Kugel und Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:25 Sa 08.07.2006 | | Autor: | BeniMuller |
| Aufgabe 1 | (a)
Stellen Sie die Gleichung einer Kugel [mm]K[/mm] auf, die den Mittelpunkt [mm]M(1/4/-3)[/mm] hat und die Ebene [mm]E: \ 2x \ +y \ - \ 2z \ - \ 3 \ = \ 0 [/mm] als Berührungsebene hat. |
| Aufgabe 2 | (b)
Die Geraden der Schar [mm]
g_{k} \ : \overrightarrow{r} \ = \ \vektor{0\\4\\-1} \ + \ t \ * \vektor{0\\1\\k}; \ \ t \ , \ k \ , \ \in \IR
[/mm] liegen in einer Ebene.
Geben Sie die Koordinatengleichung dieser Ebene an. Geben Sie auch den Schnittkreismittelpunkt und den Schnittkreisradius dieser Ebene mit der Kugel [mm]K[/mm] an. |
| Aufgabe 3 | (c)
Warum schneiden alle Geraden der obigen Schar die Kugel ? |
***nix rumgepostet***
(a)
Aufgabentyp: Abstand Punkt - Ebene, hier insbesondere Kreismittelpunkt - Ebene.
Diese Aufgabe löst man am besten mit der Hesse'schen Normalform HNF.
Mit den Koordinaten der Geradengleichung kann ich eine Normale zur Ebene [mm]E[/mm] direkt hinschreiben:
[mm]\overrightarrow{n_{E}} \ = \ \vektor{2\\1\\-1}[/mm]
mit der Länge
[mm] \ | \overrightarrow{n_{E}} \ | = \wurzel{2^{2} \ \ + \ 1^{2}\ +\ (-2)^{2}} \ = \ \wurzel{9} \ = \ 3[/mm]
Die HNF erzeuge ich aus der Ebenengleichung, indem ich durch den Betrag des Normalenvektors dividiere.
[mm]E_{HNF} \ = \ \bruch{Ebenengleichung}{| \overrightarrow{n_{E}} \ | } [/mm] ; [mm] \bruch{2x \ +y \ - \ 2z \ - \ 3 }{3} \ = \ 0 [/mm]
Radius [mm]r \ = [/mm] Abstand Ebene [mm]E [/mm] zum (Kreismittel-) Punkt [mm]M(1/4/-3) [/mm].
Punkt [mm]M(1/4/-3) [/mm] in HNF der Ebene [mm]E[/mm]einsetzen
[mm]E_{HNF} \ = \ \bruch{2(1) \ + \ 1(4) \ - \ 2(-3) \ - \ 3 }{3} \ = \ \bruch{9}{3} \ = \ 3[/mm]
In die allgemeine Kugelgleichung ...
[mm](x \ - \ x_{0})^2 \ + \ (y \ - \ y_{0})^2 \ + \ (z \ - \ z_{0})^2 \ = \ r^2 [/mm]
... Kreismittelpunkt [mm]M(1/4/-3) [/mm] und Radius [mm]r \ = \ 3 [/mm] einsetzen:
[mm]K: (x \ - \ 1)^2 \ + \ (y \ - \ 4)^2 \ + \ (z \ + \ 3)^2 \ = \ 9 [/mm]
(b)
[mm] (b_{1}) [/mm] Koordinatengleichung
Für die Gleichung der Ebene [mm]G [/mm], die die Geradenschar [mm]g_{k} [/mm] enthällt, bilde ich aus zwei Vektoren dieser Ebene mittels Vektorprodukt eine Normale [mm]\overrightarrow{n_{G}} [/mm].
[mm]\overrightarrow{n_{G}} \ = \ ( \vektor{0\\4\\-1} \ + 1* \ \vektor{0\\1\\0} ) \
\times ( \vektor{0\\4\\-1} \ + 1*\ \vektor{0\\1\\1} ) \ = \
( \vektor{0\\5\\-1} \ \times \ \vektor{0\\5\\0} ) \ = \
\vektor{5\\0\\0} [/mm]
Normaler Einheitsvektor (Einheitsvektor in Richtung der Normalen):
[mm]\overrightarrow{e_{G}} \ = \ \bruch{\overrightarrow{n_{G}}}
{ | \ \overrightarrow{n_{G}} \ |} \ = \ \vektor{1\\0\\0} [/mm]
Ebenengleichung der Ebene [mm]G [/mm]:
[mm]G: 1*x \ + \ 0*y \ + \ 0*z \ + \ d \ = \ 0 [/mm]
Um [mm]d [/mm] zu bestimmen, setze ich den Punkt [mm](0, 4, -1) [/mm] ein:
[mm]G: 1*0 \ + \ 0*4 \ + \ 0*(-1) \ + \ d \ = \ 0 [/mm]
[mm]d \ = \ 0 [/mm]
Daraus ergibt sich für die Ebene [mm]G[/mm]:
[mm]G: x\ = \ 0 [/mm]
Was gerade die y-z Ebene ist.
[mm] (b_{2}) [/mm] Schnittkreismittelpunkt und Schnittkreisradius
[mm]x \ = \ 0[/mm] in die Kugelgleichung eingesetzt:
[mm]1^2 \ + \ (y-4)^2 \ + \ (z+3)^2 \ = \ 9 [/mm]
[mm](y-4)^2 \ + \ (z+3)^2 \ = \ 8 [/mm]
Daraus folgt für den Schnittkreismittelpunkt [mm]P[/mm]:
[mm]P \ = \ (0 \ , \ 4 \ , \ -3) [/mm]
und für den Radius \ [mm]s [/mm]
[mm]s \ = \wurzel{8} \ = \ 2 \ * \wurzel{2} [/mm]
(c)
Weil der Ausgangspunkt der Geradenschar, der Punkt [mm]P \ (0 \ , \ 4 \ , \ -3)[/mm] innerhalb des Schnittkreises liegt.
[mm]\overrightarrow{QP} \ = \overrightarrow{OP} \ - \overrightarrow{OQ}
\ = \ \vektor{0\\4\\-1} \ - \ \vektor{0\\4\\-3} \ - \ \vektor{0\\0\\-2} [/mm]
[mm] | \ \overrightarrow{QP} \ | \ = \ \wurzel{0^2 \ + 0^2 \ + \ (-2)^2} \ = \ 2 \ < \ 2* \wurzel{2} \ = \ s [/mm]
Mit der Bitte um akribische Kritik und Hinweise auf alternative Lösungswege grüsst aus dem hochsommerlichen Zürich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Sa 08.07.2006 | | Autor: | mathemak |
> (a)
>
> Stellen Sie die Gleichung einer Kugel [mm]K[/mm] auf, die den
> Mittelpunkt [mm]M(1/4/-3)[/mm] hat und die Ebene [mm]E: \ 2x \ +y \ - \ 2z \ - \ 3 \ = \ 0 [/mm]
> als Berührungsebene hat.
> (b)
>
> Die Geraden der Schar [mm]
g_{k} \ : \overrightarrow{r} \ = \ \vektor{0\\4\\-1} \ + \ t \ * \vektor{0\\1\\k}; \ \ t \ , \ k \ , \ \in \IR
[/mm]
> liegen in einer Ebene.
> Geben Sie die Koordinatengleichung dieser Ebene an. Geben
> Sie auch den Schnittkreismittelpunkt und den
> Schnittkreisradius dieser Ebene mit der Kugel [mm]K[/mm] an.
> (c)
>
> Warum schneiden alle Geraden der obigen Schar die Kugel ?
> ***nix rumgepostet***
>
> (a)
>
> Aufgabentyp: Abstand Punkt - Ebene, hier insbesondere
> Kreismittelpunkt - Ebene.
>
> Diese Aufgabe löst man am besten mit der Hesse'schen
> Normalform HNF.
>
> Mit den Koordinaten der Geradengleichung kann ich eine
> Normale zur Ebene [mm]E[/mm] direkt hinschreiben:
>
> [mm]\overrightarrow{n_{E}} \ = \ \vektor{2\\1\\-1}[/mm]
>
> mit der Länge
>
> [mm]\ | \overrightarrow{n_{E}} \ | = \wurzel{2^{2} \ \ + \ 1^{2}\ +\ (-2)^{2}} \ = \ \wurzel{9} \ = \ 3[/mm]
>
> Die HNF erzeuge ich aus der Ebenengleichung, indem ich
> durch den Betrag des Normalenvektors dividiere.
>
> [mm]E_{HNF} \ = \ \bruch{Ebenengleichung}{| \overrightarrow{n_{E}} \ | }[/mm]
> ; [mm]\bruch{2x \ +y \ - \ 2z \ - \ 3 }{3} \ = \ 0[/mm]
>
> Radius [mm]r \ = [/mm] Abstand Ebene [mm]E[/mm] zum (Kreismittel-) Punkt
> [mm]M(1/4/-3) [/mm].
>
> Punkt [mm]M(1/4/-3)[/mm] in HNF der Ebene [mm]E[/mm]einsetzen
>
> [mm]E_{HNF} \ = \ \bruch{2(1) \ + \ 1(4) \ - \ 2(-3) \ - \ 3 }{3} \ = \ \bruch{9}{3} \ = \ 3[/mm]
>
> In die allgemeine Kugelgleichung ...
>
> [mm](x \ - \ x_{0})^2 \ + \ (y \ - \ y_{0})^2 \ + \ (z \ - \ z_{0})^2 \ = \ r^2[/mm]
>
> ... Kreismittelpunkt [mm]M(1/4/-3)[/mm] und Radius [mm]r \ = \ 3[/mm]
> einsetzen:
>
> [mm]K: (x \ - \ 1)^2 \ + \ (y \ - \ 4)^2 \ + \ (z \ + \ 3)^2 \ = \ 9[/mm]
>
>
Zur Kontrolle:
[mm] $17+x^2+y^2+z^2-2*x-8*y+6*z [/mm] = 0$
> (b)
>
> [mm](b_{1})[/mm] Koordinatengleichung
>
> Für die Gleichung der Ebene [mm]G [/mm], die die Geradenschar [mm]g_{k}[/mm]
> enthällt, bilde ich aus zwei Vektoren dieser Ebene mittels
> Vektorprodukt eine Normale [mm]\overrightarrow{n_{G}} [/mm].
Bildest Du mittels Vektorprodukt aus den Spann- oder Richtungsvektoren der Ebene einen Normalenvektor?
Zwei nicht kollineare Richtungsvektoren der Geradenschar eignen sich als Spannvektoren!
Gruß
mathemak
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Hallo Mathemak
Du schreibst
>Zur Kontrolle:
> [mm]17+x^2+y^2+z^2-2*x-8*y+6*z = 0[/mm]
Ich liebe Kontrollen, da ich häufig Flüchtigkeitsfehler mache. Daher danke ich Dir. Andererseits muss ich zugeben, dass ich nicht verstehe, von wo Du die Elemente für Deine Kontrolle hergezaubert hast. Etwas ausführlicher würde mir sehr helfen.
Weiter schreibst Du:
> Bildest Du mittels Vektorprodukt aus den Spann- oder Richtungs
> vektoren der Ebene einen Normalenvektor?
> Zwei nicht kollineare Richtungsvektoren der Geradenschar
> eignen sich als Spannvektoren!
Auch dies tönt sehr interessant. Aber ich verstehe es nicht. Sind denn meine beiden Vektoren
[mm] \vektor{0\\5\\-1} \ und \ \vektor{0\\5\\0} [/mm] eventuell nicht geeignet?
Linear abhängig scheinen sie mir nicht zu sein, also müssten sie passen.
Dank für weitere Erläuterungen und herzliche Grüsse aus Zürich
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Hallo BeniMuller!
> Hallo Mathemak
>
> Du schreibst
>
> >Zur Kontrolle:
> > [mm]17+x^2+y^2+z^2-2*x-8*y+6*z = 0[/mm]
>
> Ich liebe Kontrollen, da ich häufig Flüchtigkeitsfehler
> mache. Daher danke ich Dir. Andererseits muss ich zugeben,
> dass ich nicht verstehe, von wo Du die Elemente für Deine
> Kontrolle hergezaubert hast. Etwas ausführlicher würde mir
> sehr helfen.
Ich rechne das nicht alles per Hand nach. Ein Computeralgebrasystem leistet da tatkräftige Hilfe. Und obiges kommt so da raus. Nimm' Deine Kugelgleichung und löse die Binome auf, fasse zusammen und sortiere, dann solltest Du obiges Ergebnis erhalten.
> Weiter schreibst Du:
> > Bildest Du mittels Vektorprodukt aus den Spann- oder
> Richtungs
> > vektoren der Ebene einen Normalenvektor?
>
> > Zwei nicht kollineare Richtungsvektoren der Geradenschar
> > eignen sich als Spannvektoren!
>
> Auch dies tönt sehr interessant. Aber ich verstehe es
> nicht. Sind denn meine beiden Vektoren
> [mm]\vektor{0\\5\\-1} \ und \ \vektor{0\\5\\0} [/mm] eventuell nicht
> geeignet?
> Linear abhängig scheinen sie mir nicht zu sein, also
> müssten sie passen.
>
> Dank für weitere Erläuterungen und herzliche Grüsse aus
> Zürich
>
Wähle einfach zwei verschiedene Werte für $k$ und bilde
[mm] $\vektor{ 0 \\ 1 \\ k } [/mm] $, z.B.
$k=0: [mm] \quad \vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] = [mm] \vec{u}$ [/mm] (Die Gerade verläuft parallel zur $y$-Achse und
$k=1 [mm] \quad \vektor{ 0 \\ 1 \\ 1 } [/mm] = [mm] \vec{v}$
[/mm]
Dann machst Du weiter mit dem Vektorprodukt [mm] $\vec{u} \times \vec{v}$. [/mm] Stelle fest, dass [mm] $\vec{u} \times \vec{v} \neq [/mm] 0$ und damit die Vektoren linear unabhängig.
Jetzt kannst Du weiter rechnen wie bisher (die Rechnungen zeigen, dass Du gut bei der Sache bis  ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
mathemak
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Do 31.08.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Mathemak
Besten Dank für deine hilfreiche Antwort. Sorry, dass ich erst jetzt dazu komme zu antworten.
Gruss aus Zürich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 So 09.07.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> (a)
>
> Stellen Sie die Gleichung einer Kugel [mm]K[/mm] auf, die den
> Mittelpunkt [mm]M(1/4/-3)[/mm] hat und die Ebene [mm]E: \ 2x \ +y \ - \ 2z \ - \ 3 \ = \ 0 [/mm]
> als Berührungsebene hat.
> (b)
>
> Die Geraden der Schar [mm]
g_{k} \ : \overrightarrow{r} \ = \ \vektor{0\\4\\-1} \ + \ t \ * \vektor{0\\1\\k}; \ \ t \ , \ k \ , \ \in \IR
[/mm]
> liegen in einer Ebene.
> Geben Sie die Koordinatengleichung dieser Ebene an. Geben
> Sie auch den Schnittkreismittelpunkt und den
> Schnittkreisradius dieser Ebene mit der Kugel [mm]K[/mm] an.
> (c)
>
> Warum schneiden alle Geraden der obigen Schar die Kugel ?
> ***nix rumgepostet***
>
> (a)
>
> Aufgabentyp: Abstand Punkt - Ebene, hier insbesondere
> Kreismittelpunkt - Ebene.
>
> Diese Aufgabe löst man am besten mit der Hesse'schen
> Normalform HNF.
>
> Mit den Koordinaten der Geradengleichung kann ich eine
> Normale zur Ebene [mm]E[/mm] direkt hinschreiben:
>
> [mm]\overrightarrow{n_{E}} \ = \ \vektor{2\\1\\-1}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Tippfehler, [mm] $\overrightarrow{n_{E}} [/mm] = [mm] \vektor{2\\1\\\red{-1}}$
[/mm]
Sollte -2 heissen, wie du das unten auch verwendet hast.
> mit der Länge
>
> [mm]\ | \overrightarrow{n_{E}} \ | = \wurzel{2^{2} \ \ + \ 1^{2}\ +\ (-2)^{2}} \ = \ \wurzel{9} \ = \ 3[/mm]
>
> Die HNF erzeuge ich aus der Ebenengleichung, indem ich
> durch den Betrag des Normalenvektors dividiere.
>
> [mm]E_{HNF} \ = \ \bruch{Ebenengleichung}{| \overrightarrow{n_{E}} \ | }[/mm]
> ; [mm]\bruch{2x \ +y \ - \ 2z \ - \ 3 }{3} \ = \ 0[/mm]
>
> Radius [mm]r \ = [/mm] Abstand Ebene [mm]E[/mm] zum (Kreismittel-) Punkt
> [mm]M(1/4/-3) [/mm].
>
> Punkt [mm]M(1/4/-3)[/mm] in HNF der Ebene [mm]E[/mm]einsetzen
>
> [mm]E_{HNF} \ = \ \bruch{2(1) \ + \ 1(4) \ - \ 2(-3) \ - \ 3 }{3} \ = \ \bruch{9}{3} \ = \ 3[/mm]
> In die allgemeine Kugelgleichung ...
>
> [mm](x \ - \ x_{0})^2 \ + \ (y \ - \ y_{0})^2 \ + \ (z \ - \ z_{0})^2 \ = \ r^2[/mm]
Es stimmt auch mit der von mathemak geposten Lösung überein. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> ... Kreismittelpunkt [mm]M(1/4/-3)[/mm] und Radius [mm]r \ = \ 3[/mm]
> einsetzen:
>
> [mm]K: (x \ - \ 1)^2 \ + \ (y \ - \ 4)^2 \ + \ (z \ + \ 3)^2 \ = \ 9[/mm]
>
> (b)
>
> [mm](b_{1})[/mm] Koordinatengleichung
>
> Für die Gleichung der Ebene [mm]G [/mm], die die Geradenschar [mm]g_{k}[/mm]
> enthällt, bilde ich aus zwei Vektoren dieser Ebene mittels
> Vektorprodukt eine Normale [mm]\overrightarrow{n_{G}} [/mm].
>
> [mm]\overrightarrow{n_{G}} \ = \ ( \vektor{0\\4\\-1} \ + 1* \ \vektor{0\\1\\0} ) \
\times ( \vektor{0\\4\\-1} \ + 1*\ \vektor{0\\1\\1} ) \ = \
( \vektor{0\\5\\-1} \ \times \ \vektor{0\\5\\0} ) \ = \
\vektor{5\\0\\0}[/mm]
Aber relativ unschön die Lösung, denn du zeigst, dass zwei verschiedene Geraden eine Ebene aufstellen. Machst aber keinen Beweis dafür, dass alle weiteren Geraden (der Schar) auch in dieser liegen.
Vorher möchte ich aber noch eines sagen:
[mm] $\overrightarrow{n_{G}} [/mm] = ( [mm] \blue{\vektor{0\\4\\-1} \ + 1}* \vektor{0\\1\\0} [/mm] ) [mm] \times [/mm] ( [mm] \blue{ \vektor{0\\4\\-1} + 1}*\ \vektor{0\\1\\1} [/mm] ) = ... $
Das blaue kannst du dir sparen, es reicht einfach die Richtungsvektoren zu 'kreuzen', da brauchst du den Ortsvektor nicht hinzuzuaddieren.
Besser wäre es m. E. das ganze Allgemein zu betrachten.
[mm] $\vektor{0\\1\\k_1} \times \vektor{0\\1\\k_2}$ [/mm]
Nun erhälst du als Ergebnis den Vektor [mm] \vektor{k_2-k_1\\0\\0}
[/mm]
Da [mm] $k_1 \not= k_2$ [/mm] ist der Vektor nie [mm] \vektor{\red{0}\\0\\0}, [/mm] die [mm] X_1 [/mm] Komponente lässt sich immer auf den Wert 1 bringen.
> Normaler Einheitsvektor (Einheitsvektor in Richtung der
> Normalen):
>
> [mm]\overrightarrow{e_{G}} \ = \ \bruch{\overrightarrow{n_{G}}}
{ | \ \overrightarrow{n_{G}} \ |} \ = \ \vektor{1\\0\\0}[/mm]
>
> Ebenengleichung der Ebene [mm]G [/mm]:
>
> [mm]G: 1*x \ + \ 0*y \ + \ 0*z \ + \ d \ = \ 0 [/mm]
>
> Um [mm]d[/mm] zu bestimmen, setze ich den Punkt [mm](0, 4, -1)[/mm] ein:
>
> [mm]G: 1*0 \ + \ 0*4 \ + \ 0*(-1) \ + \ d \ = \ 0 [/mm]
>
> [mm]d \ = \ 0 [/mm]
>
> Daraus ergibt sich für die Ebene [mm]G[/mm]:
>
> [mm]G: x\ = \ 0 [/mm]
> Was gerade die y-z Ebene ist.
>
>
> [mm](b_{2})[/mm] Schnittkreismittelpunkt und Schnittkreisradius
>
> [mm]x \ = \ 0[/mm] in die Kugelgleichung eingesetzt:
>
> [mm]1^2 \ + \ (y-4)^2 \ + \ (z+3)^2 \ = \ 9 [/mm]
>
> [mm](y-4)^2 \ + \ (z+3)^2 \ = \ 8 [/mm]
>
> Daraus folgt für den Schnittkreismittelpunkt [mm]P[/mm]:
>
> [mm]P \ = \ (0 \ , \ 4 \ , \ -3)[/mm]
>
> und für den Radius \ [mm]s[/mm]
>
> [mm]s \ = \wurzel{8} \ = \ 2 \ * \wurzel{2}[/mm]
>
Stimmt!
>
> (c)
>
> Weil der Ausgangspunkt der Geradenschar, der Punkt [mm]P \ (0 \ , \ 4 \ , \ -3)[/mm]
> innerhalb des Schnittkreises liegt.
>
> [mm]\overrightarrow{QP} \ = \overrightarrow{OP} \ - \overrightarrow{OQ}
\ = \ \vektor{0\\4\\-1} \ - \ \vektor{0\\4\\-3} \ - \ \vektor{0\\0\\-2}[/mm]
>
> [mm]| \ \overrightarrow{QP} \ | \ = \ \wurzel{0^2 \ + 0^2 \ + \ (-2)^2} \ = \ 2 \ < \ 2* \wurzel{2} \ = \ s[/mm]
Diese Frage gebe ich ab....
Abgesehen davon, dass du den Vektor 0Q und 0P tauscht, denn oben sagst du: $ P \ = \ (0 \ , \ 4 \ , \ -3) $ (bei Punkten braucht man kein Gleichheitszeichen...) Und dass der Vektor 0P nicht der Ausgangspunkt der Geradenschar ist, sondern Schnittkreismittelpunkt Ebene u. Kugel
Und wieder ein paar Tippfehler hast:
[mm]\overrightarrow{QP} \ = \overrightarrow{OP} \ - \overrightarrow{OQ}
\ = \ \vektor{0\\4\\-1} \ - \ \vektor{0\\4\\-3} \ \red{-} \ \vektor{0\\0\\\blue{-2}}[/mm]
Rot: müsste Gleichheitszeichen sein
Blau: müsste Plus sein [mm] \rightarrow [/mm] oder aber du tauscht wieder die Vektoren, d. h. dass du dem Vektor 0P auch die richtigen Werte zuteilst, dann stimmt es.
Ich weiß nicht, ob man in 3D das so betrachten kann.
Man könnte mal probieren, den Abstand der Geraden (mit Scharwert natürlich) zum Mittelpunkt der Kugel auszurechnen. Weiss aber nicht, ob das etwas bringt...
Aber eins ist hier sicher, dass der Abstand des Ortsvektors der Schargerade zur Kugel kleiner ist als der Radius. Der Ortsvektor liegt innerhalb der Kugel und somit muss jede Gerade die Kugel schneiden.
MfG!
Disap
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Hallo Disap
Danke für die Mühe.
Tippfehler bei Normalen in Teilaufgabe (a) klar.
Weglassen der Ortsvektoren in Teilaufgabe (b) ist offensichtlich, wenn man es erst mal gesehen hat
Teilaufgabe (c)Tatsächlich habe ich da ein grosses Chaos mit den Bezeichnungen der Punkte und Vektoren gemacht.
So sollte es richtig sein:
Schnittkreismittelpunkt [mm]P \ (0 \ , \ 4 \ , \ -3)[/mm]
Ausgangspunkt der Geradenschar [mm]Q \ (0 \ , \ 4 \ , \ -1)[/mm]
Abstand [mm]P[/mm] zu [mm]Q [/mm] muss kleiner als [mm]2* \wurzel{2} [/mm].
[mm]\overrightarrow{PQ} \ = \ \overrightarrow{OQ} \ - \ \overrightarrow{OP} [/mm]
[mm]\vektor{0 \\ 4 \\ -1} \ - \ \vektor{ 0 \\ 4 \\ -3} \ = \ \vektor{0 \\ 0 \\ +2} [/mm]
[mm] 2 \ < \ 2* \wurzel{2} [/mm] w.z.b.w
Soweit ist alles klar.
Ein Problem habe ich aber noch bei der Kontrolle von Teilaufgabe (a):
Wenn ich zum Ortsvektor des Kugelmittelpunktes [mm]M \ (1, \ 4, \ -3) [/mm] die Normale [mm]\overrightarrow{n_{E}} [/mm] addiere, erhalte ich den Berührungspunkt [mm]B [/mm] des Kreises mit der Ebene [mm] E [/mm].
[mm]\overrightarrow{OM} \ + \ \overrightarrow{n_{E}} \ = \ \overrightarrow{OB} [/mm]
Berührungspunkt [mm]B \ (3, \ 5, \ -5)[/mm] in die Kugelgleichung eingesetzt ist OK.
[mm](3 \ - \ 1)^2 \ + (5 \ - \ 4)^2 \ + (-5 \ + \ 3)^2 \ = \ 9 \ = \ (3)^2 [/mm].
So weit so gut.
Wenn ich aber versuche, [mm]B[/mm] in die Ebenengleichung [mm]E[/mm] einzusetzen, funktioniert es nicht mehr:
[mm]2(3) \ + \ 1(5) \ - \ 2(-5) \ - \ 3 \ = \ 18 \ \not= \ 0 [/mm]
Wo liegt da meine Denkfehler ???
Herzliche Grüsse aus Zürich
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Hallo!
Versuch' mal folgendes:
Stelle eine Gerade $g$ auf, die M als Aufpunkt und den Normalenvektor der Ebene E als Richtungsvektor hat.
Schneide $g$ mit der Kugel $K$, d.h. ersetze in der Kugelgleichung durch $x=1+2*t,y=4+t,z=-3-2*t$ und löse nach $t$ auf.
[mm] $-35+(1+2*t)^2+(4+t)^2+(-3-2*t)^2-24*t [/mm] = 0$
Du erhälst $t=+1$ oder $t=-1$ (die Gerade sticht an zwei Punkten (diametral) durch die Kugel, daher zwei Werte für $t$.
Diese setzt Du nun in die Gerade $g$ ein und erhälst 2 Punkte.
$ [3, 5, -5]$
$ [-1, 3, -1]$
Einer davon erfüllt auch die Ebenengleichung.
Normalenvektor heißt nur, dass er zu den Richtungsvektoren orthogonal ist. Der Pfeil Deines Normalenvektors geht von der Ebene zum Mittelpunkt der Kugel = falsche Richtung!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
mathemak
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Do 31.08.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Mathemak
Besten Dank für deine hilfreiche Antwort und natürlich für die hübsche Grtafik. Sorry, dass ich erst jetzt dazu komme zu antworten.
Gruss aus Zürich
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