Kugelgleichung bestimmen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Di 06.03.2007 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | b) Eine Kugel K berührt die Ebene E (vgl. teilaufgabe a)) im Punkt B(3/6/-1). Der Mittelpunkt von K liegt in der xy-Ebene.
Bestimmen Sie eine Gleichung von K.
c) Ein Flugzeug F1 startet in O(0/0/0) und fliegt geradlinig mit 300km/h in Richtung [mm] \vec{u}=\vektor{1 \\ 2\\2}. [/mm] Beim Start von F1 befindet sich ein Flugzeug F2 im Punkt R(-5/-4/5) und fliegt geradlinig mit 450km/h in Richtung [mm] \vec{v}=\vektor{8 \\ 4\\1}. [/mm] <Koordinatenangaben in km>
Wie viele Minuten nach dem Start von F1 kommen sich die Flugzeuge am nächsten? |
Zu b)
Also Teilaufgabe a) hab ich gelöst und die Ebene, welche gegebn ist wäre:
[mm] E:\vec{x}=\vektor{1 \\ -1\\0}+\lambda\vektor{0 \\ 5\\1}+\mu\vektor{1 \\ 1\\-1}
[/mm]
Eine Kugelgleichung sieht ja von der Form her so aus: [mm] K:(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OM})²=r²
[/mm]
- Der gegebene Punkt B ist demnach der Berührpunkt von E und K.
- Ebene E ist dann die Tangentialebene.
- Der Abstand von B zum Mittelpunkt wäre der Radius r.
Ich weiss jetzt aber irgendwie gar nicht so recht wo ich anfangen soll... ;/
c) Also meine Idee hierzu wäre:
F1 starte ja im Ursprung und bewegt sich in Richtung [mm] \vec{u} [/mm] mit 300km/h.
Daraus könnte man ja eine Gerade aufstellen aus Punkt (0/0/0) auf Aufpunkt und [mm] \vec{u} [/mm] also vorhandenen Stützvektor. Aähnliches gilt dann auch für F2, wo jedoch R der Aufpunkt ist und [mm] \vec{v} [/mm] der Richtungsvektor und dass sich F2 mit 450km/h bewegt.
Muss ich nun zuerst die Lage der Geraden herausfinden ( denke sie werden windschief sein)? Und dann den Abstand der Geraden berechnen?
Was fange ich aber mit den Geschwindigkeiten an?
Danke schonmal im voraus!
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Hallo Hanz,
> b) Eine Kugel K berührt die Ebene E (vgl. teilaufgabe a))
> im Punkt B(3/6/-1). Der Mittelpunkt von K liegt in der
> xy-Ebene.
> Bestimmen Sie eine Gleichung von K.
>
> c) Ein Flugzeug F1 startet in O(0/0/0) und fliegt
> geradlinig mit 300km/h in Richtung [mm]\vec{u}=\vektor{1 \\ 2\\2}.[/mm]
> Beim Start von F1 befindet sich ein Flugzeug F2 im Punkt
> R(-5/-4/5) und fliegt geradlinig mit 450km/h in Richtung
> [mm]\vec{v}=\vektor{8 \\ 4\\1}.[/mm] <Koordinatenangaben in km>
> Wie viele Minuten nach dem Start von F1 kommen sich die
> Flugzeuge am nächsten?
> Zu b)
> Also Teilaufgabe a) hab ich gelöst und die Ebene, welche
> gegebn ist wäre:
> [mm]E:\vec{x}=\vektor{1 \\ -1\\0}+\lambda\vektor{0 \\ 5\\1}+\mu\vektor{1 \\ 1\\-1}[/mm]
>
> Eine Kugelgleichung sieht ja von der Form her so aus:
> [mm]K:(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OM})²=r²[/mm]
>
> - Der gegebene Punkt B ist demnach der Berührpunkt von E
> und K.
> - Ebene E ist dann die Tangentialebene.
> - Der Abstand von B zum Mittelpunkt wäre der Radius r.
>
> Ich weiss jetzt aber irgendwie gar nicht so recht wo ich
> anfangen soll... ;/
>
Das ist doch schon super, was du überlegt hast!
Du suchst dem Mittelpunkt M und den Radius r:
1. B liegt auf der Kugel K: statt [mm] \overrightarrow{OX} [/mm] setzt du Punkt B ein
2. Mittelpunkt M liegt auf der x-y-Ebene: also ist seine 3. Koordinate 0.
3. E ist Tangentialebene von K: der Berührradius=Vektor [mm] \overrightarrow{BM} [/mm] ist orthogonal zur Ebene, also liegt M auf der dadurch festgelegten Geraden durch B.
3 Gleichungen für die verbleibenden 3 Unbekannten [mm] \Rightarrow [/mm] lösbar.
Stell mal die drei Gleichungen auf und beachte: [mm] z_M=0
[/mm]
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Do 08.03.2007 | | Autor: | Hanz |
b) Setze ich den Punkt B ein erhalte ich ja:
K: [mm] (\vektor{3 \\ 6\\-1} [/mm] - [mm] \vektor{x \\ y\\0})²=r²
[/mm]
Um die Gerade durch Punkt B und M aufzustellen benötige ich ja 2 Punkte. Punkt B hab ich ja gegeben, aber was wäre dann der zweite Punkt?
Ehmm, und was war mit den 3 Gleichungen gemeint, bzw. woher stelle ich sie auf?
c)
Für F1 kann ich doch die Gerade g: [mm] \vec{x}=\vektor{0\\ 0\\0}+\lambda\vektor{1 \\ 2\\2} [/mm] aufstellen und für F2
h: [mm] \vec{x}=\vektor{-5\\ -4\\5}+\mu\vektor{8 \\ 4\\1} [/mm]
Die Geraden sind doch windschief zueinander, muss ich jetzt den kleinsten Abstand berechnen?
Was fange ich mit den km/h Angaben an, bzw. wie baue ich sie in die Rechnungen ein?
Mfg, A.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Do 08.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,
Deine beiden Geraden sollen doch den Ort der Flugzeuge zum Zeitpunkt t (Einheiten beachten )angeben.
Wenn t der (Zeit-)Parameter in Deiner Geradengeichung sein soll, und die Geschwindikeit der Flugzeuge konstant ist, mußt der Richtungsvektor der Geraden, der die Flugbahn angibt, der Geschwindigkeitsvektor sein, der die Geschwindigkeit des Flugzeuges in Richtung der 3 Raumkoordinaten angibt.
Der minimale Abstand der Flugzeuge ist nur dann der kleinste Abstand der Geraden zueinander, falls die beiden Flugzeuge zu einem Zeitpunkt [mm] t_{0} [/mm] auch tatsächlich dort sind.
Den minimalen Abstand berechnest Du am elegantesten über das Skalarprodukt.
MfG
Heiko
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Hallo Hanz,
> b) Setze ich den Punkt B ein erhalte ich ja:
> K: [mm](\vektor{3 \\ 6\\-1}[/mm] - [mm]\vektor{x \\ y\\0})²=r²[/mm]
>
> Um die Gerade durch Punkt B und M aufzustellen benötige ich
> ja 2 Punkte. Punkt B hab ich ja gegeben, aber was wäre dann
> der zweite Punkt?
>
nein, du kannst eine Gerade auch durch einen Punkt B und eine Richtung, nämlich die Richtung des Berührradius=Normalenvektor der Ebene, bestimmen.
Ich hatte dir das genau so beschrieben:
1. B liegt auf der Kugel K: statt $ [mm] \overrightarrow{OX} [/mm] $ setzt du Punkt B (3,6,-1) ein
2. Mittelpunkt M liegt auf der x-y-Ebene: also ist seine 3. Koordinate 0.
3. E ist Tangentialebene von K: der Berührradius=Vektor $ [mm] \overrightarrow{BM} [/mm] $ ist orthogonal zur Ebene, also liegt M auf der dadurch festgelegten Geraden durch B.
Hast du schon den Normalenvektor der Ebene bestimmt? Ich erhalte [mm] $\vec n=\vektor{6\\-1\\5}$ [/mm] (bitte nachrechnen!)
Die "Berührgerade" ist dann: [mm] $\vec x=\vec b+\lambda*\vec [/mm] n$
Auf dieser Berührgeraden liegt der Punkt M mit seiner 3. Koordinate z=0=[3. Komponente der Berührgeraden]
Daraus bestimmst du [mm] \lambda [/mm] und dann die restlichen Koordinaten von M.
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Hanz |
Ist die "Berührgerade" die Lotgerade?
Also die Gerade ist ja g: [mm] \vec{a}=\vektor{3 \\ 6\\-1}+ \lambda\vektor{6 \\ -1\\5}.
[/mm]
Ich weiss ja, dass die z-Koordinate des Mittelpunktes = 0 ist, kann ich dann sagen, dass [mm] \lambda= \bruch{1}{5} [/mm] ist?
Ansonsten weiss ich einfach nicht, wie ich Lambda bestimmen soll...
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Hallo!
Ja, du kannst hier sagen, dass z = 0 ergeben muss. Das gleiche erhälst du, wenn du die Gerade mit der xy-Ebene gleichsetzt.
(So habe ich es gemacht - bin grad dabei deine Aufgaben durchzurechnen... so zur Übung)
Ciao miniscout ![[read]](/images/smileys/read.gif "[read]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Do 08.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du kannst die Position der Flugzeuge ganz allgemein in Abhängigkeit der Zeit wie folgt bestimmen
[mm] S(t)=p+t|v|*e_v
[/mm]
wobei p ein Punkt auf der Flugbahn ist. |v| der Betrag der Geschwindigkeit und [mm] e_v [/mm] ein Einheitsvektor in Richtung der Flugbahn.
Die Einheitsvektoren in Richtung der Flugbahnen kann mann berechnen, weil die Richtungen gegeben sind. Die Startpunkte sind ebenfalls bekannt. Und die Beträge der Geschwindigkeiten auch.
Danach ist dann folgende Funktion zu minimieren
[mm] |S_1(t)-S_2(t)| [/mm] bzw. etwas einfacher [mm] |S_1(t)-S_2(t)|^2
[/mm]
mfg ullim
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