Kugel-/Zylinderkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Do 10.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Beschreiben Sie {(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | x>0, z>0, |(x,y,z)| [mm] \le [/mm] 1} in Kugelkoordinaten und {(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | x>0, z>0, [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 1} in Zylinderkoordinaten. |
Hi Leute, komm bei der Aufgabe nicht weiter, weil ich in der Vorlesung das Thema nich so richtig verinnerlicht habe xD
Also zur ersten Teilaufgabe, bei Kugelkoordinaten sind ja x=rsin [mm] \alpha [/mm] cos [mm] \beta, [/mm] y=rsin [mm] \alpha [/mm] sin [mm] \beta [/mm] und z=rcos [mm] \alpha [/mm] und außerdem r= [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] und wie hilft mir das jetzt die Menge umzuschreiben?:O
Danke schon mal im Voraus
Gruß David
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo David90,
> Beschreiben Sie {(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | x>0, z>0, |(x,y,z)|
> [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1} in Kugelkoordinaten und {(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | x>0,
> z>0, [mm]x^2+y^2 \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1} in Zylinderkoordinaten.
> Hi Leute, komm bei der Aufgabe nicht weiter, weil ich in
> der Vorlesung das Thema nich so richtig verinnerlicht habe
> xD
> Also zur ersten Teilaufgabe, bei Kugelkoordinaten sind ja
> x=rsin [mm]\alpha[/mm] cos [mm]\beta,[/mm] y=rsin [mm]\alpha[/mm] sin [mm]\beta[/mm] und z=rcos
> [mm]\alpha[/mm] und außerdem r= [mm]\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm] und wie hilft
> mir das jetzt die Menge umzuschreiben?:O
Hier ist der Parameterbereich anzugeben.
Der Parameterbereich für r dürfte klar sein.
Aus z>0 folgt der Parameterbereich für [mm]\alpha[/mm]
Damit folgt aus x>0 der Parameterbereich für [mm]\beta[/mm]
Natürlich ist hier der Parameterbereich für [mm]\beta[/mm]
abhängig von der Wahl von [mm]\alpha[/mm]
> Danke schon mal im Voraus
Gruss
MathePower
> Gruß David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Do 10.03.2011 | | Autor: | David90 |
Ähhm was meinst du denn mit Parameterbereich? Also r [mm] \le [/mm] 1. Was bringt es denn wenn wir wissen, dass z>0? Du meinst damit können wir den Parameterbereich von [mm] \alpha [/mm] bestimmen. Aber wie funktioniert das denn?Brauch maln nen Denkanstoß:(
Gruß David
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Hallo David90,
> Ähhm was meinst du denn mit Parameterbereich? Also r [mm]\le[/mm]
> 1. Was bringt es denn wenn wir wissen, dass z>0? Du meinst
> damit können wir den Parameterbereich von [mm]\alpha[/mm]
> bestimmen. Aber wie funktioniert das denn?Brauch maln nen
> Denkanstoß:(
[mm]z=r*\cos\left(\alpha\right)[/mm]
Wenn [mm] r > 0[/mm] ist, dann muss auch
[mm]\cos\left(\alpha\right) > 0 [/mm]
sein.
Daraus ergibt sich der Parameterbereich für [mm]\alpha[/mm]
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 10.03.2011 | | Autor: | David90 |
Achso verstehe, da z>0 und r>0 muss auch cos [mm] \alpha [/mm] >0 sein:)
Also ist [mm] \alpha \in [0,\bruch{\pi}{2}[ [/mm] oder?
Gruß David
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Hallo David90,
> Achso verstehe, da z>0 und r>0 muss auch cos [mm]\alpha[/mm] >0
> sein:)
> Also ist [mm]\alpha \in [0,\bruch{\pi}{2}[[/mm] oder?
Korrekt ist das so:
[mm]\alpha \in \blue{]}0,\bruch{\pi}{2}[[/mm]
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Do 10.03.2011 | | Autor: | David90 |
ok und daraus ergibt sich dann [mm] \beta [/mm] ja? Also da x>0, r>0 und sin [mm] \alpha [/mm] >0 muss auch cos [mm] \beta [/mm] >0 sein, und das wär dann für [mm] \beta \in ]0,\bruch{\pi}{2}[ [/mm] oder?
Gruß David
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Hallo David90,
> ok und daraus ergibt sich dann [mm]\beta[/mm] ja? Also da x>0, r>0
> und sin [mm]\alpha[/mm] >0 muss auch cos [mm]\beta[/mm] >0 sein, und das wär
> dann für [mm]\beta \in ]0,\bruch{\pi}{2}[[/mm] oder?
Korrekt muss das so lauten: [mm]\beta \in \left[0,\bruch{\pi}{2}\right[[/mm]
Für [mm]\alpha[/mm] gilt: [mm]\alpha \in \left]0,\bruch{\pi}{2}\right[[/mm].
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:37 Fr 11.03.2011 | | Autor: | David90 |
ja aber wie schreib ich das auf? Etwa so: x={r*sin [mm] \alpha [/mm] cos [mm] \beta [/mm] | r>0, [mm] \alpha \in ]0,\bruch{\pi}{2}[, \beta \in [/mm] [0, [mm] \bruch{\pi}{2}[ [/mm] }? UNd y dann halt genauso...
Gruß David
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Hallo David,
> ja aber wie schreib ich das auf? Etwa so: [mm] x=\{r*sin\alpha cos \beta| r>0, \alpha \in ]0,\bruch{\pi}{2}[, \beta \in[0,\bruch{\pi}{2}[ \}? [/mm] UNd y dann halt genauso...
Die Parametereinschränkungen gelten doch überall, daher schreibe auch nur eine Punktmenge. Zum Beispiel:
[mm] $\{(x,y,z)=r(\sin\alpha\cos\beta,\sin\alpha\sin\beta,\cos\alpha)| \red{1\geq}r>0, \alpha\in ]0,\bruch{\pi}{2}[,\beta \in[0,\bruch{\pi}{2}[\}\subset\IR^3$
[/mm]
> Gruß David
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Fr 11.03.2011 | | Autor: | David90 |
Also nochmal zusammengefasst, wir haben zum Anfang: {(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | x>0, z>0, |(x,y,z)| [mm] \le [/mm] 1} Ok dann nehmen wir die Definition für z mit [mm] z=rcos\alpha. [/mm] Da z>0 und 1 [mm] \ge [/mm] r >0 muss auch [mm] cos\alpha>0 [/mm] sein und das ist erfüllt für [mm] \alpha \in ]0,\bruch{\pi}{2}[ [/mm] So und jetzt nehmen wir die definition für x mit [mm] x=rsin\alpha cos\beta. [/mm] Da x>0, 1 [mm] \ge [/mm] r >0, und [mm] sin\alpha>0 [/mm] muss auch [mm] cos\beta>0 [/mm] sein und das ist erfüllt für [mm] \beta \in [0,\bruch{\pi}{2}[ [/mm] und damit ergibt dich die Lösung in Kugelkoordinaten: [mm] {(x,y,z)=r(sin\alpha cos\beta, sin\alpha sin\beta, cos\alpha) | 1 \ge r >0, \alpha \in ]0,\bruch{\pi}{2}[, \beta \in [0,\bruch{\pi}{2}[ } \subset \IR^3
[/mm]
Ist das so korrekt?:)
Gruß David
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo David90,
> Also nochmal zusammengefasst, wir haben zum Anfang:
> {(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | x>0, z>0, |(x,y,z)| [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1} Ok dann
> nehmen wir die Definition für z mit [mm]z=rcos\alpha.[/mm] Da z>0
> und 1 [mm]\ge[/mm] r >0 muss auch [mm]cos\alpha>0[/mm] sein und das ist
> erfüllt für [mm]\alpha \in ]0,\bruch{\pi}{2}[[/mm] So und jetzt
> nehmen wir die definition für x mit [mm]x=rsin\alpha cos\beta.[/mm]
> Da x>0, 1 [mm]\ge[/mm] r >0, und [mm]sin\alpha>0[/mm] muss auch [mm]cos\beta>0[/mm]
> sein und das ist erfüllt für [mm]\beta \in [0,\bruch{\pi}{2}[[/mm]
> und damit ergibt dich die Lösung in Kugelkoordinaten:
> [mm]{(x,y,z)=r(sin\alpha cos\beta, sin\alpha sin\beta, cos\alpha) | 1 \ge r >0, \alpha \in ]0,\bruch{\pi}{2}[, \beta \in [0,\bruch{\pi}{2}[ } \subset \IR^3[/mm]
Die geschweiften Klammern bekommst Du mit
\{ bzw. \}
Damit lautet obiges:
[mm]\{(x,y,z)=r(sin\alpha cos\beta, sin\alpha sin\beta, cos\alpha) | 1 \ge r >0, \alpha \in ]0,\bruch{\pi}{2}[, \beta \in [0,\bruch{\pi}{2}[ \} \subset \IR^3[/mm]
>
> Ist das so korrekt?:)
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Fr 11.03.2011 | | Autor: | David90 |
Alles klar und wie geht das bei der 2. Teilaufgabe? Also wir haben ja {(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | x>0, z>0, [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 1} Also denke mal, da z fest ist benutzen wir die Definition für x mit x= [mm] \delta cos\beta. [/mm] Es gilt ja x>0 aber was ist jetzt [mm] \delta? [/mm] Also die Definition von [mm] \delta [/mm] ist ja teilweise in der Ausgangsmenge gegeben mit [mm] \delta^2=x^2+y^2. [/mm] Kann man jetzt einfach schreiben, dass [mm] \delta^2 \le [/mm] 1 also [mm] \delta \le [/mm] 1?
Gruß David
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo David90,
> Alles klar und wie geht das bei der 2. Teilaufgabe? Also
> wir haben ja {(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | x>0, z>0, [mm]x^2+y^2 \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}
> Also denke mal, da z fest ist benutzen wir die Definition
> für x mit x= [mm]\delta cos\beta.[/mm] Es gilt ja x>0 aber was ist
> jetzt [mm]\delta?[/mm] Also die Definition von [mm]\delta[/mm] ist ja
> teilweise in der Ausgangsmenge gegeben mit
> [mm]\delta^2=x^2+y^2.[/mm] Kann man jetzt einfach schreiben, dass
> [mm]\delta^2 \le[/mm] 1 also [mm]\delta \le[/mm] 1?
Es ist richtig, daß [mm] 0 < \delta \le 1[/mm] ist.
Der Parameterbereich von [mm]\beta[/mm] ist noch zu bestimmen.
Ansonsten ist dann die Menge so wie in der 1. Teilaufgabe anzugeben.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Fr 11.03.2011 | | Autor: | David90 |
Also ich würd sagen [mm] cos\beta [/mm] >0 sein und das wär ja dann für [mm] \beta \in [/mm] [0, [mm] \bruch{\pi}{2}[ [/mm] oder?:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 11.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Auch hier stand Unsinn.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Sa 12.03.2011 | | Autor: | David90 |
Aber was ist denn mit [mm] \bruch{-\pi}{2} [/mm] ? Ist das Intervall nicht [mm] \beta \in ]\bruch{-\pi}{2},\bruch{\pi}{2}[ [/mm] ? Gruß David
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Sa 12.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
EDIT:
Hier stand Unsinn.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Sa 12.03.2011 | | Autor: | David90 |
Achso verstehe alles klar dann hab ich als Lösungsmenge die Punktmenge: { [mm] (x,y,z)=(\delta cos\beta, \delta sin\beta, [/mm] z) | [mm] \beta \in [0,\bruch{\pi}{2}[, [/mm] 1 [mm] \ge \delta [/mm] >0 } [mm] \subset \IR^3 [/mm] korrekt?:)
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> Achso verstehe alles klar dann hab ich als Lösungsmenge
> die Punktmenge: [mm] $\{ (x,y,z)=(\delta cos\beta, \delta sin\beta, z) |\beta \in [0,\bruch{\pi}{2}[, 1 \ge \delta >0 \} \subset \IR^3$ [/mm] korrekt?:)
Es fehlt noch z>0 als letzte Bedingung.
EDIT:
Und wir brauchen auch noch [mm] \beta\in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[
[/mm]
Für diese Werte von [mm] \beta [/mm] ist [mm] \cos\beta [/mm] positiv, sodass dann mit [mm] \delta>0 [/mm] auch [mm] x=\delta\cos\beta>0
[/mm]
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Sa 12.03.2011 | | Autor: | David90 |
ok danke dir:)
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