimmen (4
> Gleichungen mit 4 Unbekannten, von denen man eine
> Unbekannte festtuckern kann).
>
> Nun würde da aber ein a stehenbleiben.
Diese Abstandsfunktion ist natürlich eine Funktion in der Variablen [mm] $a\,.$
[/mm]
> Und sofern man dann überhaupt eine Funktion findet,
> müsste die auch noch abgeleitet und NULL gesetzt werden,
> um das a für den kürzestmöglichen Abstand zu finden.
Das ist ja okay, aber sowohl Deiner als auch der Weg von Sax sind sehr
speziell (Deiner wesentlich spezieller, als der von Sax; aber für die
Überlegungen von Sax kann man auch Zusatzforderungen stellen, für
die man nicht so einfach nur *so* zum Ziel kommt; bspw. mit
Zusatzeinschränkungen an [mm] $a\,$).
[/mm]
Also, ich hatte (ohne sicher zu sein, dass nicht doch ein Rechenfehler drin
sein könnte) berechnet, dass, wenn man in [mm] $g_a$ [/mm] hier
[mm] $s=s(a)=-\frac{12+3a}{a^2+18}$
[/mm]
einsetzt, den Schnittpunkt berechnet bekommt:
Es ist also
[mm] $\vec{S}=\vektor{3\\3\\1}-\frac{12+3a}{a^2+18}*\vektor{a\\3\\3}\,.$
[/mm]
Eine Gerade [mm] $g_a$ [/mm] hat also (zum Ursprung) den Abstand
[mm] $d=d(a)=|\vec{S}|=\sqrt{\left(\frac{3a^2+54-12a-3a^2}{a^2+18}\right)^2+\left(\frac{3a^2+54-36-9a}{a^2+18}\right)^2+\left(\frac{a^2+18-36-9a}{a^2+18}\right)^2}\,,$
[/mm]
also
[mm] $d=d(a)=\sqrt{\left(\frac{54-12a}{a^2+18}\right)^2+\left(\frac{3a^2-9a+18}{a^2+18}\right)^2+\left(\frac{a^2-9a-18}{a^2+18}\right)^2}\,.$
[/mm]
Ich habe jetzt keine Lust, das weiter zu vereinfachen (geht sicherlich), aber
vor allem:
Anstatt Minimal- bzw. Maximalstellen von [mm] $d\,$ [/mm] zu bestimmen, bestimme ich
lieber die von
[mm] $f(a):=d^2(a):=\left(\frac{54-12a}{a^2+18}\right)^2+\left(\frac{3a^2-9a+18}{a^2+18}\right)^2+\left(\frac{a^2-9a-18}{a^2+18}\right)^2$
[/mm]
Beachte aber, wie gesagt: Die Geradenabstände [mm] $d(a)\,$ [/mm] sind eben gegeben
durch
[mm] $d(a)=\sqrt{f(a)}$
[/mm]
P.S. Mit Deinen Überlegungen bekommst Du für [mm] $a=-4\,$ [/mm] den Maximalabstand
berechnet, das kommt bei mir auch raus. Aber was ist mit dem
Minimalabstand?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 So 25.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> [mm]d=d(a)=\sqrt{\left(\frac{54-12a}{a^2+18}\right)^2+\left(\frac{3a^2-9a+18}{a^2+18}\right)^2+\left(\frac{a^2-9a-18}{a^2+18}\right)^2}\,.[/mm]
>
> Ich habe jetzt keine Lust, das weiter zu vereinfachen ...
Bevor ich den Thread hier eröffnet hatte, hatte ich versucht, die Aufgabe selber zu lösen. Mit dem Maximum (wo ich a=-4 raus hatte) war mir das ja auch gelungen, wenn auch "sehr speziell", wie du es nennst.
Was das Minimum angeht, war ich bei genau derselben obigen Formel angelangt wie du. Aber genau da hatte ich dann auch keine Lust mehr bzw. erschien es mir zu kompliziert, das alles auszumultiplizieren.
Auch wenn man die Wurzel und den Nenner weglässt, wird man auf eine Funktion vierten Grades kommen. Wenn man die ableitet, hat man immer noch eine Funktion dritten Grades, die man dann NULL setzen muss.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 Mo 26.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo rabilein,
>
> >
> [mm]d=d(a)=\sqrt{\left(\frac{54-12a}{a^2+18}\right)^2+\left(\frac{3a^2-9a+18}{a^2+18}\right)^2+\left(\frac{a^2-9a-18}{a^2+18}\right)^2}\,.[/mm]
> >
> > Ich habe jetzt keine Lust, das weiter zu vereinfachen ...
>
> Bevor ich den Thread hier eröffnet hatte, hatte ich
> versucht, die Aufgabe selber zu lösen. Mit dem Maximum (wo
> ich a=-4 raus hatte) war mir das ja auch gelungen, wenn
> auch "sehr speziell", wie du es nennst.
>
> Was das Minimum angeht, war ich bei genau derselben obigen
> Formel angelangt wie du. Aber genau da hatte ich dann auch
> keine Lust mehr bzw. erschien es mir zu kompliziert, das
> alles auszumultiplizieren.
> Auch wenn man die Wurzel und den Nenner weglässt, wird man
> auf eine Funktion vierten Grades kommen. Wenn man die
> ableitet, hat man immer noch eine Funktion dritten Grades,
bitte? Woher weißt Du das? Da steht ja eine Verkettung und ein Quotient
von Funktionen bzgl. der Funktion, die Du nochmal ableiten willst. Aber,
wie gesagt:
"Auf die Wurzel kann man hier verzichten!"
Es bleibt also im Wesentlichen die Quotientenregel anzuwenden!
> die man dann NULL setzen muss.
Okay, ich rechne dann doch mal weiter:
[mm] $(54-12a)^2+(3a^2-9a+18)^2+(a^2-9a-18)^2$
[/mm]
[mm] $=2916-1296a+144a^2+(3a^2-9a)^2+36*(3a^2-9a)+324+(a^2-9a)^2-36*(a^2-9a)+324$
[/mm]
[mm] $=2916-1296a+144a^2+9a^4-54a^3+81a^2+108a^2-324a+324+a^4-18a^3+81a^2-36a^2+324a+324$
[/mm]
[mm] $=10a^4-72a^3+378a^2-1296a+3564$
[/mm]
Wir haben daher also
[mm] $f(a)=d^2(a)=\frac{10a^4-72a^3+378a^2-1296a+3564}{(a^2+18)^2}\,.$
[/mm]
Wir berechnen jetzt nur den Zähler von [mm] $f\,'$ [/mm] (ein Bruch ist genau dann
Null, wenn sein Zähler es ist):
[mm] $(40a^3-216a^2+756a-1296)*(a^2+18)^2-(10a^4-72a^3+378a^2-1296a+3564)*2*(a^2+18)*2a$
[/mm]
Das Ding müßtest Du jetzt zu Ende rechnen, und gucken, was da stehen
bleibt. Ich sehe jetzt nicht direkt, dass das ein Polynom dritten Grades
wäre - sondern da taucht sicher auch sowas wie [mm] $...*a^7$ [/mm] auf, aber ich
schätze mal (durch kurzes drübergucken), dass der Vorfaktor hier Null sein
wird (übrigens gibt es auch eine Formel, um die Nullstellen eines Polynoms
dritten Grades zu bestimmen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln).
Ich hoffe aber durchaus mal, dass sich da noch einiges vereinfachen
läßt (aber meine Motivation, ellenlange Ausdrücke weiter zu berechnen,
ist zu so später Stunde nicht gerade hoch. Zumal es durchaus auch
Software gibt, die einem sowas abnimmt...)
Ansonsten: Wie wäre es denn, wenn Du das mal zu Ende rechnest?
P.S. WolframApha liefert, dass obiger Term
$=-419904-11664 x-23328 [mm] x^2-1296 x^3+1296 x^4-36 x^5+72 x^6$
[/mm]
Das kann man noch umschreiben zu
[mm] $=36*(2x^6-x^5+36*x^4-36*x^3-648x^2-324*x-11664)$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:29 Mo 26.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> bitte? Woher weißt Du das? Da steht ja eine Verkettung und ein Quotient von Funktionen
Also noch komplizierter als ich anfangs dachte (ich nahm erst an, man könne den Nenner einfach ignorieren, aber man kann nur die Wurzel ignorieren)
Mit irgendwelchen tollen Computern ist das Ganze sicherlich schnell lösbar. Per Hand ist so etwas eher eine Strafarbeit für Schüler, die ihren Lehrer geärgert haben...
> Wir haben daher also...
> [mm](40a^3-216a^2+756a-1296)*(a^2+18)^2-(10a^4-72a^3+378a^2-1296a+3564)*2*(a^2+18)*2a[/mm]
Besonders einfach sieht so etwas nicht gerade aus. Und außerdem ist man bei so etwas nie hundertprozentig sicher, ob man da nicht schon vorher irgendeinen Fehler gemacht hat (Gedankenfehler, Rechenfehler, Schreibfehler etc.)
> Das kann man noch umschreiben zu
>
> [mm]0 = 36*(2x^6-x^5+36*x^4-36*x^3-648x^2-324*x-11664)[/mm]
Da war ich mit "dritten Grades" ja richtig optimistisch *lach*.
Übrigens: Da kommt für x tatsächlich genau 4.5 raus.
Aber wie ich immer sage: Wenn man das Ergebnis bereits kennt, kann man leicht "beweisen", dass es das richtige Ergebnis ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 Di 27.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > bitte? Woher weißt Du das? Da steht ja eine Verkettung und
> ein Quotient von Funktionen
>
> Also noch komplizierter als ich anfangs dachte (ich nahm
> erst an, man könne den Nenner einfach ignorieren, aber man
> kann nur die Wurzel ignorieren)
>
> Mit irgendwelchen tollen Computern ist das Ganze sicherlich
> schnell lösbar. Per Hand ist so etwas eher eine
> Strafarbeit für Schüler, die ihren Lehrer geärgert
> haben...
es wäre jedenfalls sicher keine Aufgabe, die in der Schule in einer Klausur
gestellt werden sollte, wenn die Lehrer keine (großen) weiteren Hilfsmittel
zulassen. Da stimme ich Dir zu. 
>
> > Wir haben daher also...
>
> >
> [mm](40a^3-216a^2+756a-1296)*(a^2+18)^2-(10a^4-72a^3+378a^2-1296a+3564)*2*(a^2+18)*2a[/mm]
>
> Besonders einfach sieht so etwas nicht gerade aus. Und
> außerdem ist man bei so etwas nie hundertprozentig sicher,
> ob man da nicht schon vorher irgendeinen Fehler gemacht hat
> (Gedankenfehler, Rechenfehler, Schreibfehler etc.)
>
>
>
> > Das kann man noch umschreiben zu
> >
> > [mm]0 = 36*(2x^6-x^5+36*x^4-36*x^3-648x^2-324*x-11664)[/mm]
>
> Da war ich mit "dritten Grades" ja richtig optimistisch
> *lach*.
Siehst Du denn nicht sofort, dass da bei [mm] $x=-4\,$ [/mm] und [mm] $x=4,5\,,$ [/mm] wenn
man diese Werte einsetzt, Null rauskommt?
Also ehrlich: Das Kopfrechnen heute ist auch nicht mehr das, was es mal
war...
Ne, Scherz beiseite: Vielleicht mit ein bisschen knobeln kann man sowas
rausfinden, aber *schnell* geht das sicher nicht. (Jedenfalls nicht mit den
Standardgrundlagen aus der Schule.)
> Übrigens: Da kommt für x tatsächlich genau 4.5 raus.
> Aber wie ich immer sage: Wenn man das Ergebnis bereits
> kennt, kann man leicht "beweisen", dass es das richtige
> Ergebnis ist.
Naja, dass [mm] $-4\,$ [/mm] und [mm] $4,5\,$ [/mm] Nullstellen sind, ist ja einfach nachzurechnen.
(Das passt sicher zu dem, wie Du das oben gesagte meinst.) Dass es auch
die einzigen Nullstellen sind, das erfordert wieder ein wenig mehr
Mathematik.
Aber jetzt gibt's doch hier noch was tolles: Diese Vorgehensweise ist sehr
allgemein, wird aber irgendwann schwierig.
Die anderen Überlegungen sind spezieller, liefern aber einfachere Wege
zu Ergebnissen.
Was man dann wenigstens machen sollte, um zu gucken, ob in den
anderen Wegen nicht doch vielleicht irgendwo ein Gedankenfehler drin
war:
Die Ergebnisse hier zur Kontrolle mal einsetzen.
Das Problem wird nur sein: Wenn das nicht zusammenpasst, dann muss
man jeden Weg auf Fehler überprüfen, denn es könnte ja auch sein, dass
wir hier zum Bsp. wegen eines Rechenfehlers ein falsches Polynom erstellt
haben. Oder die anderen Überlegungen könnten vielleicht auch alle
stimmen, aber irgendwo haben wir dort was falsch gerechnet. Oder vllt.
gibt es doch irgendwo einen Gedankenfehler...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:53 Di 27.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Naja, dass [mm]-4\,[/mm] und [mm]4,5\,[/mm] Nullstellen sind, ist ja einfach
> nachzurechnen.
> Dass es auch die einzigen Nullstellen sind, das erfordert wieder ein wenig mehr Mathematik.
Dass es nur einen längsten und kürzesten gibt, hatte ich eigentlich schon von Anfang an vermutet.
Alles andere hätte mich hochgradig erstaunt (wobei es natürlich in der Mathematik immer mal wieder Dinge gibt, von denen man sagt, dass man so etwas nie im Leben vermutet hätte)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Fr 23.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
alle Geraden liegen in der Ebene E : [mm] (\vec{x}-\vektor{3 \\ 3 \\ 1 })*\vektor{0 \\ 1 \\ -1 }=0.
[/mm]
Bestimme den Lotfußpunkt F von O auf diese Ebene und stelle fest, welche Gerade durch F verläuft.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sax,
> Hi,
>
> alle Geraden liegen in der Ebene E : [mm](\vec{x}-\vektor{3 \\ 3 \\ 1 })*\vektor{0 \\ 1 \\ -1 }=0.[/mm]
>
> Bestimme den Lotfußpunkt F von O auf diese Ebene und
> stelle fest, welche Gerade durch F verläuft.
dieser Lösungsweg ist meiner Meinung nach zum einen sehr speziell, und
zum anderen sind die Hinweise etwas kurz gefasst. (Warum erwähnst Du
obige Ebene? Wie hast Du sie aufgestellt? Welcher geometrische Gedanke
steckt dahinter, und wie hast Du nachgerechnet, dass diese geometrische
Idee auch funktionieren wird?)
Ist nicht böse gemeint, aber mir geht das gerade zur sehr in Richtung
"Nicht denken, mach', was ich Dir vorschlage". Sowas ist meiner Ansicht
nach nur dann gut, wenn hier jemand auch nur nach einem Muster immer
das gleiche tun soll. Dann wird er dahingehend das vielleicht irgendwann
perfekt können, aber wehe, man weicht vom Muster ab. Dann brauch' er
ja wieder jemanden, der für ihn denkt...
Ich will das ansonsten auch gar nicht groß kritisieren, weil das ja durchaus
ja auch sein kann, dass rabilein mehr auch gar nicht braucht. Dann wäre
Deine Antwort sogar im Bezug auf "Methoden beibringen" die effizientere.
P.S. Mir musst Du obige Fragen auch gar nicht beantworten, denn das
bekomme ich selber hin. Es ist nur die Frage, ob rabilein sie vielleicht
beantwortet bekommen will, oder ob das für ihn auch einfach so
hingenommen werden kann...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:50 So 25.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Es ist nur die Frage, ob rabilein sie vielleicht
> beantwortet bekommen will, oder ob das für ihn auch
> einfach so hingenommen werden kann...
Es gibt ja meistens viele Wege, die nach Rom führen. Und ich habe schon des Öfteren festgestellt, dass hier ganz andere Wege vorgeschlagen werden, als ich sie gehe.
Wenn ich mit meinen Überlegungen auf dem Holzweg bin, dann mag man mir gerne den rechten Weg weisen. Ebenso, wenn es einen wesentlich kürzeren und einfacheren Weg gibt, und meiner zu kompliziert und aufwändig ist.
Ansonsten erscheinen mir allerdings manchmal die sogenannten Standardlösungen recht verwirrend (auch wenn sie in den Schulen so gelehrt werden und korrekt sind)
Das war jetzt nur eine generelle Anmerkung und bezog sich nicht auf diese konkrete Aufgabe, sondern nur auf die oben zitierte Bemerkung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:59 So 25.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Wenn ich mit meinen Überlegungen auf dem Holzweg bin, dann
> mag man mir gerne den rechten Weg weisen. Ebenso, wenn es
> einen wesentlich kürzeren und einfacheren Weg gibt, und
> meiner zu kompliziert und aufwändig ist.
Für diesen Teil der Aufgabe (Bestimmen des kleinsten Abstandes) hattest du doch noch gar keinen Lösungsweg vorgeschlagen.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 So 25.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Für diesen Teil der Aufgabe (Bestimmen des kleinsten
> Abstandes) hattest du doch noch gar keinen Lösungsweg
> vorgeschlagen.
Stimmt.
Das habe ich weiter oben im Thread nachgeholt.
Ob das allerdings in der Praxis durchführbar ist, weiß ich nicht. Es erscheint mir auf jeden Fall recht kompliziert zu sein.
(Es ist natürlich immer eine Ansichtssache , was kompliziert bedeutet. Im Endeffekt ist sicherlich jede Aufgabe lösbar, für die es eine konkrete Lösung gibt. Deswegen untersuche ich auch immer als allererstes, ob es so eine konkrete Lösung überhaupt geben kann)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 So 25.05.2014 | | Autor: | weduwe |
mit dem/den standardverfahren, also lotfußpunkt bestimmen und differenzieren, erhalte ich
[mm] d_{max}=\sqrt{19}
[/mm]
[mm] d_{min}=\sqrt{2}
[/mm]
den letzten wert bekommt man auch einfach über die HNF der "trägerebene"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Mo 26.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> [mm]a_{min}= 4.5\to d= \sqrt{2}[/mm] oder so ähnlich 
Nicht nur so ähnlich, sondern ganz genau. Nachdem ich die entsprechenden Formeln und den Wert 4.5 hatte, habe ich ihn eingesetzt, und es kam genau hin.
[b]DANKE[b]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Mo 26.05.2014 | | Autor: | weduwe |
eine Anmerkung:
der elegante weg geht so:
a) alle geraden liegen in der trägerebene E: [mm]y-z-2=0[/mm]
wie man leicht durch Bildung des kreuzproduktes findet
daher ist der minimale abstand der geraden
[mm]d_{min}=d(O;E)=\sqrt{2}[/mm] , was mit hilfe der HNF folgt.
b) alle geraden g haben als aufpunkt den punkt A(3/3/1), daher ist der maximale abstand
[mm]d_{max}=d(O;A)=\sqrt{19}[/mm]
c) mit hilfe der abstandformel gerade - punkt, hier O in [mm] R_3
[/mm]
[mm]d=\frac{|\vec{a}\times\vec{r}|}{|\vec{r}|}[/mm]
bekommt man damit eine QUADRATISCHE Gleichung für das gesuchte a mit den lösungen
[mm] a_1= [/mm] -4 und [mm] a_2 [/mm] = 4.5
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Mo 26.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> a) alle geraden liegen in der trägerebene E: [mm]y-z-2=0[/mm]
> wie man leicht durch Bildung des kreuzproduktes findet
> daher ist der minimale abstand der geraden
> [mm]d_{min}=d(O;E)=\sqrt{2}[/mm] , was mit hilfe der HNF folgt.
>
> b) alle geraden g haben als aufpunkt den punkt A(3/3/1),
> daher ist der maximale abstand
> [mm]d_{max}=d(O;A)=\sqrt{19}[/mm]
>
> c) mit hilfe der abstandformel gerade - punkt, hier O in
> [mm]R_3[/mm]
>
> [mm]d=\frac{|\vec{a}\times\vec{r}|}{|\vec{r}|}[/mm]
>
> bekommt man damit eine QUADRATISCHE Gleichung für das
> gesuchte a mit den lösungen
>
> [mm]a_1=[/mm] -4 und [mm]a_2[/mm] = 4.5
Das sieht ziemlich kurz aus. Auf jeden Fall sieht es "berechenbar" aus.
Wobei die Kürze allerdings dadurch suggeriert wird, dass m.E. mehere Schritte übersprungen werden.
Also, aus dem Kopf wüsste ich so nicht, warum z.B. alle Geraden in der Trägerebene E: [mm]y-z-2=0[/mm] liegen oder wie die Abstandsformel Gerade - Punkt ist. Aber wenn man all diese Sachen "parat" hat, dann erscheint es fürwahr einfach zu sein.
Jedenfalls kommt man da nicht auf ein Polynom sechsten oder siebten Grades.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Mo 26.05.2014 | | Autor: | weduwe |
naja, auch der in meinem 1. beitrag erwähnte "standardweg" zur direkten berechnung von a führt bei mir auf die lösung einer quadratischen Gleichung
mit [mm]b=\frac{a}{3}[/mm] bekommt man für den Parameter des lotpunktes
(also g in die lotebene [mm]bx+y+z=0[/mm] einsetzen)
[mm]s=-\frac{3b+4}{b^2+2}[/mm]
und damit für das abstandsquadrat
[mm]d^2=\frac{10b^2-24b+22}{b^2+2}[/mm]
womit man durch differenzieren erhält
[mm]6b^2-b-12=0[/mm]
woraus wieder die beiden obigen werte für a folgen
nebenbei: die "trägerebene" erhält man durch aufspalten des richtungsvektors
[mm]\vec{n}=\vektor{0\\1\\1}\times\vektor{1\\0\\0}=\vektor{0\\1\\-1}[/mm] und einsetzen von A
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:44 Mo 26.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> alle Geraden liegen in der Ebene E : [mm](\vec{x}-\vektor{3 \\ 3 \\ 1 })*\vektor{0 \\ 1 \\ -1 }=0[/mm]
Das Problem besteht für mich einfach darin, dass ich mir so ein dreidimensionales Gebilde (im Gegensatz zu zweidimansional) nicht einfach so basteln bzw. zeichnen kann. Mag sein, dass man das auch ohne Zeichnung berechnen kann. Aber dieser Weg war mir "unvorstellbar".
Außerdem weiß ich nicht, ob das zu einem einfacheren / schnelleren Ergebnis geführt hätte.
Nichts für ungut: Im Endeffekt wurde ja die zahlenmäßige Lösung dank eurer Hilfe gefunden - egal auf welchem Wege.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 So 25.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Gerade g sei bestimmt durch
>
> [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }[/mm] + s [mm]\vektor{a \\ 3 \\ 3 }[/mm]
>
> Frage:
> Bestimme a so, dass die die Gerade g den längstmöglichen
> bzw. kürzestmöglichen Abstand zum Ursprung hat
> Was den längstmöglichen Abstand angeht:
> Durch den Punkt P(3/3/1) müssen alle Geraden gehen,
> unabhängig von a.
> Dieser Punkt P hat vom Ursprung den Abstand
> [mm]\wurzel{3^{2}+3^{2}+1^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{19}.[/mm]
> Es kann also kein a geben, für den der Abstand länger als
> [mm]\wurzel{19}[/mm] ist.
>
> Wenn die Vektoren [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }[/mm] und [mm]\vektor{a \\ 3 \\ 3 }[/mm]
> senkrecht zueinander stehen, also wenn
> [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }*\vektor{a \\ 3 \\ 3 }[/mm] = 0 ist,
>
> dann hätten wir doch den gesuchten längstmöglichen
> Abstand.
>
> Dann wäre also a = -4 (wobei s=0 ist)
>
>
>
> Was den kürzestmöglichen Abstand angeht, da wäre es zu
> schön um wahr zu sein, wenn es ein a gäbe, so dass die
> Gerade g direkt durch den Ursprung geht.
>
> Also [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }[/mm] + s [mm]\vektor{a \\ 3 \\ 3 }[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> So ein a gibt es aber nicht, allein schon, weil sich für
> die x- und y-Zeile kein gemeinsames s finden lässt.
>
> Der Abstand eines Punktes der Geraden g vom Ursprung ergibt
> sich aus
>
> d= [mm]\wurzel{(3+as)^{2}+(3+3s)^{2}+(1+3s)^{2}}[/mm]
>
> Das könnte man jetzt zwar ausmultiplizieren. Dann ergibt
> sich ein ellenlanger Ausdruck. Und das Resultat aus der
> Wurzel soll dann minimal sein.
> Da denkt man zwar zunächst an Erste Ableitung NULL
> setzen.
Du hast auch meine Anleitung nicht befolgt. Ich hab' das nicht gemacht, um
Dich zu ärgern, sondern, weil man mit dieser eben zwei Fliegen mit einer
Klappe schlägt:
Man bekommt eine Funktion in der Variablen [mm] $a\,,$ [/mm] und zwar nur in der
Variablen [mm] $a\,,$ [/mm] mit der man weiter verfahren kann - mit dieser kann man
sowohl Minimal- als auch Maximalabstand berechnen.
Ich habe - sehr knapp - das Ergebnis der Rechnung, das man eigentlich
rausbekommen sollte, wenn man meine Anleitung befolgt, hier
https://matheraum.de/read?i=1022942
hingeschrieben.
Du hast nun mehrere Möglichkeiten:
1. Du nimmst dieses so hin, und versucht wenigstens, damit die andere
Teilaufgabe zu lösen.
2. Du läßt Dir das von mir vorrechnen, versuchst, das Ganze nachzuvollziehen
und löst dann die andere Teilaufgabe.
3. Du rechnest solange, bis Du (hoffentlich) das gleiche Ergebnis bekommst
(also das für die Funktion [mm] $d(a)\,$), [/mm] oder, wenn alle Stricke reißen,
präsentierst Du hier Deine Rechnung diesbezüglich. Danach löst Du damit
dann die andere Aufgabe.
(Ich finde Vorschlag 3. wäre der beste, Vorschlag 2. wäre durchaus noch
akzeptabel und den Vorschlag 1. würde ich eigentlich nur sehr ungern
empfehlen!)
So als Hinweis: Mit Funkyplot habe ich mir mal anzeigen lassen, dass wohl
bei [mm] $4,5\,$ [/mm] der Minimalabstand vorherrscht.
P.S. Eventuell kann man sich auch mal [mm] $d(a)\,$ [/mm] bzw. [mm] $f(a)\,$ [/mm] auf
Symmetrieeigenschaften angucken - ich denke mal, dass [mm] $f\,$ [/mm] eventuell
symmetrisch zu dem Punkt
[mm] $(0.25|f(0.25))\,$
[/mm]
sein könnte. Rein vom Betrachten des Graphen bzw. auch, weil ich mir
einfach mal bei Funkyplot die Nullstellen von [mm] $f\,'$ [/mm] angeguckt habe.
P.P.S. Zum Vorschlag mit der Symmetrie: Ich habe da nichts nachgerechnet,
also:
Es kann sich dabei durchaus auch herausstellen, dass keine Symmetrie
vorherrscht. Mit Symmetrie-Eigenschaften von Funktionen lassen sich nur
oft Teilergebnisse direkt gut weiter verwerten. Man kommt aber natürlich
auch ohne solche hier gut zum Ziel - insbesondere sollte man keine
Eigenschaften benutzen, für die man nicht geprüft hat, ob sie wirklich gelten.
Gruß,
Marcel
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> Die Gerade g sei bestimmt durch
>
> [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }[/mm] + s [mm]\vektor{a \\ 3 \\ 3 }[/mm]
>
> Frage:
> Bestimme a so, dass die die Gerade g den längstmöglichen
> bzw. kürzestmöglichen Abstand zum Ursprung hat
> Was den längstmöglichen Abstand angeht:
> Durch den Punkt P(3/3/1) müssen alle Geraden gehen,
> unabhängig von a.
> Dieser Punkt P hat vom Ursprung den Abstand
> [mm]\wurzel{3^{2}+3^{2}+1^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{19}.[/mm]
> Es kann also kein a geben, für den der Abstand länger als
> [mm]\wurzel{19}[/mm] ist.
> Wenn die Vektoren [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }[/mm] und [mm]\vektor{a \\ 3 \\ 3 }[/mm]
> senkrecht zueinander stehen, also wenn
> [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }*\vektor{a \\ 3 \\ 3 }[/mm] = 0 ist,
>
> dann hätten wir doch den gesuchten längstmöglichen
> Abstand.
>
> Dann wäre also a = -4 (wobei s=0 ist)
Hallo,
ich wollt' auch nochmal meinen Senf dazugeben.
Mir gefällt diese Lösung gut, weil man mit kleinen Überlegungen und wenig Rechenaufwand zügig zum Ziel kommt,
und die Kritik daran, daß die Lösung "speziell" ist, kann ich überhaupt nicht teilen.
Wir haben eine spezielle Aufgabe, dann darf die doch auch speziell gelöst werden.
> Was den kürzestmöglichen Abstand angeht, da wäre es zu
> schön um wahr zu sein, wenn es ein a gäbe, so dass die
> Gerade g direkt durch den Ursprung geht.
Genau.
Könnte ja sein, daß man Glück hat, daher sollte man das unbedingt prüfen.
>
> Also [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }[/mm] + s [mm]\vektor{a \\ 3 \\ 3 }[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> So ein a gibt es aber nicht,
Schade, muß man neu überlegen.
An dieser Stelle dann gefällt mir Sax' Überlegung:
all die Geraden, die die zu betrachtende Gestalt haben, liegen in der Ebene, die durch (3|3|1) geht und z.B. von den Richtungsvektoren [mm] \vektor{0\\3\\3} [/mm] und [mm] \vektor{1\\3\\3} [/mm] aufgespannt wird.
Jede Gerade, die durch (3|3|1) und einen weiteren Punkt dieser Ebene geht, ist eine Gerade der Gestalt, die hier betrachtet wird.
Der Abstand dieser Ebene vom Ursprung ist der kleinste Abstand, den eine Gerade [mm] \vec{x}=[/mm] [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }[/mm] + s [mm]\vektor{a \\ 3 \\ 3 }[/mm] vom Ursprung haben kann,
und die Gerade durch (3|3|1) und den Punkt mit dem kleinsten Abstand ist die Gerade, die hier gesucht wird.
Ein Normalenvektor der Ebene ist schnell bestimmt, z.B. [mm] \vec{n}=\vektor{0\\-1\\1},
[/mm]
und nun kan man mit der HNF weiterarbeiten, die einem gleich mal den Abstand vom Ursprung schenkt,
oder halt, indem man erstmal den Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden durch den Ursprung in Richtung [mm] \vec{n} [/mm] bestimmt.
Mir kommt das bei dieser Aufgabenstellung echt sinniger vor als die Bestimmung der Abstandsfunktion, welche einem dann nach einer Extremwertberechnung mit etwas üppigen Gleichungen die gesuchten Werte schenkt.
Aber man muß natürlich für sich akzeptieren, daß ähnliche Aufgabenstellungen kommen können, bei denen man mit diesen Wegen nicht weiterkommt.
Die Bestimmung der Gerade mit größtem Abstand mittels der hier getätigten Überlegung klappt z.B. bei
[mm] \vec{x}=\vektor{3\\3\\1}+s\vektor{a^2+5\\3\\3} [/mm] nicht,
und ich glaub' man bekommt auch beim Versuch, das Minimum so wie oben zu bestimmen, ein Problem.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 Mo 26.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
dann möchte ich auch noch ein paar Bemerkungen loswerden :
Angela schreibt:
> An dieser Stelle dann gefällt mir Sax' Überlegung:
> all die Geraden, die die zu betrachtende Gestalt haben, liegen in der
> Ebene, die durch (3|3|1) geht und z.B. von den Richtungsvektoren
> $ [mm] \vektor{0\\3\\3} [/mm] $ und $ [mm] \vektor{1\\3\\3} [/mm] $ aufgespannt wird.
> Jede Gerade, die durch (3|3|1) und einen weiteren Punkt dieser Ebene
> geht, ist eine Gerade der Gestalt, die hier betrachtet wird.
Danke für den Eingangssatz, aber der letzte Satz stimmt leider nicht.
Die Gerade [mm] g_{\infty} [/mm] : [mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }+\mu*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] liegt zwar in der Ebene E, ist aber keine Gerade der betrachteten Schar [mm] \{g_a\}.
[/mm]
Wenn also der Lotfußpunkt F vom Nullpunkt O auf die Ebene E zufällig auf dieser Geraden [mm] g_{\infty} [/mm] gelegen hätte, dann würde es gar keinen kleinsten Abstand geben.
Marcel schrieb :
> und wie hast Du nachgerechnet, dass diese geometrische
> Idee auch funktionieren wird?
Antwort : mit Bleistift und Papier.
Ich habe mich tatsächlich davon überzeugt, dass dieser Fall nicht eintreten kann, bevor ich meinen Lösungsvorschlag geschrieben habe.
und schrieb weiter :
> dieser Lösungsweg ist meiner Meinung nach zum einen sehr speziell...
sowie
> Ist nicht böse gemeint, aber mir geht das gerade zur sehr in Richtung
> "Nicht denken, mach', was ich Dir vorschlage". Sowas ist meiner Ansicht
> nach nur dann gut, wenn hier jemand auch nur nach einem Muster immer
> das gleiche tun soll. Dann wird er dahingehend das vielleicht irgendwann
> perfekt können, aber wehe, man weicht vom Muster ab.
Die beiden Aussagen widersprechen sich doch, oder nicht ?
Natürlich ist der Lösungsweg speziell und nur dann anwendbar, wenn es eine Trägerebene E der Geradenschar gibt und wenn der oben beschriebene Fall nicht eintritt. Aber das zeichnet ihn meiner Ansicht nach positiv aus, weil es ihn kurz und elegant macht.
Der Weg über die Abstandformel und Differentialrechnung ist in meinen Augen demgegenüber derjenige Weg, bei dem nach einem Muster immer das gleiche getan wird.
Nebenbei bemerkt : hat irgendjemand diesen Weg mal zu Ende gerechnet (und damit meine ich nicht, dass die auf anderem Weg gewonnene Lösung a=4,5 als Lösung nur bestätigt wurde) ?
Dass Rabilein sich die Situation geometrisch nur schwer vorstellen konnte, tut mir leid, ich hoffe, dass Angelas Beitrag da Licht ins Dunkel gebracht hat.
Was ich eingangs über den kleinsten Abstand geschrieben habe, trifft auch auf den größten Abstand zu, das meinte ich, als es in der Diskussion mit rabilein hieß
> > Naja, was heißt speziell?
> > Jede gleichlautende Aufgabe - auch mit anderen Zahlen -
> > könnte man doch auf dieselbe Weise lösen.
> >
> Aber nur, wenn die Orthogonalitätsbedingung, die du verwendest, auch
> in der anderen Aufgabe zutrifft.
Wenn es keinen Richtungsvektor der Geradenschar gäbe, der orthogonal zum Stützvektor ist, (was z.B. beim Stützvektor [mm] \vektor{0\\3\\1} [/mm] der Fall wäre), dann wäre die kurze, elegante Methode nicht anwendbar.
Eventuell könnte es auch sein, dass es keine Gerade der Schar gibt, bei der der größtmögliche Abstand angenommen wird.
Wie sich die alternativ vorgeschlagene Lösungsmethode in solchen Grenzfällen verhält, habe ich nicht nachgerechnet.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Mo 26.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Dass Rabilein sich die Situation geometrisch nur schwer vorstellen konnte, tut mir leid
Man hat eben einen Vorteil, wenn man sich das räumlich vorstellen kann oder sich alternativ ein "Modell" bastelt. Dann wäre leichter ersichtlich, wie man an solche Aufgaben rangehen muss. = Das ist so ähnlich wie, wenn man weiß wie der Graph einer Funktion aussieht. Dann sieht man auch, ob es Hochpunkte, Tiefpunkte etc. gibt, oder sieht, wo Grenzwerte, Asyptoten, Symmetrien etc. Natürlich lässt sich auch alles ohne Zeichnung berechnen.
Aber ich kann mir die Berechnung ersparen, wenn ich von vorneherein weiß, dass es z.B. gar keinen Wendepunkt gibt. Oder ich weiß, dass ein berechneter Wert falsch sein muss, weil der Graph etwas ganz anderes aussagt. So ein "Modell" ist einfach nur eine mögliche Hilfe.
> Wenn es keinen Richtungsvektor der Geradenschar gäbe, der orthogonal zum Stützvektor ist...
Wenn ich eine ganz konkrete Aufgabe habe, dann muss ich nicht von anderen Fällen ausgehen, die es außerhalb dieser Aufgabe auch noch geben könnte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 Di 27.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sax,
> Hi,
>
> dann möchte ich auch noch ein paar Bemerkungen loswerden
> :
>
> Angela schreibt:
>
> > An dieser Stelle dann gefällt mir Sax' Überlegung:
>
> > all die Geraden, die die zu betrachtende Gestalt haben,
> liegen in der
> > Ebene, die durch (3|3|1) geht und z.B. von den
> Richtungsvektoren
> > [mm]\vektor{0\\3\\3}[/mm] und [mm]\vektor{1\\3\\3}[/mm] aufgespannt wird.
> > Jede Gerade, die durch (3|3|1) und einen weiteren Punkt
> dieser Ebene
> > geht, ist eine Gerade der Gestalt, die hier betrachtet
> wird.
>
> Danke für den Eingangssatz, aber der letzte Satz stimmt
> leider nicht.
> Die Gerade [mm]g_{\infty}[/mm] : [mm]\vec{x}=\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }+\mu*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> liegt zwar in der Ebene E, ist aber keine Gerade der
> betrachteten Schar [mm]\{g_a\}.[/mm]
> Wenn also der Lotfußpunkt F vom Nullpunkt O auf die Ebene
> E zufällig auf dieser Geraden [mm]g_{\infty}[/mm] gelegen hätte,
> dann würde es gar keinen kleinsten Abstand geben.
>
> Marcel schrieb :
> > und wie hast Du nachgerechnet, dass diese geometrische
> > Idee auch funktionieren wird?
>
> Antwort : mit Bleistift und Papier.
> Ich habe mich tatsächlich davon überzeugt, dass dieser
> Fall nicht eintreten kann, bevor ich meinen
> Lösungsvorschlag geschrieben habe.
>
> und schrieb weiter :
> > dieser Lösungsweg ist meiner Meinung nach zum einen
> sehr speziell...
> sowie
> > Ist nicht böse gemeint, aber mir geht das gerade zur sehr
> in Richtung
> > "Nicht denken, mach', was ich Dir vorschlage". Sowas ist
> meiner Ansicht
> > nach nur dann gut, wenn hier jemand auch nur nach einem
> Muster immer
> > das gleiche tun soll. Dann wird er dahingehend das
> vielleicht irgendwann
> > perfekt können, aber wehe, man weicht vom Muster ab.
>
> Die beiden Aussagen widersprechen sich doch, oder nicht ?
> Natürlich ist der Lösungsweg speziell und nur dann
> anwendbar, wenn es eine Trägerebene E der Geradenschar
> gibt und wenn der oben beschriebene Fall nicht eintritt.
> Aber das zeichnet ihn meiner Ansicht nach positiv aus, weil
> es ihn kurz und elegant macht.
ich habe mich vielleicht nicht gut ausgedrückt: Es gibt hier eine
allgemeine(re) Vorgehensweise, die man gedanklich auch als Muster
verinnerlichen sollte. Mir ging es darum, dass diese nahegebracht wird.
Ich habe absolut nichts gegen Deinen Lösungsvorschlag, aber dort muss
demjenigen, der so vorgeht, an einigen Stellen klar sein, warum man das
dort speziell so machen darf.
Wenn beide Wege in den entsprechenden Einzelheiten verstanden werden,
sind sie für mich qualitativ gleichwertig. Und normalerweise ist es doch so,
dass, wenn man solche Wege versteht, sich auch ein gewisses *Muster*
verinnerlicht.
Bei Deinem Weg hätte ich halt einfach noch - deswegen auch die kleinen
Rückfragen - Hinweise gesehen, die klarmachen, welche Überlegungen
Du denn noch zusätzlich angestellt hast, um zum Ziel zu kommen.
Der Grund ist halt: Manchmal prägt sich halt solch' eine Vorgehensweise,
wie Du sie vorgeschlagen hast, ein, und bei einer nur minimal anders
gearteten Aufgabe wird dann genauso vorgegangen, obwohl die
Voraussetzungen dafür nicht gegeben sind. Und dann ist es meiner
Erfahrung nach halt oft so, dass gerade, weil gewisse nicht unwichtige
Stellen nicht hervorgehoben bzw. gar erwähnt werden, man auch gar
nicht merkt, dass genau dort der Gedankenfehler drin steckt.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:43 Di 27.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Es gibt hier eine allgemeine(re) Vorgehensweise, die man gedanklich auch als
> Muster verinnerlichen sollte. Mir ging es darum, dass diese
> nahegebracht wird.
So eine allgemeine Vorgehensweise ist sicherlich dann sinnvoll, wenn man sich sehr oft mit gleichen Aufgaben beschäftigt. Ich habe auch so eine Mustersammlung, damit ich das Rad nicht jedes Mal neu erfinden muss.
In diesem Fall war die Sache für mich aber einmalig.
Das heißt, ähnlich gelagerte Aufgaben hatte ich vorher noch gar nicht (und eventuell später auch nicht mehr), so dass ich da ganz individuell ran ging, und an einem allgemeinen Muster nicht so interessiert war.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Do 29.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo rabilein,
> > Es gibt hier eine allgemeine(re) Vorgehensweise, die man
> gedanklich auch als
> > Muster verinnerlichen sollte. Mir ging es darum, dass diese
> > nahegebracht wird.
>
> So eine allgemeine Vorgehensweise ist sicherlich dann
> sinnvoll, wenn man sich sehr oft mit gleichen Aufgaben
> beschäftigt. Ich habe auch so eine Mustersammlung, damit
> ich das Rad nicht jedes Mal neu erfinden muss.
>
> In diesem Fall war die Sache für mich aber einmalig.
> Das heißt, ähnlich gelagerte Aufgaben hatte ich vorher
> noch gar nicht (und eventuell später auch nicht mehr), so
> dass ich da ganz individuell ran ging, und an einem
> allgemeinen Muster nicht so interessiert war.
okay. Wie gesagt: Grundsätzlich finde ich die ganzen anderen
Lösungswege auch gut.
Da das für Dich ein einmaliges Problem war, ist natürlich klar, dass Du
dann dafür dann die hier eleganteste Lösung bevorzugen wirst.
Nebenbei: Unabhängig davon denke ich, dass man oft, gerade dadurch,
dass man viele Lösungswege für eine Aufgabe hat (sofern die nicht alle
sehr ähnlich sind), vieles mal aus einer anderen Perspektive betrachten
kann. Und dann merkt man durchaus auch, wenn man etwas nicht
versteht (oder noch gar nicht verstehen kann - weil das entsprechende
Wissen noch nicht da ist).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 Di 27.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sax,
> Der Weg über die Abstandformel und Differentialrechnung
> ist in meinen Augen demgegenüber derjenige Weg, bei dem
> nach einem Muster immer das gleiche getan wird.
> Nebenbei bemerkt : hat irgendjemand diesen Weg mal zu Ende
> gerechnet (und damit meine ich nicht, dass die auf anderem
> Weg gewonnene Lösung a=4,5 als Lösung nur bestätigt
> wurde) ?
inwiefern meinst Du das? Wir hätten erstmal hier:
https://matheraum.de/read?i=1022982
noch die Nullstellen eines Polynoms 6en Grades zu bestimmen. Natürlich
kann man einfach mal die Stellen [mm] $-4\,$ [/mm] und [mm] $4,5\,$ [/mm] einsetzen, und dann
sieht man, dass das Nullstellen dieses Polynoms sind. Jetzt kann man
Polynomdivision betreiben, oder man versucht sich mit (abschnittsweise)
Monotonieargumenten, um dann einzusehen, dass das auch die einzigen
Nullstellen sind.
Aber: Dem Polynom hätte ich jetzt diese beiden Nullstellen auch nicht
einfach nur so angesehen. Vielleicht hat da aber der ein oder andere
Zahlentheoretiker noch ein Argument in petto...
Analytisch beweisen läßt sich das aber schon - aber ich finde das auch
nicht gerade unschön, wenn sowas *durch Intuition*, *durch "Vom-Himmel
-fallen"* oder mit speziellen Hilfsmitteln zustande kommt...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:39 Di 27.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> Aber man muß natürlich für sich akzeptieren, daß
> ähnliche Aufgabenstellungen kommen können, bei denen man
> mit diesen Wegen nicht weiterkommt.
mehr wollte ich gar nicht sagen. Ich finde weder, dass der Weg von Sax
noch dass die Überlegungen von rabilein unelegant gewesen wären.
Nichtsdestotrotz denke ich mir, dass der eigentliche Sinn der Aufgabe
hier auch war, eine Verbindung zwischen algebraischer Geometrie und
Methoden der Analysis herzustellen.
Und mal ganz ehrlich: Die Abstandsfunktion (oder das Quadrat dieser)
habe ich mir auch nur plotten lassen, und dann auch direkt die
Ableitungsfunktion. Dass dann [mm] $-4\,$ [/mm] und [mm] $4,5\,$ [/mm] auch Nullstellen der
Ableitungsfunktion sind, kann man eh durch einfaches Einsetzen
prüfen (ich gehe mal davon aus, dass jede(r) hier Polynome ableiten kann
und sowas wie die Quotientenregel kennt).
Und jetzt könnte man auch noch die zweite Ableitung ausrechnen und
dann wirklich nachgucken, dass das zu dem oben gesagten zusammenpasst.
Und da sollte man auch noch erklären, wieso dort denn globale Extremstellen
vorliegen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:24 Di 27.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Da wir nun wissen, dass bei a=-4 der maximale Abstand von [mm] \wurzel{19} [/mm]
und bei a=4.5 der minimale Abstand von [mm] \wurzel{2} [/mm] vorliegt,
ergibt sich noch ein letztes Problem:
Was ist, wenn a gegen [mm] -\infty [/mm] bzw. [mm] +\infty [/mm] tendiert?
Meine Vermutung ist, dass als Abstand jeweils eine konkrete Zahl rauskommt, die irgendwo zwischen [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] \wurzel{19} [/mm] liegt.
Aber welche Zahl ist das? Liegt die genau in der Mitte dazwischen, also bei [mm] \bruch{\wurzel{2} + \wurzel{19}}{2} [/mm]
Oder ist es eventuell [mm] \bruch{\wurzel{2+19}}{2} [/mm] ???
Oder noch eine ganz andere Zahl, die hier keiner vermutet?
Ist der Abstand für [mm] a\to -\infty [/mm] größer, kleiner oder gleich wie der für [mm] a\to +\infty [/mm] ?
Sogenannte Fußball-Experten sagen doch auch immer voraus, wie ein Spiel ausgeht - und liegen dann oftmals falsch.
Wie sieht das denn mit mathematischen Voraussagen aus? Sind da die Experten treffsicherer als Laien, wenn sie vorher eine Vermutung anstellen, bevor sie etwas präzise durchrechnen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Do 29.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo rabilein,
> Da wir nun wissen, dass bei a=-4 der maximale Abstand von
> [mm]\wurzel{19}[/mm]
> und bei a=4.5 der minimale Abstand von [mm]\wurzel{2}[/mm] vorliegt,
> ergibt sich noch ein letztes Problem:
>
> Was ist, wenn a gegen [mm]-\infty[/mm] bzw. [mm]+\infty[/mm] tendiert?
das kannst Du doch aus der von mir berechneten Abstandsfunktion
[mm] $d=d(a)=\sqrt{\left(\frac{54-12a}{a^2+18}\right)^2+\left(\frac{3a^2-9a+18}{a^2+18}\right)^2+\left(\frac{a^2-9a-18}{a^2+18}\right)^2}$
[/mm]
erkennen. Ist Dir das klar? (Man sollte noch ein wenig weiterrechnen und
dann die bekannten Rechenregeln für Grenzwerte benutzen.) Oder suchst
Du wieder einen davon unabhängigen Weg?
P.S. Es wird wohl reichen, nur den Fall $x [mm] \to \infty$ [/mm] zu betrachten. Aber
auch da war ich faul und habe mir nur gerade mal den Plot angeguckt...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:14 Fr 30.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe nochmal
Wolframalpha
angeworfen:
Mit
"expended form"
siehst Du dann, dass
[mm] $d(a)=\sqrt{\frac{10a^4+...}{a^4+...}},$
[/mm]
und daraus folgt:
[mm] $\lim_{a \to \pm \infty}d(a)=\sqrt{10} \approx [/mm] 3.16$
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:11 Fr 30.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
In meinem Beitrag von Mo, 11.38 Uhr hatte ich die Gerade $ [mm] g_{\infty} [/mm] $ : $ [mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }+\mu\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] $ schon angegeben.
Mit der Abstandsformel d = [mm] \bruch{|\vec{a}\times\vec{u}|}{|\vec{u}|} [/mm] ergibt sich [mm] d=\bruch{|\vektor{0 \\ 1 \\ -3 }|}{1}=\wurzel{10} [/mm] auch ohne Wolfram.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Fr 30.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sax,
> Hi,
>
> In meinem Beitrag von Mo, 11.38 Uhr hatte ich die Gerade
> [mm]g_{\infty}[/mm] : [mm]\vec{x}=\vektor{3 \\ 3 \\ 1 }+\mu\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> schon angegeben.
> Mit der Abstandsformel d =
> [mm]\bruch{|\vec{a}\times\vec{u}|}{|\vec{u}|}[/mm] ergibt sich
> [mm]d=\bruch{|\vektor{0 \\ 1 \\ -3 }|}{1}=\wurzel{10}[/mm] auch
> ohne Wolfram.
Wolfram habe ich nur benutzt, weil ich ein wenig rechenfaul war (ich dachte,
das wäre klar, wie ich das verwendet habe - ich hatte halt keine Lust,
sowas wie [mm] $(r+s)^2+(t+u+v)^2+...$ [/mm] auszurechnen und zu sortieren - im
Endeffekt müßte man das auch nicht tun, sondern nur den Fokus auf den
Vorfaktor beim höchsten Koeffizienten hier legen...)
Deine Beiträge habe ich natürlich auch nicht alle im Detail im Kopf.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Fr 30.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Rein intuitiv kam ich auch ganz ohne Formel auf das Ergebnis von [mm] \wurzel{10}.
[/mm]
Und zwar, wenn man sich so ein Modell bastelt. Was heißt denn, dass a gegen Unendlich strebt? Das ergäbe quasi eine Parallele zur x-Achse, die durch den Punkt P geht.
Auch wenn ich schlecht in "Räumlicher Vorstellung " bin: Ich sah dann, dass der kürzeste Abstand dieser Parallele zum Ursprung der Punkt.... ist
(Ich habe es jetzt nicht mehr im Kopf, und sitze gerade an einem Fremd-Computer. Jedenfalls habe ich gesehen / gefühlt, dass der Abstand zum Ursprung dort [mm] \wurzel{10} [/mm] ist.
Mit so einer Formel muss natürlich dasselbe rauskommen. Ansonsten wäre eines von beiden falsch: das räumliche Modell oder die Formel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Fr 30.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo rabilein,
> Rein intuitiv kam ich auch ganz ohne Formel auf das
> Ergebnis von [mm]\wurzel{10}.[/mm]
>
> Und zwar, wenn man sich so ein Modell bastelt. Was heißt
> denn, dass a gegen Unendlich strebt? Das ergäbe quasi eine
> Parallele zur x-Achse, die durch den Punkt P geht.
>
> Auch wenn ich schlecht in "Räumlicher Vorstellung " bin:
> Ich sah dann, dass der kürzeste Abstand dieser Parallele
> zum Ursprung der Punkt.... ist
>
> (Ich habe es jetzt nicht mehr im Kopf, und sitze gerade an
> einem Fremd-Computer. Jedenfalls habe ich gesehen /
> gefühlt, dass der Abstand zum Ursprung dort [mm]\wurzel{10}[/mm]
> ist.
das, was Du siehst, kannst Du ja rechnerisch kontrollieren. Aber dass Du
Abstände erfühlen kannst: Das ist mir jetzt doch ein wenig "zu viel Magie".
> Mit so einer Formel muss natürlich dasselbe rauskommen.
> Ansonsten wäre eines von beiden falsch: das räumliche
> Modell oder die Formel
Nein: Du könntest ja auch falsch hingeguckt haben oder zu viel in das
Gesehene reininterpretieren.
Triviales Bsp.: Du wirst sicher optisch eher schwer Winkel von 89 oder 91
Grad von einem 90Grad-Winkel unterscheiden können.
Aus solchen Gründen postuliere ich auch immer: Nicht einfach nur das
glauben, was man zu sehen glaubt, sondern nachprüfen (nachrechnen),
ob das wirklich so ist.
Ansonsten erarbeitest Du einen Lösungsweg für eine Aufgabe, der nicht
korrekt ist, weil Du an einer Stelle etwas annimmst, was in Wahrheit gar
nicht vorhanden ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Fr 30.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Aber dass Du Abstände erfühlen kannst: Das ist mir jetzt doch ein
> wenig "zu viel Magie".
Ich glaube schon, dass man das "erfühlen" kann. Du kannst es ja mal zweidimensional ausprobieren (wer dreidimensionales Vorstellungsvermögen hat, kann auch das):
[mm] \vektor{1\\1}+s*\vektor{a\\3} [/mm] für a [mm] \to \infty
[/mm]
Das ist doch eine Paralle zur x-Achse im Abstand 1 (also auch zum Ursprung den Abstand 1). Das kann man auch ohne Rechnung erfühlen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:12 So 01.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Aber dass Du Abstände erfühlen kannst: Das ist mir jetzt
> doch ein
> > wenig "zu viel Magie".
>
> Ich glaube schon, dass man das "erfühlen" kann. Du kannst
> es ja mal zweidimensional ausprobieren (wer
> dreidimensionales Vorstellungsvermögen hat, kann auch
> das):
>
> [mm]\vektor{1\\1}+s*\vektor{a\\3}[/mm] für a [mm]\to \infty[/mm]
>
> Das ist doch eine Paralle zur x-Achse im Abstand 1 (also
> auch zum Ursprung den Abstand 1). Das kann man auch ohne
> Rechnung erfühlen.
sagen wir es mal so: Ich würde das nicht *erfühlen* nennen. Sondern eher:
logisch herleiten, und das meinetwegen auch "ohne strenge Vorgehensweise",
sondern durchaus auch teilweise intuitiv.
Ich glaube, Du willst auch eher auf sowas wie *Intuition* hinaus.
Gruß,
Mrcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 So 01.06.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Ich glaube, Du willst auch eher auf sowas wie *Intuition* hinaus.
Als ich mir die Aufgabe mit dem "Unendlich" stellte, da fragte ich mich als nächstes, was das denn konkret bedeuten würde (also wie die Gerade verläuft), wenn a gegen Unendlich strebt.
Und dann habe ich gesehen (bzw. intuitiv gefühlt), dass dann die anderen beiden Zahlen in dem Vektor keine Rolle mehr spielen würden.
Erst hinterher fiel mir ein: Ach ja, da hatte ja auch Jemand eine Formel genannt. Was kommt da raus, wenn man a gegen Unendlich laufen lässt?
Ich weiß nicht, ob man das Ergebnis da auf den ersten Blick erkennen kann (?)
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