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| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte P(3|-3|4) und Q(3|0|7) der Grade g, sowie der Mittelpunkt M(7|1|6) der Kugel K. P liegt auf der Kugeloberfläche.
a) Wie groß ist der Radius der Kugel K?
Meine Lösung:
[mm] r=\overline{MP}=\wurzel{(7-3)²+(1-(-3))²+(6-4)²}=6
[/mm]
b) Wie lang ist jene Strecke der Gerade g, die innerhalb der Kugel K verläuft.
Meine Lösung:
Zu diesem Zweck wollte ich den zweiten Schnittpunkt der Graden mit der Kugel berechnen und habe die Gradengleichung [mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ -3 \\ 4}+k*\vektor{0 \\ 3 \\ 3} [/mm] in die Kugelgleichung [mm] [\vec{x}-\vektor{7 \\ 1 \\ 6}]²=36 [/mm] eingesetzt.
[mm] \gdw [/mm] (-4)²+(3k-4)²+(3k-2)²=36
[mm] \gdw [/mm] 16+9k²-8k+16+9k²-4k+4=36
[mm] \gdw [/mm] 18k²-12k+36=36
[mm] \gdw [/mm] 18k²-12k=0
[mm] \gdw k²-\bruch{2}{3}k=0
[/mm]
[mm] k_{1}=0
[/mm]
[mm] k_{2}=-\bruch{2}{3}
[/mm]
Dann habe ich [mm] k_{2} [/mm] in die Gradengleichung eingesetzt.
[mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ -3 \\ 4}+(-\bruch{2}{3})*\vektor{0 \\ 3 \\ 3}=\vektor{3 \\ -3 \\ 4}+\vektor{0 \\ -2 \\ -2}=\vektor{3 \\ -5 \\ 2}
[/mm]
Wenn ich das Ergebnis aber in die Kugelgleichung einsetze,
[mm] [\vektor{3 \\ -5 \\ 2}-\vektor{7 \\ 1 \\ 6}]²=68\not=36
[/mm]
bekomme ich 68 statt 36 heraus, wonach der Punkt nicht auf der Kugel liegen könnte. |
Kann bitte einmal jemand nachsehen, wo ich einen Fehler gemacht habe? Vielen Dank im Voraus!
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> Gegeben sind die Punkte P(3|-3|4) und Q(3|0|7) der Grade g,
> sowie der Mittelpunkt M(7|1|6) der Kugel K. P liegt auf der
> Kugeloberfläche.
>
> a) Wie groß ist der Radius der Kugel K?
>
> Meine Lösung:
> [mm]r=\overline{MP}=\wurzel{(7-3)²+(1-(-3))²+(6-4)²}=6[/mm]
>
> b) Wie lang ist jene Strecke der Gerade g, die innerhalb
> der Kugel K verläuft.
>
> Meine Lösung:
> Zu diesem Zweck wollte ich den zweiten Schnittpunkt der
> Graden mit der Kugel berechnen und habe die Gradengleichung
> [mm]\vec{x}=\vektor{3 \\ -3 \\ 4}+k*\vektor{0 \\ 3 \\ 3}[/mm] in die
> Kugelgleichung [mm][\vec{x}-\vektor{7 \\ 1 \\ 6}]²=36[/mm]
> eingesetzt.
> [mm]\gdw[/mm] (-4)²+(3k-4)²+(3k-2)²=36
> [mm]\gdw[/mm] 16+9k²-8k+16+9k²-4k+4=36
Hallo,
der Schritt zur zweiten Zeile stimmt nicht. Du hast die binomische Formel nicht richtig verwendet:
es ist doch [mm] (3k-4)²=9^2 [/mm] - 2*3*4k +16, der andere term entsprechend.
Gruß v. Angela
> [mm]\gdw[/mm] 18k²-12k+36=36
> [mm]\gdw[/mm] 18k²-12k=0
> [mm]\gdw k²-\bruch{2}{3}k=0[/mm]
> [mm]k_{1}=0[/mm]
> [mm]k_{2}=-\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Dann habe ich [mm]k_{2}[/mm] in die Gradengleichung eingesetzt.
> [mm]\vec{x}=\vektor{3 \\ -3 \\ 4}+(-\bruch{2}{3})*\vektor{0 \\ 3 \\ 3}=\vektor{3 \\ -3 \\ 4}+\vektor{0 \\ -2 \\ -2}=\vektor{3 \\ -5 \\ 2}[/mm]
>
> Wenn ich das Ergebnis aber in die Kugelgleichung einsetze,
> [mm][\vektor{3 \\ -5 \\ 2}-\vektor{7 \\ 1 \\ 6}]²=68\not=36[/mm]
>
> bekomme ich 68 statt 36 heraus, wonach der Punkt nicht auf
> der Kugel liegen könnte.
> Kann bitte einmal jemand nachsehen, wo ich einen Fehler
> gemacht habe? Vielen Dank im Voraus!
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| Aufgabe | Schnittpunkte A(3|3|10), P(3|-3|4)
[mm] \overline{AP}=\wurzel{(3-3)²+(3-(-3))²+(10-4)²}=\wurzel{72}\approx8,5 [/mm] |
Ich habe jetzt den richtigen Schnittpunkt A ausgerechnet.
Wenn ich aber versuche die Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten P und A versuche auszurechnen, bekomme ich ca. 8,5 heraus. Der Radius ist doch aber nur r=6. Wo habe ich einen Fehler gemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Di 18.03.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
deine Schnitttpunkte sind korrekt (ich habe nachgerechnet). Der Radius ist 6 LE, dh. der Durchmesser der Kugel beträgt 12 LE. Die Schnittpunkte können also maximal 12 LE auseinander liegen (z.B. Nordpol und Südpol). Somit ist [mm] 6\sqrt{2}[/mm] möglich und richtig.
Gruß, zetamy
PS LE=Längeneinheit(en)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Di 18.03.2008 | | Autor: | weduwe |
das kann ich nur bestätigen:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{3\\-3\\4}+t\vektor{0\\1\\1} [/mm]
in K eingesetzt ergibt [mm] (\vektor{-4\\-4\\-2}+t\vektor{0\\1\\1})²=36\to [/mm] 2t(t-6)=0
[mm] t_1=0 [/mm] liefert [mm]P[/mm], [mm] t_2=6 [/mm] den 2.punkt [mm] P_2(3/3/10) [/mm] und damit
[mm] \overrightarrow{PP}_2=\vektor{0\\6\\6}\to d=6\sqrt{2}
[/mm]
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