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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 So 05.11.2006 | | Autor: | yildi |
| Aufgabe | Gib die Gleichung einer Kugel K mit folgender Eigenschaft an:
a) K berührt die 2,3-Ebene im Ursprung und hat den Radius r=8.
b) K geht durch den Punkt P(2/3/5) und berührt die 1,2-Ebene im Ursprung. |
Moin!
Ich weiss zwar, dass zu einer Kugel die Gleichung x²+y²+z² = r² gehört, aber trotzdem kann ich die Gleichungen nicht aufstellen..
Kann mir jemand helfen ?
Danke!
yildi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 So 05.11.2006 | | Autor: | yildi |
Ich glaub nun hab ichs doch selber rausbekommen...?
a) K: [mm] x^2+y^2+(z-4)^2 [/mm] = [mm] 8^2
[/mm]
b) K: [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] = 29
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Hi, yildi,
> a) K berührt die 2,3-Ebene im Ursprung und hat den Radius
> r=8.
> b) K geht durch den Punkt P(2/3/5) und berührt die
> 1,2-Ebene im Ursprung.
> Moin!
>
> Ich weiss zwar, dass zu einer Kugel die Gleichung x²+y²+z²
> = r² gehört,
Das gilt aber nur, wenn der Mittelpunkt der Kugel der Ursprung ist.
Andernfalls gilt:
[mm] (x-x_{M})^{2} [/mm] + [mm] (y-y_{M})^{2} [/mm] + [mm] (z-z_{M})^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
wobei der Kugelmittelpunkt [mm] M(x_{M} [/mm] ; [mm] y_{M} [/mm] ; [mm] z_{M}) [/mm] ist.
Nun zur ersten Aufgabe:
Wenn die Kugel die yz-Ebene im Ursprung berührt, dann muss der Mittelpunkt auf der x-Achse liegen und zwar (wegen des Radius') in 8 LE Entfernung.
Daher: M(8; 0; 0) oder M(0;0;-8)
Es gibt also 2 Lösungen!
Aber deren Gleichungen schaffst Du nun selbst!
Die zweite Aufgabe fängt ganz analog an:
Wenn die Kugel die xy-Ebene berührt, muss der Mittelpunkt auf der z-Achse liegen. Diesmal ist nur nicht klar, wie weit weg M liegt.
Daher: M(0;0;r)
Also: [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] (z-r)^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
Nun musst Du - um r zu berechnen - den Punkt P einsetzen!
Schaffst Du das?
(Ach ja: Die "Lösung" in Deiner Mitteilung passt natürlich nicht so ganz!)
mfG!
Zwerglein
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