Kugelflächenstück < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Do 08.03.2012 | | Autor: | Quinix |
| Aufgabe | Gegeben sei das Kugelflächenstück:
K:{(x,y,z) | [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = 4 , z [mm] \ge [/mm] 1 }
Die Normale an K zeige zum Mittelpunkt. @K sei die Randkurve von K. Es
sei:
v(x,y,z) = [mm] \vektor{x-y \\ x+y \\ z}
[/mm]
ein Vektorfeld des R3 und w = rot v.
Bestimmen Sie I = [mm] \integral_{K}^{}{w dS} [/mm] mit Hilfe eines geeigneten Integralsatzes. |
Hallo Leute,
also bevor ich auf die Aufgabe eingehe, habe ich versucht das direkt zu lösen und bin leider nicht auf das selbe Ergebnis gekommen.
Zunächst habe ich mir die rot v = w berechnet und kam auf
w = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Anschließend mit Kugelkoordinaten: [mm] x(\phi,\theta) [/mm] = [mm] \vektor{cos \phi * sin \theta \\ sin \phi * cos \theta \\ cos \theta}
[/mm]
bzw. dem Kreuzprodukt davon:
[mm] x_{\phi} \times x_{\theta} [/mm] = [mm] \vektor{cos \phi * sin^{2} \theta \\ sin \phi * sin^{2} \theta \\ sin \theta * cos \theta}
[/mm]
Habe ich versucht I zu berechnen mit:
I = [mm] \integral_{\pi / 2}^{0}{\integral_{0}^{2 \pi}{\vektor{cos \phi * sin^{2} \theta \\ sin \phi * sin^{2} \theta \\ sin \theta * cos \theta}* \vektor{0 \\ 0 \\ 2} d\phi d\theta}}
[/mm]
= [mm] \integral_{\pi / 2}^{0}{\integral_{0}^{2 \pi}{2*sin\theta * cos\theta d\phi d\theta}}
[/mm]
= [mm] 4*\pi \integral_{\pi / 2}^{0}{sin \theta * cos \theta d\theta}
[/mm]
= [mm] 4*\pi [/mm] * - 1/2 = -2* [mm] \pi
[/mm]
In der Musterlösung wurde das mit dem Integralsatz von Stokes gelöst da kam aber [mm] -6*\pi [/mm] raus.
Meine eigentliche Frage ist es eine Unklarheiten anhand der Musterlösung zu beseitigen.
Also die Parametrisierung der Randkurve lautet:
[mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] \vektor{r*cos t \\ r*sin t \\ z}
[/mm]
Nebenfrage:
Wenn nun beim Gebiet beispielsweise z [mm] \ge [/mm] 1,5 wäre müsste ich das dann so [mm] parametrisieren:\gamma(t) [/mm] = [mm] \vektor{r*cos t \\ r*sin t \\ 1,5z} [/mm] ?
Als Radius wird in der Musterlösung: r = [mm] \wurzel{3} [/mm] angegeben. Wie kommt man darauf?
Ich vermute mal Phytagoras aber ich kriege da komischerweise [mm] \wurzel{5} [/mm] raus.
Der nächste Schritt ist mir leider nicht so ganz klar in der Musterlösung:
I = [mm] \integral_{2*\pi}^{0}{\wurzel{3} < \vektor{cos t - sin t \\ cos t + sin t \\ 0}, \wurzel{3} \vektor{-sin t \\ cos t \\ 0}> dt}
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Do 08.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. in deiner direkten Integration wo bleibt da a) der Radius?
b)z>1
zu 2) die Parametrizierung der Randkurve enthält doch kein z? sondern ist
$ [mm] \gamma(t) [/mm] $ = $ [mm] \vektor{r\cdot{}cos t \\ r\cdot{}sin t \\ 1} [/mm] $
und [mm] r^2=x^2+y^2 [/mm] aus [mm] x^2+y^2+1^2=4 [/mm] ohne Pythagoras
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Do 08.03.2012 | | Autor: | Quinix |
Zu 1: Wo kann ich das bei der direkten Integration miteinbringen?
Zu 2: Kannst du mir erklären wie ich auf diese Skalare Multiplikation komme?
Gruß
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Hallo Quinix,
> Zu 1: Wo kann ich das bei der direkten Integration
> miteinbringen?
Die Parametrisierung laute dann: [mm]x(\phi,\theta) = \vektor{\red{2}*cos \phi \cdot{} sin \theta \\ \red{2}*sin \phi \cdot{} sin \theta \\ \red{2}*cos \theta} [/mm]
Dadurch ändern sich die Integrationsgrenzen von [mm]\theta[/mm].
>
> Zu 2: Kannst du mir erklären wie ich auf diese Skalare
> Multiplikation komme?
>
Setze doch einfach z=1 in die die Kugelgleichung ein.
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Do 08.03.2012 | | Autor: | Quinix |
Zu 1) Ich verstehe nicht gerade wie man auf den Vorfaktor zwei bei der Parametrisierung kommt. Könntest du mir das nochmal erklären.
Zu 2) Selbst wenn ich z= 1 einsetze woher kommen diese zwei Vektoren die ich Skalar multipliziere? Ich glaub ich steh da etwas auf dem Schlauch.
Gruß
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Zu 1) Ich verstehe nicht gerade wie man auf den Vorfaktor
> zwei bei der Parametrisierung kommt. Könntest du mir das
> nochmal erklären.
naja, es handelt sich doch um ein stück der Sphäre mit Radius 2. Die Standard-Kugelkoordinaten, die Du nennst, parametrisieren aber die Einheitssphäre mit Radius 1.
>
> Zu 2) Selbst wenn ich z= 1 einsetze woher kommen diese zwei
> Vektoren die ich Skalar multipliziere? Ich glaub ich steh
> da etwas auf dem Schlauch.
>
> Gruß
Nach dem (klassischen) Satz von Stokes ist doch
$\int_K w dS=\int_{\partial K} v\cdot \bf{dx} $,
wobei $\bf{dx}$ das vektorielle wegelement ist. Für eine gegebene Parametrisierung $\gamma:[a,b]\to \mathbb{R}^3$ berechnet sich das Kurvenintegral zu
$\int_{\partial K} v\cdot {\bf dx}= \int_a^b \langle v(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle dt}$
und so kommst du auf das integral mit dem skalarprodukt. Allerdings müsste meiner Meinung nach im linken Faktor des Skalarproduktes als unterster Eintrag eine $1$ statt einer $0$ stehen. Ändert aber nichts am Ergebnis.
Jetzt klarer?
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Quinix |
Ja nun verstehe ich es :)
Danke für die Hilfe
Gruß
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