Kugel-Fächer-Verteilung < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Fr 09.04.2010 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Auf 10 Fächer werden zufällig 4 Kugeln verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Fach gibt, in dem mehrere Kugeln liegen? |
Hallo Zusammen,
Ich würde die Wahrscheinlichkeit so bestimmen: p = [mm] \bruch{Anzahl moeglicher Faelle}{alle moeglichen Faelle}.
[/mm]
Es sollen 4 Kugeln auf 10 Fächer verteilt werden, die Kugeln sind nicht unterscheidbar und Merhfachbelegung ist erlaubt. Somit ergibt sich für die Gesamtanzahl {n+k-1 [mm] \choose [/mm] k} = {10+4-1 [mm] \choose [/mm] 4} = [mm] \bruch{13!}{4!(13-4)!} [/mm] = 715 Möglichkeiten. (Leider funktioniert die Darstellung des Binomialkoeffizienten nicht).
Die günstigen Fälle sind diese, wobei ein Fach mindestens 2 Kugeln hat.
Ich berechne als erstes die Fälle, in denen es nicht mehr als 1 Kugel pro Fach gibt: [mm] 4!(\bruch{1}{2!}-\bruch{1}{3!}+\bruch{1}{4!}) [/mm] = 9.
Die Fälle, in denen es ein Fach gibt mit mindestens 2 Kugeln: 715 - 9 = 706.
Dann würde sich für die Wahrscheinlichkeit folgendes ergeben: p = [mm] \bruch{706}{715} [/mm] = 0,9874.
Das erscheint mir aber bei weitem zu viel.
Somit würde eine Wahrscheinlichkeit von 98,74 % zugrunde liegen, das es ein Fach gibt, in dem mehrere Kugeln, aber zumindest 2 Kugeln liegen.
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Fr 09.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Auf 10 Fächer werden zufällig 4 Kugeln verteilt. Wie
> groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Fach gibt, in
> dem mehrere Kugeln liegen?
Gegenereignis: jede Kugel fällt in ein noch leeres Fach.
Für die erste Kugel ist das sicher.
Für die zweite hat es nur noch die Wahrscheinlichkeit 9/10.
Falls die zweite tatsächlich in ein leeres Fach fällt- wie wahrscheinlich ist dann ein leeres Fach für die dritte Kugel?
Gruß Abakus
> Hallo Zusammen,
>
> Ich würde die Wahrscheinlichkeit so bestimmen: p =
> [mm]\bruch{Anzahl moeglicher Faelle}{alle moeglichen Faelle}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Es sollen 4 Kugeln auf 10 Fächer verteilt werden, die
> Kugeln sind nicht unterscheidbar und Merhfachbelegung ist
> erlaubt. Somit ergibt sich für die Gesamtanzahl {n+k-1
> [mm]\choose[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
k} = {10+4-1 [mm]\choose[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
4} = [mm]\bruch{13!}{4!(13-4)!}[/mm] =
> 715 Möglichkeiten. (Leider funktioniert die Darstellung
> des Binomialkoeffizienten nicht).
>
> Die günstigen Fälle sind diese, wobei ein Fach mindestens
> 2 Kugeln hat.
>
> Ich berechne als erstes die Fälle, in denen es nicht mehr
> als 1 Kugel pro Fach gibt:
> [mm]4!(\bruch{1}{2!}-\bruch{1}{3!}+\bruch{1}{4!})[/mm] = 9.
>
> Die Fälle, in denen es ein Fach gibt mit mindestens 2
> Kugeln: 715 - 9 = 706.
>
> Dann würde sich für die Wahrscheinlichkeit folgendes
> ergeben: p = [mm]\bruch{706}{715}[/mm] = 0,9874.
>
> Das erscheint mir aber bei weitem zu viel.
>
> Somit würde eine Wahrscheinlichkeit von 98,74 % zugrunde
> liegen, das es ein Fach gibt, in dem mehrere Kugeln, aber
> zumindest 2 Kugeln liegen.
>
> Gruß
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 So 11.04.2010 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > Auf 10 Fächer werden zufällig 4 Kugeln verteilt. Wie
> > groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Fach gibt, in
> > dem mehrere Kugeln liegen?
> Gegenereignis: jede Kugel fällt in ein noch leeres Fach.
> Für die erste Kugel ist das sicher.
> Für die zweite hat es nur noch die Wahrscheinlichkeit
> 9/10.
> Falls die zweite tatsächlich in ein leeres Fach fällt-
> wie wahrscheinlich ist dann ein leeres Fach für die dritte
> Kugel?
> Gruß Abakus
Für die dritte Kugel ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 8/10 und für die vierte Kugel 7/10. Somit abnehmend, da immer mehr Fächer gefüllt sind, im Gegenzug steigt die Warhscheinlichkeit, das in einem Fach mehrere Kugeln sind.
Aufgrund dessen, das es 4 Kugeln und 10 Fächer sind, würde ich sagen, das die Wahrscheinlichkeit 0,4 beträgt, das in einem Fach mehrere Kugeln sind?
Aber dennoch würde sich doch, für die maximale Anzahl an Verteilungen 715 Möglichkeiten ergeben, die Kugeln sind nicht unterscheidbar und Mehrfachbelegungen sind erlaubt.
Jedoch weiß ich nicht, wie hoch die Anzahl der möglichen Verteilungen ist, das mehrere Kugeln in einem Fach sind?
Es können beispielsweise auch 3 oder 4 Kugeln in einem Fach liegen, zumindest aber 2 Stück.
Vielen Dank
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 So 11.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> > > Auf 10 Fächer werden zufällig 4 Kugeln verteilt. Wie
> > > groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Fach gibt, in
> > > dem mehrere Kugeln liegen?
> > Gegenereignis: jede Kugel fällt in ein noch leeres
> Fach.
> > Für die erste Kugel ist das sicher.
> > Für die zweite hat es nur noch die Wahrscheinlichkeit
> > 9/10.
> > Falls die zweite tatsächlich in ein leeres Fach
> fällt-
> > wie wahrscheinlich ist dann ein leeres Fach für die dritte
> > Kugel?
> > Gruß Abakus
>
> Für die dritte Kugel ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit
> von 8/10 und für die vierte Kugel 7/10. Somit abnehmend,
> da immer mehr Fächer gefüllt sind, im Gegenzug steigt die
> Warhscheinlichkeit, das in einem Fach mehrere Kugeln sind.
Richtig.
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> Aufgrund dessen, das es 4 Kugeln und 10 Fächer sind,
> würde ich sagen, das die Wahrscheinlichkeit 0,4 beträgt,
> das in einem Fach mehrere Kugeln sind?
Unfug.
Wenn du ein Baumdiagramm machst, hat der einzige Pfad für "4 verschiedene Fächer" die Wahrscheinlichkeit 1*0,9*0,8*0,7. Davon brauchst du die Gegenwahrscheinlichkeit.
Gruß Abakus
>
> Aber dennoch würde sich doch, für die maximale Anzahl an
> Verteilungen 715 Möglichkeiten ergeben, die Kugeln sind
> nicht unterscheidbar und Mehrfachbelegungen sind erlaubt.
>
> Jedoch weiß ich nicht, wie hoch die Anzahl der möglichen
> Verteilungen ist, das mehrere Kugeln in einem Fach sind?
>
> Es können beispielsweise auch 3 oder 4 Kugeln in einem
> Fach liegen, zumindest aber 2 Stück.
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> Vielen Dank
> itse
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