Kugelgleichung bestimmen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Do 11.04.2013 | | Autor: | dehlen |
| Aufgabe | Ich habe die Gleichung
[mm] K:x^2-2ax+z^2 [/mm] = [mm] -y^2-2az+7a^2. [/mm] Daraus soll ich nun Mittelpunkt und Radius bestimmen. Außerdem ist a eingeschränkt (a > 0). |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=518958
Ich weiß das ich hier quadratisch ergänzen muss und dann daraus auf den Mittelpunkt des Kreises und somit auch auf den Radius schließen kann. Leider komme ich mit dem a gar nicht klar. Ich habe das ganze jetzt mal soweit:
[mm] x^2-2ax+1+y^2+z^2+2az+1+7a^2 [/mm] = 0.
Ist das soweit richtig ? Wie mache ich dann weiter ?
Danke !
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Hallo dehlen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe die Gleichung
> [mm]K:x^2-2ax+z^2[/mm] = [mm]-y^2-2az+7a^2.[/mm] Daraus soll ich nun
> Mittelpunkt und Radius bestimmen. Außerdem ist a
> eingeschränkt (a > 0).
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=518958
>
> Ich weiß das ich hier quadratisch ergänzen muss und dann
> daraus auf den Mittelpunkt des Kreises und somit auch auf
> den Radius schließen kann. Leider komme ich mit dem a gar
> nicht klar. Ich habe das ganze jetzt mal soweit:
> [mm]x^2-2ax+1+y^2+z^2+2az+1+7a^2[/mm] = 0.
Laut Aufgabe ist keine "1" vorhanden.
Daher muss das so lauten:
[mm]x^2-2ax+y^2+z^2+2az=\blue{7a^2}[/mm]
> Ist das soweit richtig ? Wie mache ich dann weiter ?
Jetzt machst Du weiter mit quadratischer Ergänzung.
> Danke !
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Do 11.04.2013 | | Autor: | dehlen |
Nach der quadratischen Ergänzung komme ich auf:
[mm] x^2 [/mm] -2ax +a [mm] +y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] +2az +a = [mm] 7a^2. [/mm] Hm da was zusammen zufassen fällt mir schwer. Sieht nach einem aufgelöstem Binom aus.
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Hallo dehlen,
> Nach der quadratischen Ergänzung komme ich auf:
> [mm]x^2[/mm] -2ax +a [mm]+y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] +2az +a = [mm]7a^2.[/mm] Hm da was zusammen
Die quadratische Ergänzung ist nicht richtig ausgeführt worden:
[mm]x^2 -2ax +\blue{(-}a\blue{)^{2}} \red{-a^{2}}+y^2 + z^2 +2az +\blue{(}a\blue{)^{2}} \red{-a^{2}} = 7a^2[/mm]
> zufassen fällt mir schwer. Sieht nach einem aufgelöstem
> Binom aus.
Das ist richtig.
Bringe die Konstanten, hier die roten "a", auf die andere Seite
und Du kannst den Radius dieser Kugel bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Do 11.04.2013 | | Autor: | dehlen |
Huch war ein Tippfehler. Ja meinte [mm] a^2 [/mm] (halbieren und quadrieren). Habe dann als radius 5a
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Hallo dehlen,
> Huch war ein Tippfehler. Ja meinte [mm]a^2[/mm] (halbieren und
> quadrieren). Habe dann als radius 5a
Das stimmt nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Do 11.04.2013 | | Autor: | dehlen |
Hm ich komme nicht weiter. Ich verstehe nicht wieso du als quadratische Ergänzungen [mm] -a^2+a^2 [/mm] raus hast. Müsste es nicht nur [mm] a^2 [/mm] sein ?Bei 2ax bzw. 2az den Faktor 2a halbiert und dann quadriert gibt bei mir nur [mm] a^2. [/mm] Bei deiner Gleichung oben kürzt sich [mm] -a^2+a^2 [/mm] doch sofort wieder raus. Dann hätte ich auf der rechten Seite immer noch [mm] 7a^2 [/mm] und damit kann ich ja nichts anfangen. Was bringt mir der Radius in Abhängigkeit von a ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Do 11.04.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du ergänst die Summe ja gerade deswegen mit der quadratischen Ergänzung, damit Du bestimmte Terme als Quadrate schreiben kannst, allerdings darfst Du die Gesamtsumme ja nicht verändern. Deswegen addierts Du z.B. bei [mm] x^2-2ax [/mm] den Term [mm] a^2 [/mm] dazu, must ihn aber gleich wieder abziehen, denn sonst verändert sich ja die Gesamtsumme.
Also steht jetzt da [mm] (x^2-2ax+a^2)-a^2=(x-a)^2-a^2
[/mm]
Das machst Du so weiter bis etwas in der Form [mm] (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2 [/mm] da steht.
Die zusätzlichen Terme der quadratischen Ergänzung wie oben etwa [mm] -a^2 [/mm] musst Du am Schluss alle zusammenfassen und als [mm] r^2 [/mm] interpretieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Do 11.04.2013 | | Autor: | dehlen |
Oh man. Ja natürlich. Die Parameter verwirren mich so.
Habe dann
[mm] (x-a)^2+(y-0)^2+(z-a)^2= 9a^2. [/mm] Daraus ergibt sich M(a/0/a) und r = 9a.
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Hallo dehlen,
> Oh man. Ja natürlich. Die Parameter verwirren mich so.
> Habe dann
> [mm](x-a)^2+(y-0)^2+(z-a)^2= 9a^2.[/mm] Daraus ergibt sich M(a/0/a)
> und r = 9a.
Die Gleichung muss doch lauten:
[mm](x-a)^2+(y-0)^2+(z\blue{+}a)^2= 9a^2.[/mm]
Demnach ist [mm]M\left(a|0|\blue{-}a\right)[/mm].
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Do 11.04.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
es gilt [mm] r^2=9a^2 [/mm] also r=3a
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